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1、1.200以内质数表2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47,53,59, 61, 67,71,73,79,83,89,97,101, 103, 107, 109,113, 127, 131, 137, 139, 149, 151 , 157, 163, 167, 173, 179, 181 ,191, 193, 197, 1993 .整除判定 能被2整除的数,其末尾数字是2的倍数即偶数能被3整除的数,各位数字之和是3的倍数 能被5整除的数,其末尾数字是5的倍数即5、0能被4整除的数,其末两位数字是4的倍数能被8整除的数,期末三位数字是8的
2、倍数能被9整除的数,各位数字之和是9的倍数能被25整除的数,其末两位数字是25的倍数 能被125整除的数,其末三位数字125的倍数1.4 经典分解91=7X 13133=7X19147=7X21171=9X191.5 常用平方数111=3X 37117=9X13153=9X17187=11X17119=7X17143=11X13161=7X23209=19X11平方数字23456789101112131415161718192021222349162536496481100121144169196225256289324361400441484529242526272829301.6常用立方数
3、数字12345678910576625676729784841900立方18276412521634351272910001.7典型哥次数数1234524916253827641254168125662553224310246647297128825695121010241.8常用阶乘数数字阶乘1122364245120672075040840320指数636216129636288010362880002.1浓度问题1 .混合后溶液的浓度,应介于混合前的两种溶液浓度之间.2 .浓度=溶质+溶液2.2代入排除法1 奇数+奇数=偶数奇数-奇数=偶数偶数+偶数=偶数偶数-偶数=偶数奇数+偶数=奇数
4、奇数-偶数=奇数2 .任意两个数的和如果是奇数,那么差也是奇数；如果和是偶数,那 么差也是偶数.任意两个数的和或差是奇数,那么两数奇偶相反；和或差事偶数,那么 两数奇偶相同.3 .余数特性一个数被2除得的余数,就是其末一位数字被 2除得的余数一个数被5除得的余数,就是其末一位数字被 5除得的余数一个数被4除得的余数,就是其末两位数字被 4除得的余数一个数被8除得的余数,就是其末三位数字被 8除得的余数一个数被25除得的余数,就是其末两位数字被 25除得的余数一个数被125除得的余数,就是其末三位数字被 125除得的余数一个数被3除得的余数,就是其各位数字相加后被 3除得的余数一个数被9除得的余
5、数,就是其个位数字相加后被 9除得的余数9 .循环数198198198=198X 10010012134213421342134=2134X 1000100010001规律：有多少个循环数,就有多少个 1,1之间0的个数是循环数位数减1例如2134213421342134中有“2134四个,所以应该有4个1,同 时2134为四位数,所以两个1之间应该有三个0,所以为 100010001000110 .乘方尾数口诀底数留个位,指数除以4留余数余数为0,那么看做4例如19991998的末尾数字为：底数留个位,所以底数为 9;指数除 以4留余数,1998除以4的余数为2,所以最后为92=81,因此末
6、尾 数字为111市达定理2ax bx c = 0其中x1和x2是这个方程的两个根,那么：bx1+x2= ax1 Xx2= a逆推理：如果 a+b=m axb=n贝U a、 b是x2 mx + n =0的两个根.5.4行程问题1 .路程=速度x时间2 .相向运动：速度取和；同向运动：速度取差3 促进运动：速度取和；阻碍运动,速度取差5.5 工程问题工作总量=工作效率x工作时间5.6 几何问题1 .常用周长公式：正方形周长C正方形=4a长方形周长C长方形=2a+b圆形周长C圆形二2：R2 .常用面积公式c2正方形面积S正方形二a长方形面积S长方形二ab2圆形面积端形=下C1 一. ,S=角形二-a
