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1、DOC-2011高考数学知识点汇总精编三角函数-高考生必备2011高考数学知识点汇总精编三角函数-高考生必备 2011高考数学知识点汇总精编三角函数 -高考生必备 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三角函数 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴
2、上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)注意: 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ,2k (k Z)， 相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角,1825的终边相同，且绝对 值最小的角的度数是,，合,弧度。 5(答:,25 ;, ) 36 (2) 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) ,k (k Z). (3) 终边与 终边关于x轴对称 , ,2k (k Z). (4) 终边与 终边关于y轴对称 , ,2k (k Z). (5) 终边与 终边关于原点对称 , ,2k (k Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为: k ,k Z
3、; 终边在y轴上的角可表示为: k k ,k Z; 终边在坐标轴上的角可表示为: ,k Z.如 的终边与的226终边关于直线y x对称，则 ,_。 (答:2k ,k Z) 3 4、 与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 是第二象限角，2 则 是第_象限角 2 (答:一、三) 5.弧长公式:l | |R，扇形面积公式:S lR | |R2，1弧度(1rad) 57.3 . 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 (答:2cm2) 6、任意角的三角函数的定义:设 是任意一个角，P(x,y)是 的终边上的任意一点 yx ,c os ，(异于原点)，它
4、与原点的距离 是r 0，那么sinrr yrxrtan ,x 0,，cot (y 0)，sec ,x 0,，csc ,y 0,。三角函数值只xxyy 与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如 (1)已知角 的终边经过点P(5，,12)，则sin ,cos 的值为,。 7(答:,); 13 (2)设 是第三、四象限角，sin 2m,3 ，则m的取值范围是_ 4,m 3 (答:(,1，); 2 (3)若 |sin |cos )的符号 , 0，试判断cot(sin ) tan(cos sin |cos | (答:负) 7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“
5、躺在 、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是x轴上(起点是原点)” T A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和 B 解 S 三角不等式。如 (1)若, 0，则sin ,cos ,tan 的大小关系为 O M x 8_ (答:tan sin cos ); 的大小关系为(2)若 为锐角，则 ,sin ,tan _ (答:sin tan ); (3)函数y ,2cosx,lg(2sinx,)的定义域是_ 2 (k Z) (答:(2k ,2k , 33 (1)平方关系:sin2 ,cos2 1,1,tan2 sec2 ,1,cot2 csc2 (2)倒数关系:sin csc =1,c
6、os sec =1,tan cot =1, sin cos ,cot (3)商数关系:tan cos sin 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如 (1)函数y sin ,tan 的值的符号为_ cos ,cot (答:大于0); (2)若0 2x 2 ，则使,sin22x cos2x成立的x的取值范围是_ 3(答:0, , ); 44 m,34,2m ( )，则tan ,_ (3)已
7、知sin ，cos m,5m,52 5(答:,); 12 tan sin ,3cos ,1，则(4)已知,_;sin2 ,sin cos ,2,_ tan ,1sin ,cos 513(答:,;); 35 (5)已知sin200 a，则tan160 等于 ,a2,a2 A、, B、 C、, D、 22aa,a,a (答:B); (6)已知f(cosx) cos3x，则f(sin30 )的值为_ (答:,1)。 k10.三角函数诱导公式( , )的本质是:奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或2 偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤:
8、(1)负角变正角，再写成2k + ,0 2 ;(2)转化为锐角三角函数。如 9 7 ,tan(,),sin21 的值为_ (1)cos46 ); 4 (2)已知sin(540 , ) ,，则cos( ,270) _，若为第二象限角，则5 sin(180 , ),cos( ,360 )2 _。 tan(180, ) 43(答:,;,) 5100 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 令sin, , sin cos cos sin sin2 2sin cos aa 令cos, , cos cos sin sin cos2 cos2 ,sin2 2cos2 ,1 1,2sin2 tan
