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1、数学建模与数学实验课程实验报告实验名称微分方程初值问题求解matlab实验班级学号姓名序号任课教师实验地点数学实验中心评分一、实验目的1、 学习简单问题的常微分方程建模。2、 学习并理解食饵-捕食者模型；3、 掌握微分方程（组）初值问题的 matlab数值求解；二、实验要求和结果1.地中海鲨鱼问题意大利生物学家 Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从A次世界大战 期间，地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？年代191
2、41915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71 .符号说明：Xl（t）食饵在t时刻的数量；X2（t）捕食者在t时刻的数量；r1 食饵独立生存时的增长率；r2 捕食者独自存在时的死亡率；A 捕食者掠取食饵的能力；一2 食饵对捕食者的供养能力 .e一捕获能力系数2 .基本假设：（1）食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；（2）捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长 的程度与食饵数量成正比。3 .模型建立与求解模型（一
3、）不考虑人工捕获dxz.、=”（1 也）dtdX2，小、一 X2（T2 十九2X1）dt针对一组具体的数据用Matlab软件进行数值求解，画出食饵和捕食者图形以及相轨线图.设食饵和捕食者的初始数量分别为 x1 (0) = x1o , X2(0) = x20对于数据1 =1 1 =0.1/2 =0.5, 2 =0.02,Xi = 25,X20 = 2,t的终值经试验后确定为15,即模型为：Xx1 X1 (1 - 0.1X2) x2 = x2 (-0.50.02x1)x1(0) =25,x2(0) =2解：Matlab运行首先建立 M文件fun.m如下：function dx=fun(t,x)dx
4、=zeros(2,1)dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);然后，输入以下命令：t,x=ode45( fun ,0 15,25 2);plot(t,x(:,1), - ,t,x(:,2), *)plot(x(:,1),x(:,2)X1(t)和X2(t)的曲线图如下Q51015100 90 80 70 50 40 30 20 10 0食饵捕食者图形相轨线y(x)的图形如下：010203c 版 融 60703000 1g数值结果为 t=77*1double, x=77*2double.该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之
5、间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是最简单的模型。食饵的量增加，捕食者也随之增加；食饵的量减少，捕食者的量也随之减少。可以猜想Xl(t)和X2 都是周期函数。而且它们的循环是有一定周期的。模型(二)考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为e,相当于食饵的自然增长率由ri降为r1-e ,捕食者的死亡率由r2增为r2+edxiXi(ri -e) -1X2 dt dx2X2-(2 e)2X1dt仍取 r 二1, =0.1,r2 -0.5, 2 =0.02,x1(0) = 25, x2(0) =2设战前捕获能力系数 e=0.3,dx1/= X1(0.7-0.1X2) dxo= x2 (-0.
6、8 +0.02x1)X1(0)=25,X2(0)=2战争中降为e=0.1,则战前与战争中的模型分别为dx1dt =x1(0.9-0.1x2) dxo2 =X2(-0.6 0.02X1)dtX1(0) =25,X2(0) =2建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比 例 x2(t)/x1(t)+x2(t)解：先在 matlab中建立 M文件shier1.m:function dx=shier1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);再在 matlab中先
7、建立 M文件shier2.mfunction dx=shier2(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1);然后在matlab中输入以下命令：t,x=ode45(shier1,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),-)t,x=ode45(shier2,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2), *)求解结果：战前 x=65*2double t=65*1double战争中 x=77*2double t=77*1dou
8、ble结论：战争中鲨鱼的比例比战前高。2.慢跑者与狗一慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然遭到一只狗的攻击，这只狗以恒定的X =10t速度跑向慢跑者，试计算狗追赶的轨迹。并就当慢跑者沿路径 ” 二0 或X =10+20cost1y =20+15讨(t为时间参数) 跑动时，给出具体的数值结果和运动轨迹图(狗的初 始位置和速度可以自行设定)。解：1 .模型建立当慢跑者沿路径2慢跑时，设时刻t慢跑者的坐标为(X(t),Y(t),狗的坐标为(x(t),y(t),狗的速率为 w=20，则X=10+20cos t, Y=20+15sin t, 狗从(0,0)出发，建立狗的运动轨迹 的参数方程：dxdT
9、20(X -x)2 (Y -y)2(X x)20dy dt_20(X -x)2 - (Y -y)2(Y -y)x(0)=0,y(0)=02 .模型求解建立M文件eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)A2+(20+15*sin(t)-y(2)A2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)A2+(20+15*sin(t)-y(2)A2);取t0=0 , tf=10 ,建立主程序 chase2
10、.m如下：t,y=ode45(eq2,0 10,0 0);Y=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(t);Y=20+15*sin(t);plot(X,Y,-), hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)得到图形：QIIJdjJ,1-15-10-505 W 1520253035在chase2.m中，不断修改tf的值，用二分法分别取t f=5,2.5,3.5,.,至3.15时，狗刚好追上慢跑者，即如下图*15 -豪口jJ1Jl-10 -S 051015202530三、思考自然界中不少吃农作物的害虫都有其天敌一一益虫，也就是以害虫为食饵的捕食者。因此害虫和益虫也构成了一个食饵一捕食者系统。如果人类使用的某种杀虫剂，既能杀死害虫，也能杀死益虫，从长期来看，会有什么样的效果，害虫会减少吗？答：害虫不仅不会减少， 还会增加。因为人类对作物喷洒杀虫剂时，相当于前面讨论过的人 为捕获的影响，此时捕食者（益虫）占总虫子数的比例减小，从长期效果看，用这种杀虫剂 将使害虫增加，益虫减少，与使用者的愿望相反。