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1、DOC-高中数学必修4三角函数知识点与题型总结高中数学必修4三角函数知识点与题型总结 三角函数典型考题归类 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 (3)元素的无序性: 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋 (1)用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集
2、(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:a,b,c 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法。x R| x-32 ,x| x-32 3)语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=,5, 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意:A B有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
3、,B或B ,A A 2(“相等”关系:A=B (5?5，且5?5，则5=5) 实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A A ?真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A ?如果 A B, B C ,那么 A C ? 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解
4、策略 4、反函数的几种题型及方法 B(或BA) 5、二次函数根的问题一题多解 &指数函数y=ax aa*ab=aa+b(a0,a、b属于Q) (aa)b=aab(a0,a、b属于Q) (ab)a=aa*ba(a0,a、b属于Q) 指数函数对称规律: 1、函数y=ax与y=a-x关于y轴对称 2、函数y=ax与y=-ax关于x轴对称 3、函数y=ax与y=-a-x关于坐标原点对称 &对数函数y=logax 如果a 0，且a 1，M 0，N 0，那么: 1 loga(MN) logaM，logaN; ? M2 loga logaM,logaN; ?N 3 logaMn nlogaM (n R)(
5、? 注意:换底公式 logcb (a 0，且a 1;c 0，且c 1;b 0)( logab logca 幂函数y=xa(a属于R) 1、幂函数定义:一般地，形如y x (a R)的函数称为幂函数，其中 为常数( 2、幂函数性质归纳( (1)所有的幂函数在(0，+?)都有定义并且图象都过点(1，1); (2) 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, )上是增函数(特别地，当 1时，幂函数的图象下凸;当0 1时，幂函数的图象上凸; (3) 0时，幂函数的图象在区间(0, )上是减函数(在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于, 时，图象在x轴上方无限地
6、逼近x轴正半轴( 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。 2、函数零点的意义:函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即:方程f(x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点( 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程f(x) 0的实数根; ? 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联? 系起来，并利用函数的性质找出零点( 4、二次函数的零点: 二次函数y ax2,bx
7、,c(a 0)( 0有两不等实根，二次函数的图象与x (1)?,，方程ax2,bx,c轴有两个交点，二次函数有两个零点( (2)?,，方程ax2,bx,c 0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点( (3)?,，方程ax2,bx,c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点( 三、平面向量 向量:既有大小，又有方向的量( 数量:只有大小，没有方向的量( 有向线段的三要素:起点、方向、长度( 零向量:长度为0的向量( 单位向量:长度等于1个单位的向量( 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB，BC,AC，这种计算法则叫