9、 tan 1+cos2 cos2 ,1 tan tan 2 1,cos2 sin2 ,2 2tan tan2 1,tan2 1如(1)下列各式中，值为的是 2 A、sin15 cos15 B、cos2,sin2 1212 tan, , tan22.5 C、 D 1,tan222.5 (答:C); (2)命题P:tan(A,B) 0，命题Q:tanA,tanB 0，则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 (答:C); 3(3)已知sin( , )cos ,cos( , )sin ，那么cos2 的值为_ 5 7(答:); 25 1(4 )的值是
10、_ ,sin10 sin80 (答:4); (5)已知tan1100 a，求tan500的值(用a 1,a2 的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_ 2a，乙求得(答:甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如( , ), ( , ), ，2 ( , ),( , )， , , ,
11、 等)2 ( , ),( , )，, 2 ，如 2222 1 (1)已知tan( , ) ，tan( ,) ，那么tan( ,)的值是_ 5444 3(答:); 22, (2)已知0 值 2 ，且cos( , 1 2 ) ,，sin(, ) ，求cos( , )的2923 (答: 490 ); 729 3 (3)已知 , 为锐角，sin x,cos y，cos( , ) ,，则y与x的函数关系 5 为_ 43 (答:y x( x 1) 55 (2)三角函数名互化(切割化弦)，如 (1) 求值sin50 (1 ) (答:1); sin cos 2 1,tan( , ) ,，求tan( ,2 )的
12、值 (2)已知 1,cos2 3 1 (答:) 8 (3)公式变形使用(tan tan tan, ,1 tan tan ,。如 (1)已知A、B为锐角，且满足tanAtanB tanA,tanB,1，则cos(A,B),_ (答:, (2)设 ABC中，tanA,tanB AtanB，sinAcosA _三角形 (答:等边) 1,cos2 1,cos2 (4)三角函数次数的降升(降幂公式:cos2 ，sin2 与升幂公 22 式:1,cos2 2cos2 ，1,cos2 2sin2 )。如 3(1)若 ( , )，化简为_ 2); 2 ，则此三角形是4 (答:sin (2) 函数f(x) 5s
13、inxcosx,2x ); 2 x R)的单调递增区间为_ 5 (k Z) (答:k ,k , 1212 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 sin ,tan (1)tan (cos ,sin ) , cot ,csc (答:sin ); (2)求证: 1,sin 1,2sin2 1,tan 1,tan2 ; 2 1 (3)化简:2tan(,x)sin2(,x)442cos4x,2cos2x, 1(答:cos2x) 2 (6)常值变换主要指“1”的变换(1 sin2x,cos2x sec2x,tan2x tanx cotx 3，如已知tan 2，求sin2 ,sin cos
14、 ,3cos2 (答:). tan sin 等)5 sinxcosx”的内存联系“知一求二”(7)正余弦“三兄妹sinx cosx、，如 (1)若 sinx cosx t，则sinxcosx _ t2,1(答: )，特别提醒 :这里t ; 2 (2)若 (0, ),sin ,cos ，求tan 的值。 2 (答:); sin2 ,2sin2 k( )，试用k表示sin ,cos 的值 (3)已知421,tan 。 13、辅助角公式中辅助角的确定 :asinx,bcosx ,x, ,(其中 角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由tan 如 (1) 若方程sinxx c有实数解，则c的取值范围
15、是_. (答:,2,2); (2)当函数y 2cosx,3sinx取得最大值时，tanx的值是_ 3(答:,); 2 (3)如果f,x, sin,x, ,2cos(x, )是奇函数，则tan = 2); (答:,(4)求值:31,64sin220 _ 22sin20 cos20 b确定)在求最值、化简时起着重要作用。a (答:32) 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数y sinx和余弦函数y cosx图象的作图 3 方法:五点法:先取横坐标分别为0，, ,2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连22 接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数y sinx(x R)、
16、余弦函数y cosx(x R)的性质: (1)定义域:都是R。 (2)值域:都是 ,1,1 ，对y sinx，当x 2k ,k Z,时，y取最大值1;当2 3 x 2k ,k Z,时，y取最小值,1;对y cosx，当x 2k ,k Z,时，y取最大值2 1，当x 2k , ,k Z,时，y取最小值,1。如 31(1)若函数y a,bsin(3x,)的最大值为，最小值为,，则a _，b , 226 1(答:a ,b 1或b ,1); 2 (2)函数f(x) sinx,cosx(x ,)的值域是_ 22 (答:,1, 2); (3)若2 , ，则y cos ,6sin 的最大值和最小值分别是_
17、、_ (答:7;,5); (4) 函数f(x) 2cosxsin(x,)2x,sinxcosx的最小值是_，此时x,3 _ (答:2;k ,(k Z); 12 1(5)己知sin cos ，求t sin cos 的变化范围 2 1(答:0,); 2 (6)若sin2 ,2sin2 2cos ，求y sin2 ,sin2 的最大、最小值 (答:ymax 1，ymin 22,2) 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗, (3)周期性:?y sinx、y cosx的最小正周期都是2 ;?f(x) Asin( x, )和 2 f(x) Acos( x, )的最小正周
