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1、多面体与球接切问题,简单多面体与球的接切问题,多面体与球接切问题,球的概念,1球的概念,与定点的距离等于定长的点的集合，叫做 。,半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.,球的旋转定义,球的集合定义,与定点的距离等于或小于定长的 点的集合，叫做球体。,球面,多面体与球接切问题,球的性质,性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面,性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。,大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心,性质3: 球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r 有下面的关系:,A,多面体与球接切问题,多面体
2、与球接切问题,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,正方体的内切球,外接球,棱切球,正方体与球,多面体与球接切问题,切点：各个面的中心。球心：正方体的中心。直径：相对两个面中心连线。,球的直径等于正方体棱长。,一、正方体的内切球,多面体与球接切问题,二、球与正方体的棱相切,球的直径等于正方体一个面上的对角线长,切点：各棱的中点。球心：正方体的中心。直径： “对棱”中点连线,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,三、 正方体的外接球,球直径等于正方体的（体）对角线,多面体与球接切问题,正方体的内切球, 棱切球,外接球,三个球心合一,半径之比为：,多面体与球接切问题,长方体
3、与球,一、长方体的外接球,长方体的（体）对角线等于球直径,多面体与球接切问题,一般的长方体有内切球吗？,没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。,如果一个长方体有内切球， 那么它一定是,正方体,？,多面体与球接切问题,例：,多面体与球接切问题,例：如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ ）,将半球补成整球,多面体与球接切问题,分析2,O,A,B,设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。,如图，连结OA、OB，则得RtOAB.,设正方体棱长为a，易知：,多面体与球接切问题,例. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且P
4、A、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。,变式：将上面的条件改为“PA=a,PB=b,PC=c”,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,例：如图为某几何体的三视图，该几何体的内切球体积为_,4,多面体与球接切问题,正四面体与球,1.棱长为a的正四面体的外接球的半径为_,多面体与球接切问题,P,A,B,C,M,O,R,R,.正四面体的外接球可利用直角三角形勾股定理来求,D,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,2.棱长为a的正四面体的棱切球的半径_,多面体与球接切问题,3.棱长为a的正四面体的内切球的半径_,？,多面体与球接切问题,正四面体的内切球还可利用
5、截面三角形来求,多面体与球接切问题,多面体与球接切问题,正四面体的内切球, 棱切球,外接球,半径之比为：,正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。,正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。,多面体与球接切问题,正四面体常常补成正方体求外接球的半径,三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体,小结:常见的补形,多面体与球接切问题,球心在高PH上，即在锥体内部,球心在高PH的延长线上，即在锥体外部,球心与底面正中心H重合,正三棱锥与球,正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上,多面体与球接切问题,度量关系：,设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，,或
6、在RtAHO中，,多面体与球接切问题,正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）,A,解：,设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心.,延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90,由Rt中的射影定理得：,法二,由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：,题目：,多面体与球接切问题,球与棱柱切接问题,正三棱柱的外接球,球心在上下底面中心连线的中点。,AOB是等腰三角形，OA=OB=R,设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。,正三棱柱的内切球,如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。,多面体与球接切问题,（2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。,真题赏析,多面体与球接切问题,解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为.,多面体与球接切问题,