7、h三角形面积 2平行四边形面积S平行四边形=ah1, 一、一S弟形=(a+b)梯形面积 2扇形面积,扇形二 R23603 .常用外表积公式2正方体外表积=6a长方体外表积=2ab 2ac 2bc球外表积=4二必圆柱体外表积=2二Rh 2二R24 .常用体积公式C3正方体体积V正方体一a长方体体积V长方体:abc一,V球,二 R3 =-：D3球的体积 362.圆柱体体积V圆柱体=.R h12,V|g锥体=- R h圆锥体体积35 .几何图形放缩性质假设将一个图形扩大至原来的 N倍,那么：对应角度仍为原来的1倍;对应长度变为原来的N倍；面积变为原来的N2倍；体积变为原来的N3倍.6 .几何最值理论
8、1 .平面图形中,假设周长一定,越接近于圆,面积越大.2 .平面图形中,假设面积一定,越接近于圆,周长越小.3 .立体图形中,假设外表积一定,越接近于球体,体积越大.4 .立体图形中,假设体积一定,越接近于球体,外表积越小.7.三角形三边关系三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.题目中例8非常重要.5.7容斥原理1 .两集合标准型核心公式满足条件I的个数十满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数- 两者都不满足的个数2 .三集合标准核心公式| A LB LC|斗 A| |B| |C| -|ApB| -|AC|-|Br|C| | AlJ BUC|3 .三集合整体重复型核心公式假设满足
9、三个条件的元素数量分别为A、B、C,而至少满足三个条件之一的总量为 W.其中：满足一个条件的元素数量为x,满足两个 条件的数量为y,满足三个条件的数量为z,从而有下面两个等式：W=x+y+zA+B+C=x X 1+yX 2+z X 34 .8排列组合问题 1排列公式:IAm =: =n (n-1) (n -2)| (n -m 1)(n -m)!2组合公式：n!(n -m)! m!n (n -1) (n -2)|l| (n - m 1)m (m -1) (m-2) |l| 13 .“捆绑插空法核心提示相邻问题一一捆绑法：先将相邻元素全排列,然后视其为一个整体与剩余元素全排列；不邻问题一一插空法：
10、现将剩余元素全排列,然后将不邻元素有序插 入所成间隙中.4 .对抗赛比赛场次根本公式淘汰赛一一仅需决出冠亚军比赛场次=N-1需决出1、2、3、4比赛场次=N循环赛一一单循环任意两个队打一场比赛比赛场次=.22双循环赛任意两个队打两场比赛比赛场次=Pn5 .9概率问题1 .单独概率=满足条件的情况数+总的情况数2 .某条件成立概率=1-该条件不成立的概率3 .总体概率=满足条件的各种情况概率之和4 .分布概率=满足条件的每个步骤概率之积5 .条件概率：“A成立时“ B成立的概率 =A、B同时成立的概率+ A成立的概率5.10边端问题1 .段数公式：段数=总长+株距2 .线性植树：单边植树：棵树二
11、段数+ 1双边植树：棵树=段数+1 X 23楼间植树：单边植树 棵树=段数-1双边植树 棵树=段数-1 X 24.环形植树：单边植树 棵树二段数双边植树 棵树二段数X 25 .方阵问题核心法那么：人数公式：N层实心方阵的人数=N2外周公式：N层方阵最外层人数=N-1 *4对于三角阵、五边阵的情况可以此类推6 .过河问题核心法那么：M个人过河,船上能载N个人,由于需要一个人划船,共需往返M -1N -1次需要X 2“过一次河指的是单程,“往返一次指的是双程载人过河的时候,最后一次不再需要返回.7 .12初等数学问题1 .同余问题余同取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期例如：一个数除以4余1,除
12、以5余1,除以6余1,那么取1,表示为 60n+1一个数除以4余3,除以5与2,除以6余1,那么取7,表示为 60n+7一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,那么取3,表示为 60n-32 .等差数列核心公式首项+末项M项数,和=/乙_=平均数父项数=中位数乂项数求和公式：2后初末项-首项项数=- 1项数公式:公差级差公式： 第N项-第M项=N - Mx公差通项公式：*+n-1/公差5.13年龄问题1 .根本知识点每过N年,每个人都长N岁两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的两个人的年龄之间的倍数随着时间的推移而变小.2 .平均分段法例如：甲对乙说：当我岁数是你现在岁数时,你才 4岁.乙对
