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1、初中数学二次函数练习题精品文档 初中数学二次函数练习题 y=ax +bx+c则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax ;+bx+c顶点式:y=a ;+k 抛物线的顶点P 交点式:y=a 仅限于与x轴有交点A和 B的抛物线 注:在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=/4a x1,x2=/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点
2、P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P -b/2a ，/4a 。当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b -4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a,0时，抛物线向上开口;当a,0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时，对称轴在y轴左;当a与b异号时，1 / 22 精品文档 对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b -4ac,0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b -4a
3、c=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b -4ac,0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数y=ax ;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax ;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线y,ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 一般式:y,ax2+bx+c . 顶点式:y,a2+k.两根式:y,a，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的
4、横坐标，即一元二次方程ax2。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ?一般式:y=ax +bx+c ?顶点式抛物线的顶点 P :y=a +k ?交点式仅限于与x轴有交点 A 和 B 的抛物线:y=a 以上3种形式可进行如下转化: 2 / 22 精品文档 ?一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax +bx+c，其顶点坐标为/4a)，即 h=-b/2a=/k=/4a ?一般式和交点式的关系 x1,x2=-b?/2a 2012中考数学精选例题解析:一次函数 知识考点: 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值
5、等。 精典例题: 二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，那么 2 abc、b2?4ac、2a?b、 4a?2b?c这四个代数式中，值为正的有 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 b ,1a ?2a?b,0 解析:?x?答案:A 评注:由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判 2 例1图 定b的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个3 / 22 精品文档 数判定b?4ac的符号，若x轴标出了1和,1，则结合函数值可判定2a?b、a?b?c、a?b?c的符号。 已知a?b?c?0，a?0，把抛物线y?ax?bx?c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到
6、的新抛物线的顶点是，求原抛物线的解析式。 分析:?由a?b?c?0可知:原抛物线的图像经过点;?新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 解:可设新抛物线的解析式为y?a，则原抛物线的解析式为y?a?1，又易知原抛物线过点 ?0?a?1，解得a?原抛物线的解析式为:y? 2 2 2 2 1 1 2?1 评注:解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常4 / 22 精品文档 见的几种变动方式有:?开口反向，此时顶点坐标不变，只是a反号;?两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x
7、轴对称，a反号;?两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称; 探索与创新: 已知，抛物线y?a?t的顶点是A，如图所示，抛物线 2 2 y?x2?2x?1的顶点是B。 判断点A是否在抛物线y?x?2x?1上，为什么, 如果抛物线y?a?t经过点B，?求a的值;?这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形,若能，求出它的值;若不能，请说明理由。 解析:抛物线y?a?t的顶点A，而x?t?1当时， 问题图 y?x2?2x?1?2?2,t2，所以点A在抛物线y?x2?2x?1上。 ?顶点B，a?t?0，?t?0，?a?1;?设抛物线y?a?t与x轴的另一交点为C，?B，C，由抛物线的
8、对称性可知，?ABC为等腰直角三角形，过A作AD?x轴于D，则AD,BD。当点C在点B的左边时，t?1?，解得t?1或t?0;当点C在点B的右边时，。故t?1。 t2?1，解得t?1或t?0 评注:若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的5 / 22 精品文档 中线等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练: 一、选择题: 1、二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，OA, ?abc,0; ?4ac?b; ?ac?b?1; ?2a?b?0; 2 2 2 2 2 2 2 OC，则下列结论: c ?OA?OB?; a ?4a?2b?c?0
9、。其中正确的有 2 第1 题图 A、2个B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数y?x?bx?c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y?x?2x?1，则6 / 22 精品文档 b与c分别等于 A、6、 B、,8、14 C、4、 D、,8、,14 3、如图，已知?ABC中，BC,8，BC边上的高h?4，D为交AC于F，设E到BC的距离为x，?DEF数图像大致是 E 2 BDC BC上一点，EF?BC交AB于E， 的面积为y，那么y关于x的函 第3题图 A BC D 3题图 4、若抛物线y?ax与四条直线x?1，x?2，y?1，y?2围成的正方形有公共点，则a的取值
10、范围是 A、 1111 ?a?1 B、?a?2C、?a?1D、?a?2224 2 5、如图，一次函数y?kx?b与二次函数y?ax?bx?c的大致图像是 ABC D 二、填空题: 7 / 22 精品文档 1、若抛物线y?x?2mx?3m?2的最低点在x轴上，则m的值为。 2、二次函数y?4x?mx?5，当x?2时，y随x的增大而减小;当x?2时，y随x的增大而增大。则当x?1时，y的值是 。 3、已知二次函数的图像过点，图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 4、已知抛物线y?x?4mx?n的对称轴是x?2，且它的最高点在直线y?