8、做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a，有:0，a,a，0,a。 |a，b|?|a|，|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 a，零向 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，,(,a),量的相反向量仍然是零向量。 (1)a，(,a),(,a)，a,0(2)a,b,a，(,b)。 数乘运算 实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，|a|,|a|，当 0时，a的方向和a
9、的方向相同，当 0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=
10、SL 注:其中,S是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三 cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一 tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三 等比数列: 若q,1 则S=n*a1 若q?1 推倒过程: S=a1+a1*q+a1*q2+a1*q(n-1) 等式两边同时乘q S*q=a1*q+a1*q2+a1*q3+a1*q 1式,2式 有 S=a1*(1-qn)/(1-q) 等差数列 推导过程: S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+
11、(n-1)*d) 把这个公式倒着写一遍 S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+，a1 上两式相加有 S,(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2 1(根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数f(x) 2cosx(sinx,cosx),1，x R( (?)求函数 3 f(x)的最小正周期;(?)求函数f(x)在区间 上的最小值和最大值( 84 【相关高考1】(湖南文)已知函数 f(x) 1,2sin2 x, ,2sin x, cos x, ( 88 8 求:(I)函数f(x)的最小正周期;(II)函数f(x)的单调增区
12、间( 【相关高考2】(湖南理)已知函数1 f(x) cos2 x, ，g(x) 1,sin2x( 212 (I)设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值(II)求函数h(x) f(x),g(x)的单调递增区间( 2(根据函数性质确定函数解析式 例2(江西)如图，函数 期为 ( (1)求 和 的值; y 2cos( x, )(x R， 0，?0 ?)的图象与y 轴相交于点(0，且该函数的最小正周2 (2)已知点A ，0 ，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA 的中点，当 2 y0 x0 时，求x0的值( ， 2 【相关高考1】(辽宁)已知函数 x ，(I)求函数
13、f(x)f(x) sin x, ,sin x, ,2cos2，x R(其中 0)6 6 2 2，求函数的值域; (II)(文)若函数y f(x)的图象与直线y ,1的两个相邻交点间的距离为y f(x)的单调增区间( (理)若对任意的a R，函数 必证明)，并求函数y f(x)，x (a，a,的图象与直线y ,1有且仅有两个不同的交点，试确定 的值(不y f(x)，x R的单调增区间( 【相关高考2】(全国?)在?ABC中，已知内角 (1)求函数A ，边BC B x，周长为y( y f(x)的解析式和定义域;(2)求函数y f(x)的最大值( 3(三角函数求值 例3(四川)已知cos=113,c
14、os(-),，且0,(?)求tan2的值;(?)求. 7214 【相关高考1】(重庆文)已知函数f(x)= 2cos 2x, 4 sin(x, 2.(?)求f(x)的定义域;(?)若角a在第一象限，且cosa )3 ,求f(a)。5 【相关高考2】(重庆理)设f (x) = 求tan求f(x)的最大值及最小正周期;(2)若锐角 满足f( ) 3,2，6cos2x,sin2x(1)4 的值. 5 4(三角形中的函数求值 例4(全国?)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a (?)求B 的大小;(文)(?)若a 【相关高考1】(天津文)在?ABC中，已知 2bsinA( c
15、5，求b(理)(?)求cosA,sinC的取值范围( AC 2，BC 3，cosA ,4( 5 (?)求sinB的值;(?)求sin 2B, 的值( 6 A 13，tanB (?)求角C的大小;文(?)若AB ，求BC45【相关高考2】(福建)在?ABC中，tan 边的长(理(?)若? ABC5(三角与平面向量 ，求最小边的边长( 例5(湖北理)已知?ABC的面积为3，且满足0? ?6，设AB和AC的夹角为 (II )求函数 (I)求 的取值范围; f( ) 2sin2 , ,2 的最大值与最小值( 4 【相关高考1】(陕西)设函数其中向量f,x, ， 4 (m,cos2x), (1,sin2