13、甲说:当我的岁数是你现在岁数的时候,你是67岁,那么现在甲乙各多少岁？ 画出如下列图：6767-4=63,即相差了 6367-甲-乙-4,共有三段,所以每段为63 + 3=21所以乙=4+21=25岁所以甲=25+21=46岁3 .14统筹问题1 .“非闭合货物集中问题判断每条“路的两侧的货物总重量,在在这条路上一定是从轻的一侧流向重的一侧.特别提示：本法那么必须适用于“非闭合的路径问题中本法那么的应用,与各条路径的长短没有关系我们应该从中间开始分析,这样可以更快.2 .货物装卸为题如果有M辆车和NM个工厂,所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M各工厂所需的装卸工之和.假设M=N ,那么需
14、要把各个点上的人加起来即答案m排列数公式：Pn=n n1 n2n m+1, m0)2a2abc根与系数的关系： Xi+X2= , Xi - X2=aa(2) a b - 2 .ab(-)2 _ aba2 b2 _ 2ab(-c)3 - abc23(3) a2+b2+c2 之3abca+b+c23abc推 广 ：x1 x2 x3 . xn -.nn x1x2. xn.(4) 一阶导为零法：连续可导函数,在其内部取得最大值或最小值时,其导数 为零.(5)两项分母列项公式：一b =(1 ) X -m(m a)m m a a三项分母裂项公式:b=1 1 x m(m a)(m 2a) m(m a) (m
15、 a)(m 2a) 2a111二角形=-ah =1absin c梯形=1(a+b)h222圆形=r R2平行四边形=ah扇形=,R R236003 .外表积：正方体=6 a2长方体=2 M ab+bc+ac圆柱体=2 tt r2 + 2 tt rh球的外表积=4二R24 .体积公式正方体=a3 长方体=abc圆柱体=Sh=兀r2h圆锥=-冗r 2h3球二4 二 R335 .假设圆锥的底面半径为r,母线长为l ,那么它的侧面积：S侧=兀rl ;6 .图形等比缩放型：一个几何图形,假设其尺度变为原来的 m倍,那么：1. 所有对应角度不发生变化；2. 所有对应长度变为原来的m倍；3. 所有对应面积变
16、为原来的吊倍；4. 所有对应体积变为原来的吊倍.7 .几何最值型：1 .平面图形中,假设周长一定,越接近与圆,面积越大.2 .平面图形中,假设 面积一定,越接近于圆,周长越小.3. 立体图形中,假设外表积一定,越接近于球,体积越大.4. 立体图形中,假设体积一定,越接近于球,外表积越大.六、工程问题一工作量=工作效率X工作时间；工作效率=工作量+工作时间；工作时间=工作量+工作效率；总工作量=各分工作量之和；注：在解决实际问题时,常 设总工作量为1或最小公倍数七、几何边端问1方阵问题：1 .实心方阵：方阵总人数=最外层每边人数2=外圈人数+ 4+1 2=M 最外层人数=最外层每边人数1 X42
17、 .空心方阵：方阵总人数=最外层每边人数2-最外层每边人数-2 X层数2=最外层每边人数-层数义层数义4=中空方阵的人 数.无论是方阵还是长方阵： 相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8人.3 . N边行每边有a人,那么一共有Na-1人.4 .实心长方阵：总人数二掖N 外圈人数=2M+2N-45 .方阵：总人数=M外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人？ 解：103 X 3X4= 84 人 排队型：假设队伍有N人,A排在第M位；那么其前面有M-1人,后面有N-M 人 爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬(N-1)楼,从第N层爬到第M层要怕 层.八、利润问题(1)利
18、润=销售价(卖出价)一本钱;利润率=四=销售日二本钱=g1；本钱 本钱本钱销售价:本钱X ( 1+利润率);本钱=(2)利息=本金X利率X时期；本金=本利和+ ( 1+利率X时期).本利和=本金+利息=本金X ( 1+利率X时期)=本金M (1+利率)期限；月利率=年利率+ 12；月利率X 12=年利率.例：某人存款2400元,存期3年,月利率为10. 2%0 (即月利1分零2毫), 年到期后,本利和共是多少元？. 2400X ( 1+10. 2% X 36) =2400X 1. 3672 =3281. 28 (元)九、排列组合(1)排列公式：Pm =n (n1) (n 2)(n m+ 1),