11、为 ，n, 。 三、解答题: 1、已知函数y?x?x?m的图像过点，设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且 22 2 2 2 1 x?1上，则它的顶点2 S?ABC?1，求点C的坐标。 2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图8 / 22 精品文档 象刻画了该公司年初以来累积利润S与销售时间t之间的关系。根据图象提供的信息，解答下列问题: 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S与时间t之间的函数关系式; 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; 分别交于A、B两点，已知?AOB,900。 2 求过原点O，把?AOB面积两等分的直线
12、解析式; 为使直线y? O 2x?b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合, 2 4、如图，抛物线y?ax?4ax?t与x轴的一个交点为A。 求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标; D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式; E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5?2的点，如果点E在中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问:在抛物线的对称轴上是否存在点P，使?APE的周长最小,若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。 参考答案 9 / 22 精品文档 一、选择题:BCDDC 二、填空题: 1、2;2、,7;3、
13、y?三、解答题: 1、C或、S? 1 ，n?2; 2?1;4、 2 12 10月;5.5万元 t?2t; 2 x;,3?b?0 2 2 3、y? 4、B;y?x?4x?3或y?x?4x?3;在抛物线的对称轴上存在点P，使?APE的周长最小。 二次函数题 选择题: 1、y=xm2- m 是关于x的二次函数，则m= A -1 B2C -1或D m不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c模型的是 A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随10 / 22 精品文档 年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之
14、间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2，则抛物线的解析式是 A y=2+2B y=2+2C y=+ D y=22、抛物线y= 12 x-6x+24的顶点坐标是 2 A B C D 6、已知函数y=ax2+bx+c, 图象如图所示，则下列结论中正确的有的图象过点，则 c 的值是 a?b11 A -1 B 1 C D - 22 = 二填空题: ab = b?ca?c 11 / 22 精品文档 8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的 B 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2
15、，2mx，m上的点的坐标是。 16、若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x,，最小值为,，则关于方程ax2+bx+c,的根为。 17、抛物线y=x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k, 解答题: 1、已知:二次函数y=x+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点( 2 求此二次函数的解析式( 设该图象与x轴交于B、C两点，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使?EBC的面积最大，并求出最大面积( 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y9轴交于点C ，顶点为求抛物线的函数表达式; 设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使?CDP为等腰三角
16、形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标( 若点E是线段AB上的一个动点，分别连接AC、BC，12 / 22 精品文档 过点E 作EF?AC交线段BC于点F，连接CE，记?CEF的面积为S，S是否存在最大值,若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在，请说明理由( 4 3、如图，一次函数y,4x,4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y,x2，bx， 3 c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B( 求抛物线的函数表达式; 设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积; 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N(问在x轴上是否存在点P，使 得?PMN是等腰直角三角形,如果存
17、在，求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在，请说明理由( 4、已知抛物线 y? 127 x?mx?2m?(2 试说明:无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点; 如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的13 / 22 精品文档 顶点为点C，直线y=x,1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D( ?抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形,若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由; ?平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形( 5、如图，抛物线y,mx2,11mx，24m 与x轴交于B、C两点
18、，抛物线另有一点A在第一象限内， 且?BAC,90?( 填空:OB,_?，OC,_?; 连接OA，将?OAC沿x轴翻折后得?ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式; 如图2，设垂直于x轴的直线l:x,n与中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移， 且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究:当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值( 6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC?AD，?BAD=90?，BC与y轴相交于点M，且M是 14 / 22 精品文档 0) )BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是