18、期都是T 。如 | | x(1)若f(x) sin，则f(1),f(2),f(3), ,f(2003),_ 3 (答:0); (2) 函数f(x) cos4x,2sinxcosx,sin4x的最小正周期为_ (答: ); (3) 设函数f(x) 2sin(x,)，若对任意x R都有f(x1) f(x) f(x2)成立，则25 |x1,x2|的最小值为_ (答:2) (4)奇偶性与对称性:正弦函数y sinx(x R)是奇函数，对称中心是,k ,0,k Z,，对称轴是直线x k , 2,k Z,;余弦函数y cosx(x R)是偶函数，对称中心是 对称轴是直线x k ,k Z,(正(余)弦型函数
19、的对称轴为过最高点或k ,0 ,k Z,， 2 最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点)。如 5 (1)函数y sin ,2x 的奇偶性是_、 2 (答:偶函数); (2)已知函数f(x) ax,bsin3x,1(a,b为常数)，且f(5) 7，则f(,5) _ (答:,5); (3)函数y 2cosx(sinx,cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是_、_ k k ,1)(k Z)、x ,(k Z)(答:(; 2828 (4) 已知f(x) sin(x, )x, )为偶函数，求 的值。 (答: k ,(k Z) 6 Z,上单调递增，在 (5)单调性:y sinx在 2k ,2
20、k , ,k22 3 2k ,2k ,k Z,单调递减;y cosx在2k ,2k , ,k Z,上单调递减，在 22 2k , ,2k ,2 ,k Z,上单调递增。特别提醒，别忘了k Z 16、形如y Asin( x, )的函数: 1 (1)几个物理量:A振幅;f 频率(周期的倒数); x, 相位; 初 T 相; (2)函数y Asin( x, )表达式的确定:A 由周期确定; 由图象上的特殊点确f(x)f(x) Asin( x, )(A 0, 0，| | )2 15 ,_(答:f(x) 2sin(x,); 23 (3)函数y Asin( x, )图象的画法:?“五点法”设X x, ，令X,
21、0， 3 , ,2 求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象;?图象变换法:22这是作函数简图常用方法。 (4)函数y Asin( x, ),k的图象与y sinx图象间的关系:?函数y sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左( 0)或向右( 0)平移| |个单位得y sin,x, ,的图象;?函数y sin,x, ,图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 y sin, x, ,的图象;?函数y sin, x, ,图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A ，得到函数 倍，得到函数y Asin( x, )的图象;?函数y Asin( x, )图象的横坐标不变，纵坐标向上(k 0)或向下(k
22、0)，得到y Asin, x, ,k的图象。要特别注意，若由 y sin, x,得到y sin, x, ,的图象，则向左或向右平移应平移| |个单位，如 (1)函数y 2sin(2x,),1的图象经过怎样的变换才能得到y sinx的图象, 4 (答:y 2sin(2x,),1向上平移1个单位得y 2sin(2x,)的图象，再向左平移 44 个单位得y 2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y 2sinx的图象，最后将纵8 1 坐标缩小到原来的即得y sinx的图象); 2 x x (2) 要得到函数y cos(,)的图象，只需把函数y sin的图象向_平移_ 242 个单位 (答:左;)
23、; 2 7 (3)将函数y 2sin(2x,),1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称， 这样的向量是否唯一,若唯一，求出a;若不唯一，求出模最小的向量 3 (答:存在但不唯一，模最小的向量a (,1); 6 (4)若函数f,x, cosx,sinx,x 0,2 ,的图象与直线y k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是 (答:) (5)研究函数y Asin( x, )性质的方法:类比于研究y sinx的性质，只需将y Asin( x, )中的 x, 看成y sinx中的x，但在求y Asin( x, )的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如 (1)函数y
24、 sin(,2x,)的递减区间是_ 3 5 (答:k , ,k ,(k Z); 1212 x (2)y log1cos(,)的递减区间是_ 342 33 (k Z)(答:6k , ,6k ,; 44 (3)设函数f(x) Asin( x, )(A 0, 0, )的图象关于直线x 2 对称，它 2 2 3 的周期是 ，则 1 A、f(x)的图象过点(0,) 25 2 B、f(x)在区间,上是减函数 123 C、f(x)的图象的一个对称中心是(5 ,0) 12 D、f(x)的最大值是A (答:C); (4)对于函数f,x, 2sin 2x, 给出下列结论: 3 ?图象关于原点成中心对称; ?图象关
25、于直线x 成轴对称; 12 ?图象可由函数y 2sin2x的图像向左平移;?图像向左平移 个单位得到 3 个单位，即得到函数y 2cos2x的图像。 12 其中正确结论是_ (答:?); (5)已知函数f(x) 2sin( x, )图象与直线y 1的交点中，距离最近两点间 的距离为，那么此函数的周期是_ 3 (答: ) 17、正切函数y tanx的图象和性质: (1)定义域:x|x ,k ,k Z。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数 2 的定义域了吗, (2)值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ，它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期