19、 (m n).a； = 7m6M5(2)组合公式：C： = P：+Pm=(规定 C：=1).c； =5333 2 1(3)错位排列(装错信封)问题：D = 0, D= 1, Q = 2, D=9, Q= 44, Q = 265,(4) N人排成一圈有AN/N种；N枚珍珠串成一用有AN/2种.关键是年龄差不变；几年后年龄=大小年龄差一倍数差-小年龄几年前年龄=小年龄-大小年龄差+倍数差H一、植树问1(1)单边线形植树：棵数=总长.间隔+1；总长=(棵数-1) x间隔(2)单边环形植树：棵数=总长.间隔；总长=棵数x间隔(3)单边楼间植树：棵数=总长.间隔一1;总长=(棵数+1) x间隔(4)双边
20、植树：相应单边植树问题所需棵数的 2倍.(5)剪纯问题：对折N次,从中剪M刀,那么被剪成了( 2nX M 1)段 十二、行程问 题(1)平均速度型：平均速度= 0皿v1 v2(2)相遇追及型：相遇问题：相遇距离 =(大速度+小速度)X相遇时间追及问题：追击距离=大速度一小速度X追及时间背离问题：背离距离=大速度+小速度X背离时间3流水行船型：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.顺流行程=顺流速度X顺流时间=船速+水速X顺流时间逆流行程=逆流速度X逆流时间=船速一水速X逆流时间 4火车过桥型：列车在桥上的时间=桥长-车长+列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=桥长+车长+列 车速度
21、列车速度=桥长+车长+过桥时间5环形运动型：反向运动：环形周长=大速度+小速度X相遇时间同向运动：环形周长=大速度一小速度X相遇时间6扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数x 1士匕,顺行用加、逆行用减 u人7队伍行进型：对头T队尾：队伍长度=u人+U队X时间队尾T对头：队伍长度=u人u队X时间8典型行程模型：等距离平均速度：u =31%uiu2U、12分别代表往、返速度等发车前后过车：核心公式:2t1t2u 车 t2 +t1ti +t2u人 t2 -ti等间距同向反向：=曳t反 ui -u2不间歇屡次相遇：单岸型：S = s2两岸型：5=381-0 S2表示两岸距离无动力顺水漂流：漂流所需时间2t
22、逆力顺t逆一如其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间十三、钟表问 题根本常识:. .1.,钟面上按“分针分为 60小格,时针的转速是分针的分针每小时12,11可追及1112时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180022次.钟表一圈分成12格,时针每小时转一格30,分针每小时转12格360时针一昼夜转两圈7200, 1小时转工圈300;分针一昼夜转24圈,121小时转1圈.钟面上每两格之间为300,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情 况.追及公式：T =T.+1丁.； T为追及时间,T0为静态时间假设时针不动,分11针和时针到达条件要求的虚拟时间.十四、容斥原理两集合标
23、准型：满足条件I的个数十满足条件II的个数一两者都满足的个数 =总个数一两者都不满足的个数 三 集 合 标 准 型 ：ABC=A +B +C AB - BrIC - ArIC三集和图标标数型:1.利用图形配合,标数解答特别注意“满足条件和“不满足条件的区别ABC2 .特别注意有没有“三个条件都不满足的情形3 .标数时,注意由中间向外标记三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W其中：满足一个条件的元素数量为 x,满足两个条 件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可以得以下等式：亚二乂+丫+% A+B+C=x+2y+3z十五、牛吃草问核心
24、公式：y=NxT原有草量=牛数-每天长草量X天数,其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别,如“ M头牛吃W山草时,N用M代入,此时 WN代表单位面积上的牛数.十六、弃九推断在整数范围内的+X三种运算中,可以使用此法1 .计算时,将计算过程中数字全部除以 9,留其余数进行相同的计算.2 .计算时如有数字不再08之间,通过加上或减去 9或9的倍数到达08 之间.3 .将选项除以9留其余数,与上面计算结果对照,得到答案.例：11338X 25593的值为290173434以9余6.选项中只有B除以9余6.十七、乘方尾数1 .底数留个位2 .指数末两位除以4留余数余数为0那么看作4 例题：
