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1、业务高中数学解题思想方法技巧全集11 耗子开门 就地打洞数学破题36计 第11计 耗子开门 就地打洞 ?计名释义 说唐中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰:鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽. 庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的. 数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧. ?典例示范 31,2x【例1】 已知f (x)=，判定其单调区间. 【分析
2、】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来. 331,2x1,2x【解答】 设x0. 1122xx2(,)12故有原式=0. ,31,2x故f (x)= 的增区间为(-?,+?). 【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略. 函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷. 【例2】 (04?天津卷)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量表示所选3人中女生的人数. (?)求的分布列; (?)求的数学期望; (?)求“所选3人中女生人数?1”的概率.
3、 【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.3C14【解答】 (?)6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P(=0)=;,35C62112CCCC,314242 P(=1)=;P (=2)=，故的分布列是: ,3355CC66 0 1 2 131P 555(?)的数学期望是: 131+1+2=1. E=05554(?)由(?)，所选3人中女生人数?1的概率是:P(?1)=P (=0)+P(=1)=. 5【例3】 (04?上海，20文)如图 112 ，直线y=x与抛物线y=x- 4交于 28A、B两点，线段AB的垂直平分线与 直线y= -5交于点Q
4、. (1)求点Q的坐标; (2)当P为抛物线上位于AB下方 (含点A、B)的动点时， 求?OPQ的面积的最大值. 【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误. 1,2y,x,4,82,x,4x,32,0.【解答】 (1)由 ,1,y,x,2,x，x112设AB中点为M(x，y)，则x=,2，y=x=1. 000 0022故有M(2，1)，又AB?MQ，?MQ的方程是:y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5, -5 ). (2)由(1)知|OQ|=5为定值. 2:122设P(x，x-2)为抛物线上上一点，由(
5、1)知x-4x-32?0，得x?,-4,8,，又直线OQAB8的方程为: x+y=0，点P到直线OQ的距离: 12|2|x，x,2|(4)48|x，,83d=，显然d?0，(否则?POQ不存在)，即x?4-4，为,282使?POQ面积最大只须d最大，当x=8时，d =6. 2max11?(S)=?|OQ|?d=?52?62=30. ?POQmax max22】 O为锐角?ABC的外心，若S【例4 ，S ，S成等差数列，求tanA?tanC?BOCCOAAOB的值. 【解答】 如图，有:S+S=2S. ?BOCAOBCOA不妨设?ABC外接圆半径为1，令?BOC=2A,?AOC=2B，?AOB=
6、r=2C， 11则有:sin+sin=sin， 22即sin2A+sin2C=2sin2B. 2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图?sin(A+C)=sinB?0, cosB= -cos(A+C). ?cos (A-C)+2cos (A+C)=0, cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3. 【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系;以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角
7、公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的. ?对应训练 1.在棱长为4的正方体ABCDABCD中， 1111O是正方形ABCD的中心，点P在 1111棱CC上，且CC= 4CP. 11(?)求直线AP与平面BCCB所 11成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (?)设O点在平面DAP上的 1射影是H，求证:DH?AP; 1(?)求点P到平面ABD的距离. 第1题图1 1112.证明不等式: (n?N). 1，？，,2n+23n,133,，222,3.设x?，f (x)=，求f (x)的最大值与sinx,cosx,，sinx,422443,，,最
8、小值. ,111,+4.若x，y，z?R，且x+y+z=1，求函数u=,的最小值. ,1,1,1,xyz,?参考答案 1.建立如图的空间直角坐标系，有: A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B(4,4,4)，D(0,0,4). (?)连BP，?AB?平面BCCB. 111124，1,17.?AB?BP，?APB是直线AP与平面BBCC的夹角，?= |BP|11|AB|4,17?tan?APB=. 17|BP|417?AP与平面BBCC所成角为arctan. 1117(?)连DB，则O?DB. 111?=(4,4,0)，=(-4,4,1), APDB11?AP=-16+16+0
9、=0. DB11即AP?，也就是?. 第1题解图DBADDO1111已知OH?面ADP，?AP?DO(三垂线定理) 11(?)在DD上取|=1，有Q(0,0,1)，作QR?AD于R，?RQ?AB，?PQ?面ABD，DQ111?AB?面AADD，?AB?QR，则QR?面ABD，QR之长是Q到平面ABD的距离，1111 11?S=|?|=|?|. AD?ACQRDQADQ 111223即:4?|= 43，?|=. 22QRQR21、20以内退位减法。3已证PQ?ABD，?点P到平面ABP的距离为. 21122、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交
10、流，体会数与日常生活的密切联系。点评:虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别(?),(?)两问，本解都用到了若干转换手法. 11112.只须证 ，？,n,222232n分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:1111111右式=，？,，？1，122，2n，n1，22，3n,1，n13.13.4入学教育1 加与减（一）1 P2-31，(2,1)，(3,2)，？，(n,n,1)=2(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；1n,n=. 2当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。1111111?成立，从而1+ ，？,n,，？，,2n.223n22232n1,3,3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -sin+. 2x,286,|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。,，当x?时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,34343632，二特殊角的三角函数值,3,43,f(x), =， 当x=时, ,f (x),=-. minmax 48812.与圆有关的辅助线2yz2xy2xy11,xy，z11,1,1,4.注意到，同理:，,1,xxxxzzyz145.286.3加与减（三）2 P81-838xyz?u?=8. xyz