16、x,1),x R，且函数y=f(x)的图象经过点,2 ， (?)求实数m的值;(?)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)( (文)(1)若AB 6三角函数中的实际应用 例6 (山东理)如图，甲船以每小时 AC 0，求c的值;(理)若?A为钝角，求c的取值范围;(2)若c 5，求sin?A的值( 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于 甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向
17、的B 2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里, AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D(现测得 ，求塔高 【相关高考】(宁夏)如图，测量河对岸的塔高 BCD ， BDC ，CD s，并在点C测得塔顶A的仰角为 AB( A 2 乙 7(三角函数与不等式 例7 (湖北文)已知函数 A 1 f(x) 2sin2 ,x 2x，x (I)求f(x)的最大值和最小值; 4 42 (II)若不等式 f(x),m 2在x 上恒成立，求实数m的取值范围( 42 xx f,x, ,cos2x,4tsincos,4t3,t2,3t,4,x R 22 8(三角函数与极值 例8(安徽文)设函数
18、其中t?1，将 f,x,的最小值记为g(t). 三角函数易错题解析 (?)求g(t)的表达式;(?)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 例题1 已知角 的终边上一点的坐标为(sin 2 2 ,cos)，则角 的最小值为( )。 33 5 2 5 11 A、 B、 C、 D、 6363 例题2 A，B，C是 ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x 2 ,5x,1 0的两个实数根，则 ABC是( ) A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 例题3 已知方程x 2 ,4ax,3a,1 0(a为大于1的常数)的两根为tan ，tan 的值是_. ， 且
19、 、 , , ，则tan 2 22 例题4 函数 的最大值为3，最小值为2，则a_，b _。 f()x asinx,b 例题5 函数f(x)=例题6 若2sin2 sinxcosx 的值域为_。 1,sinx,cosx ,sin2 3sin ,则sin2 ,sin2 的取值范围是 例题7 已知 , ，求例题8 求函数例题9 求函数 的最小值及最大值。 y cos ,6sin f(x) 2tanx 的最小正周期。 1,tan2x f(x) sin2x,22cos( 4 ,x),3的值域 3 f(x) sin( x, )( 0,0? ? )是R上的偶函数，其图像关于点M( ,0)对称，且在区间0，
20、 42 上是单调函数，求 和 的值。 例题10 已知函数 2011三角函数集及三角形高考题 1.(2011年北京高考9)在 ABC中，若 b 5, B 4 ,sinA 1 3，则a 2.(2011年浙江高考5).在 ABC中，角 A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA bsinB，则sinAcosA,cos2B (A)- 12 (B) 12 (C) -1 (D) 1 3.(2011年全国卷1高考7)设函数重合，则 的最小值等于 f(x) cos x( 0)，将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像 1 (A)3 (B)3 (C)6 (D)9 5.(2011年江西高考
21、14)已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_. p,4,y, 是角 终边上一点，且 sin , 5， 6(2011年安徽高考9)已知函数则 f(x) sin(2x, )，其中 为实数，若 f(x) f() 6 对x R恒成立，且 f() f( )2， f(x)的单调递增区间是 k ,k ,(k Z)k ,k ,(k Z) 36 2 (A) (B) 2 k ,k (k Z)k ,k ,(k Z) 263 (C) (D) 7(2011四川高考8)在?ABC中，sinA sinB,sinC,sinBsinC，则A的取值范围是 222 (0,6 (A) , )(B)6 (0,3 (C
22、) , )(D)3 f(x) 4cosxsin(x, 1.(2011年北京高考17)已知函数 6),1. (?)求f(x)的最小正周期;(?)求 , f(x)在区间64 上的最大值和最小值。 cosA,2cosC2c,a A,B,Ca,b,c ABCcosBb， 3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知 sinC1cosB ,b 24(?)求sinA的值;(?)若，求 ABC的面积S。 5.(2011年全国卷高考18)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 己知asinA,csinC0A 75,b 2,求a，c. (?)求B;(?)若sinC bsinB. 6.