25、37244998的末尾数字A.2B.4C.6D.8解析37244998f 22- 4十八、除以“ 7乘方余数核心口诀注：只对除数为7的求余数有效1 .底数除以7留余数2 .指数除以6留余数余数为0那么看作6 例：20072021除以7余数是多少？解析20072021 55 312A 3 3125+ 7=446. 3十九、指数增长如果有一个量,每个周期后变为原来的A倍,那么N个周期后就是最开始的AN倍,一个周期前应该是当时的 -o A二十、溶液问施厂溶液=溶质+溶剂浓度=溶质+溶液溶质=溶液X浓度溶液=溶质+浓度浓度分别为a% b%勺溶液,质量分别为 M N,交换质量L后浓度都变成 c%那么小
26、a% M b% Nc% 一M NMNM N混合稀释型再参加相同的溶质,那么浓度为在倒出相同的溶液,那么浓度为溶液倒出比例为a的溶液, 1+a次数m原浓度溶液参加比例为a的溶剂, ,次数M原浓度1 a二十一、调和平 均数调和平均数公式:2a1a2a 二a a2等价钱平均价格核心公式：p = 2皿Pi P2Pi、P2分别代表之前两种东西的价格等溶质增减溶质核心公式：也=旦且其中ri、匕、r3分别代表连续ri打变化的浓度二十二、减半调和平均数核心公式：a =生a a2二十三、余数同余问题一核心口诀：余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期 注意：n的取值范围为整数,既可以是负值,也可以取零值.二十
27、四、星期日期问题平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除366天29天星期推断：一年加1天；闰年再加1天大月与小月包括月份月共有天 数大 月1、3、5、7、8、10、1231天小 月2、4、6、9、1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天指的是“每N+1天二十五、循环周期问题核心提示：假设一审事物以T为周期,且A+ T=N- a,那么第A项等同于第 a项.二十六、典型数列前N和4.1 1十2十3i十号；14.2 一 ：十二,一一J一4.3 一 一 ； 1 二一. ./ .q 5 J2 门号 + 12m+ 14.4 a 十 2* 十 3* HH 冲 =
28、-776, 、之 正4僵之一 14.5 12 + 32 + 52+ +2- I2 =- -J3333M外十14.6 1,十展十3,十十/=-44.7 I : , 一 / -, d _ _/设内十 1加十 24,8 1-2+占-3+十依怪+1=平方 数底数1234567891011平方1149：162536496481P100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数23242512627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立力 数底数1234567
29、891011立方18276412521634351272910001331屡次 力数百12345678910112248国3264128256512r 102420483392781243729441664125610245525125162531256636216129677761既不是质数也不是合数1.200 以内质数 2 3 5 7101 103 10911 13 17 19 23 29113 127 131 13731 37 41 43 47 53 59139 149 151 157 163 16761 67 71 73 79 83 89 97173 179 181 191 193 1
30、97 1992.典型形似质数分解91=7X 13111=3X 37119=7X 171 133=7X19117=9X13143=11X33147=7X21153=7X 131161=7X 23171=9X 19P187=11X 17209=19X 111001=7X 11X133.常用“非唯一变换数字 1 的变换：1 =a =1N =(1)2N(a#0)特殊数字变换：16 =24 =4264 = 26 = 43 =8281 = 34 = 92体积256 =28 = 4 =16210.521024 =2 =4 =32正四面体常用参数棱长卜j j512 = 29 =83rcc c3_,26729 = 9 = 27 = 3侧/底do 6,3二a2面高：PD=AD3 2侧/底面面积： a 底面内切圆半径:4高：PO = a3,232 2a 截面ADP面积： a底面外接圆半124