26、 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是:弦减半、切不变(既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如y sin2x,y sinx的周期都是 , 但y sinx ,cosx的周期为 |n3(is，而y 2 2 1)x,|(is,y)2| 62 x ,6 ,，y |tanx|的周期不变; k (4)奇偶性与对称性:是奇函数，对称中心是 ,0 ,k Z,，特别提醒:正(余) 2 切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正
27、切函数在开区间 ,k ,k ,k Z,内都是增函数。但要注意 2 2 在整个定义域上不具有单调性。如下图: 18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角 三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理: 2R(R为三角形外接圆的半径).注意:?正弦 sinAsinBsinC ab,sinB ,sinC 定理的一些变式:,i,a b c sinA sinB sinC;,ii,sinA 2R2R
28、 c ;,iii,a 2RsinA,b 2RsinB,b 2RsinC;?已知三角形两边一对角，求解三角形2R 时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 222 (3)余弦定理:a2 b2,c2,2bccosA,cosA 等，常选用余弦定理鉴定三 角形的形状. (4)面积公式:S aha absinC r(a,b,c)(其中r为三角形内切圆半径). 222 如 ABC中，若sin2Acos2B,cos2Asin2B sin2C，判断 ABC的形状(答:直角三角形)。 特别提醒:(1)求解三角形中的问题时，一定要注意A,B,C 这个特殊性: A,BC A,B ,C,sin(A,B) sinC,
29、sin cos;(2)求解三角形中含有边角混合关系的 22 问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如 b，且A=60 , a b 4，那么满足条件(1) ABC中，A、B的对边分别是a、 的 ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 (答:C); (2)在 ABC中，A,B是sinA sinB成立的_条件 (答:充要); (3)在 ABC中， (1,tanA)(1,tanB) 2，则log2sinC,_ 1 (答:,); 2 ,别是角A、B、C所对的边，若(4)在 ABC中，a,b分 (a,b,c)(sinA,sinB,sinC) 3asinB，则 C,_ (答:6
30、0 ); 222 (5)在 ABC中，若其面积S C=_ (答:30 ); (6)在 ABC中，A 60 , b 1 ABC外接圆的直径是_ ); 1B,C (7)在?ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a A ,则cos2， 32 b2,c2的最大值为 19 (答:;); 32 (8)在?ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 6 (9)设O是锐角三角形ABC的外心，若 C 75，且 AOB, BOC, COA的面积 (答:0 C ); 满足关系式S AOB,S BOC COA，求 A( 答:45 )( 19.反三角函数:(1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例):arcsin
31、a表示一个角， 这个角的正弦值为a,且这个角在 , 内(,1 a 1)。(2)反正弦arcsinx、反余弦 22 arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是, , ,0, ,(, , ). (1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)22 22 (二)教学难点在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范 围,(0,0,0, ， 0, ,， 0, ),0,),0, ( 222 （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函
32、数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。20、求角的方法:先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)。如 （1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.(1)若 , (0, )，且tan 、tan 是方程x2,5x,6 0的两根，则求 , 的值_ 3 (答:); 第一章 直角三角形边的关系4 (2) ABC中，3sinA,4cosB 6,4sinB,3cosA 1，则 C,_ 186.257.1期末总复习及考试(答:); 3 (一)教学重点cos ,cos ,cos 0，(3)若0 2 且sin ,sin ,sin 0，求 , 周 次日 期教 学 内 容的值 2 8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。(答:). 1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。3