23、(2011年湖南高考17)在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA acosC. (I)求角C的大小;(II )求A,cos(B,)4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小( 1 f(x) 2sin(x,)36，x R( 7(2011年广东高考16)已知函数 (1)求5 106 , 0,f()f(3 ,) f(3 ,2 ) 2 ，4的值;(2)设213，5，求cos( , )的值( ，x R( f(x) sin(x,7 3 ),cos(x,)4444 cos( , ) ,0 25，5，2(求证:f( ),2 0( 8(2011年广东高考18)已知函数(?)求f(x)
24、cos( , ) 的最小正周期和最小值;(?)已知 9.(2011年江苏高考17)在?ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c sin(A, (1)若 6) 2cosA,1cosA ,b 3c3 求A的值;(2)若，求sinC的值. 10.(2011高考)?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2 求B。 b。(I)求a;(II)若c2=b2 2， 1a 1,b 2,cosC4 11. (2011年湖北高考17)设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 (I) 求 ABC的周长;(II)求cos(A,C)的值。 cos2C ,1 4
25、 12. (2011年浙江高考18)在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值;(?)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长( 2011三角函数集及三角形高考题答案 2011年北京高考9)在 ABC中，若b 5, B 4,sinA 1 1.(3，则a a5 ,a ab 1521 b 5, B ,sinA sin443所以3【答案】3【解析】:由正弦定理得sinAsinB又 2.(2011年浙江高考5).在 ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA bsinB，则sinAcosA,cos2B (A)- 12 (B) 12 (C) -1
26、 (D) 1 【答案】D【解析】?acos ?sinA bsinB，?sinAcosA sin2B， AcosA,cos2B sin2B,cos2B 1. 3.(2011年全国卷1高考7)设函数 重合，则 的最小值等于 f(x) cos x( 0)，将y f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像 1 (A)3 (B)3 (C)6 (D)9 y f(x)的图像向右平移3【解析】由题意将 2 k 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍,得 3 (k Z) ,解得 6k,又 0,令k 1,得 min 6. 4.(2011全国卷)，设函数 (A) y=在单调
27、递增，其图像关于直线对称(B) y=在单调递增，其图像关于直线对称 (C)y= f (x) 在(0，2 )单调递减，其图像关于直线x = 4 对称(D)y= f (x) 在(0，2 )单调递减，其图像关于直线x = 2 对称 解析:解法一:f(x)= 2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x) 在(0，2 )单调递减，其图像关于直线x = 2 对称。故选D。 5.(2011年江西高考14)已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_. p,4,y, 是角 终边上一点，且 sin , 5， 答案:8. 解析:根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为
28、第四象限角。 y25对边 ,sin 25 y ,8斜边=,y f(x) f() 6 6(2011年湖南高考9)【解析】若 对x R恒成立，则 f() sin(, ) 1, k ,k Z 632，所以3， sin (, ) si n,( 2， k , 6 ,k Z .由 f() f( ) 2 ，( k Z )，可知即 si n ，所以 (2k,1 ), 6 6 k ,Z ，代入 f(x) sin(2x, )，得 f(x) ,sin(2x, 6 ) ，由 2k , 2 剟2x, 6 2k , 3 2 ， k , 得 剟xk , 2 3 ，故选C. b2,c2,a21 222222 sinA sin
29、B,sinC,sinBsinCa b,c,bc2bc2， 7(2011四川高考8)解析:由得，即 cosA ? 1 0 A 2，?0 A ，故3，选C( f(x) 4cosxsin(x, 1.【解析】:(?)因为 6 ),1 4cosx( 31 sinx,cosx),122高考资源网KS5U.COM sin2x,2cosx,1 3sin2x,cos2x , (?)因为 2 2sin(2x, 6 ) 所以 f(x)的最小正周期为 6 x 4 ,所以, 6 2x, 6 2 .3 2x, 于是，当 6 2 ,即x 6 时， f(x) 取得最大值2;当 2x, 6 , ,即x ,时,f(x)66取得最
30、小值1( f(x) Asin( 3 x, ) 2.(2011年浙江高考18)已知函数 ，x R，A 0， 0 2.y f(x)的部分图像，如图所示， P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A). (?)求f(x)的最小正周期及 的值;(?)若点R的坐标为(1,0)，PRQ 2 3，求A的值. T 2.(?)解:由题意得，2 3 6y Asin(x, )P(1,A)3因为在的图像上 , ) 1.0 32所以又因为 ( ，所以 6(?)解:设点Q的坐标为x0,A).，由题意可知3x0, 6 2 3，得x0 4，所以Q(4,A)，连接PQ,在?PRQ2 中，?PRQ=3, 由余弦定理得 2222RP2,RQ2,PQ1cos PRQ 2RP.RP2，解得A2=3。 又A,0，所以 cosA,2cosC2c,a A,B,Ca,b,c ABCcosBb， 3. (2011年山东高考17) 在中，内角的对边分别为，已知 sinC1cosB ,b 24(?)求sinA的值;(?)若，求 A