19、A(连接DM，并把线段DM沿DA方向平 移到ON(若抛物线 y?ax2?bx?c经过点D、M、N( 求抛物线的解析式( 抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大,并求出最大值( 7、已知抛物线 ，与y轴交于点C，点D为抛物线y?ax2?2ax?3a 与x轴交于A、B两点 的顶点(求A、B的坐标; 过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式; 在第小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线
20、CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离,若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由( 15 / 22 精品文档 8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过M和N两点，且与y轴交于D，直线l是抛物线的对称轴(1)求该抛物线的解析式( 2)若过点A的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式()点P在抛物线的对称轴上，?P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标( 9、如图，y关于x的二次函数y= ,图象的顶点为M，图象交x 轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点(以AB为直径作圆，圆心为C(定点E的坐标为，
21、连接ED( 写出A、B、D三点的坐标; 当m为何值时M点在直线ED上,判定此时直线与圆的位置关系; 当m变化时，用m表示?AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。 10、已知抛物线 y?ax2?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点(与y轴交于点C(其中AI，C( 求抛物线的解析式; 若点P在抛物线上运动( ?如图l(当?PBC面积与?ABC面积相等时(求点P的坐标; 16 / 22 精品文档 ?如图2(当?PCB=?BCA时，求直线CP的解析式。 答案: 二次函数单元测评 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是 A. B.C. D. . 函
22、数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是 A. B. C. D. . 抛物线y=22的顶点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上D. y轴上 4. 抛物线 的对称轴是 A. x=-B.x=C. x=-D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 A. ab0，c0 B. ab0，c0 D. ab 6. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点在第 _象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点P 17 / 22 精品文档 的横坐标是4，图象交x轴于点A和点B，且m4，那么
23、 AB的长是 A.+m B. m C.m-D.-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是 9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1，P2是抛物线上的点，P3是直线 上的点，且-1 系是 A. y1 C. y3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 A. C. B. D. 二、填空题 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是_. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=2+k的形式，则y=_. 18 / 22 精品文档
24、13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A，B两点，则这条抛物线的解析式为_. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且?ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式_. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s与抛出时间t满足:.若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式为_. 18. 已知抛物线y=
25、x2+x+b2经过点 三、解答题 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A和B。 ，则y1的值是_. 求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A的坐标; 求此二次函数的解析式; 20. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+x- 的图象交 x轴于点A、B，且=-8. 19 / 22 精品文档 求二次函数解析式; 将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求?POC的面积. 21. 已知:如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点C，另抛物线经过点，M为它的顶点. 求抛物线的解析式; 求
26、?MCB的面积S?MCB. 22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 答案与解析 一、选择题 1.考点:二次函数概念.选A. 2. 考点:求二次函数的顶点坐标. 解析:法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a2+k的形式，顶点坐标即为，y=x2-2x+3=2+2，所以顶点坐标为，答案选C. 20 / 22 精品文档 3. 考点:二次函数的图象特点，顶点坐标.
27、解析:可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=22的顶点为，所以顶点在x轴上，答案选C. 4. 二次方程的两个实数根考点:数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为. 115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67解析:抛物线 ，直接利用公式，其对称轴所在直线为 （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.答案选B. (2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）5. 考点:二次函数的图象特征. 解析:由图象，抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在y 轴右侧， 抛物线与y轴交点坐标为点，由图知，该
28、点在x轴上方， 答案选C. 6. (二)教学难点考点:数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征. 2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。解析:由图象，抛物线开口方向向下， 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。抛物线对称轴在y 1.圆的定义：21 / 22 精品文档 轴右侧， =0 抛物线与x轴有1个交点；抛物线与y轴交点坐标为点，由图知，该点在x 二次函数配方成则抛物线的轴上方， 22 / 22