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1、2012高考二轮复习解答题知识点(数学理专题二数列).doc2012高考数学二轮复习解答题知识点 专题二 数列 整理 范荣鑫 在高考数列考察中，以求通项公式和求和最为常见。下面以这两个知识点为主整理高考题型。 一、求通项公式(由递推关系求通项公式) 递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。如2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。 1、递推关系形如:aafn,，()的数列 nn，1n,2利用迭加或迭代法得:aafffn,，,(1)(2)(1)，() n1例1(a,1a,2aqa
2、qa,，,(1)08天津文20)在数列a中，且n12nnn，,11()( nq,2,0*b(?)设baa,()，证明是等比数列; nN,nnn，1n(?)求数列a的通项公式; nn,2aqaqa,，,(1)(?)证明:由题设()，得 nnn，,11n,2aaqaa,()bqb,，即，( nnnn，,11nn,1qbbaa,1又，所以是首项为1，公比为的等比数列( q,0121naaq,(?)解法:由(?)aa,1， 213222n,aaaaaaaaqqq,，,，,，,，()()()11 ，nnn121321,n,2()( 1 2012高考数学二轮复习解答题知识点 n,1,1,q1，,1,q,所
3、以当n,2时， 上式对n,1显然成立( ,a1,q,n,.,1nq,2、递推关系形如:的数列 aafn,()nn，1利用迭乘或迭代法可得: ，(n,2) aafffn,(1)(2)(1)n1例2 (2008天津理22)在数列,与,中，数列,的baaa,1,b,4nnn11项和满足，,为与的等比中项，n,N*. 前SnS,n，3S,02abbnnn，1nn，1nn，1(?)求的值;(?)求数列,与,的通项公式; baa,bnn22，( 解:(?)易得a,3b,922(?)由题设 nSnS,，(3) ? nn，1n,2 ()时 (1)(2)nSnS,， ? nn,1an，2n，1n,2nana,，
4、(2)?式减去?式，整理得， 即，所以 ,nn，1annaaannnnn，,，114(1)nn,13n,3 时， ,3aan2aaannn,12322nn,122nn(1)，？,a此式对也成立( n,1,2n2bb222nn，1bba,4bbnn,，(2)(1)由题设有，所以，即，,1nnn，nn，11122(1)(2)，nn*( nN,b1nn,1xx,1x,1x,1令，则，即(由得，(所以x,x,nn，11nnn，12(1)xn，nb2nbn,，(1)n,1，即，( 1,n2(1)n，apaq,，3、递推关系形如:(p,q为常数且，)的数列(线p,1q,0nn，1性递推关系) 2 2012
5、高考数学二轮复习解答题知识点 q利用不动点求出xpxq,，的根x,，递推关系可化为p,1qqq，利用等比数列求出的表达式，进而求，,，()apaa，nn，1n1,11ppp,出 an例题3(2007全国1卷22)(本小题满分12分) aaa,，(21)(2)n,123，已知数列中，( a,2,nnn，11a(?)求的通项公式; ,n解:(?)由题设: aa,，(21)(2) nn，1,，,，(21)(2)(21)(22)a n,，(21)(2)2a， naa,2(21)(2)( nn，1所以，数列是首项为，公比为的等比数列， a,222,21,nna,22(21)， nn，n,123，即a的通
6、项公式为，( a,，2(21)1nn，*aaaacaccN,，,1,例4(2008安徽文21)设数列满足其中,nnn，11ac,c,0为实数，且 a(?)求数列的通项公式 ,n*acaccN,，,1,？,aca1(1)解 : nn，nn，11a,1?a,1a,1 当时，是首项为，公比为的等比数列。 c,nn,1n,1aac,，(1)1?aac,1(1)a,1a,1 ，即 。当时，仍满足nnn3 2012高考数学二轮复习解答题知识点 上式。 n,1*?a 数列的通项公式为 aac,，(1)1。 ()nN,nn4、递推关系形如:(p, 为常数且，a,0)apaanb,，pp,10,ann，1的数列
7、 令与比较解出系数x，y构axnypaxny,，,，(1)()apaanb,，nn，1nn，1造等比数列 例5(08湖北理21)已知数列和满足bann2naanban,，,， 4,(1)(321),，1nnnn3,a,其中为实数，为正整数，求数列、b的通项公式(稍an1nn加改编) 22aan,，,axnyaxny,，,，解:4, ? 令整理后与(1),，nn，1nn，1331,x,1,3?式比较对应项系数得 ？,xy3,21,1,xy,4,3,2anan,，,，3(1)21321, ，nn，13nn,1122,ana,？,，,，,，,(321321)18, ，,n133,n,1n,122,a
8、n,b,？,，,？,，,3211818 , ，,nn33,napaq,，pq、5、递推关系形如:的数列(为常数且) q,0nn，1aaap1nnn，1a常化为,， ，利用第三种类型求出后解出; nnnn，1qqqqqaS例6 (2008四川理20) 设数列的前项和为，已知n,nnnbabS,21 ，nn4 2012高考数学二轮复习解答题知识点 n,1(?)证明:当b,2时，是等比数列; an,2,na(?)求的通项公式 ,n解:由题意知，且 a,21nbabS,21 ，nnn，1babS,21 ，nn，11nbaaba,21两式相减得 ，nnn，11n即 ? aba,，2，1nn(?)略 n,
9、1nn,11an,，12b,2(an,22?)当时，由(?)知，即 ，nnaab1nn，1b,2 当时，由?得 ,，nn，12222a11baa11bn,1nnn，1，,，,()因此 1() ，,，()nnn，1,2222bb,22222bb1nn,1，abbn,，,得 2221，n，b,2paapaa,6、递推关系形如:(为常数且)的数列 p,0nnnn,11111p可化为=求出的表达式，再求a ,naaann,1na例7(2008年山东理19)将数列中的所有项按每一行比上一行,n多一项的规则排成如下数表: a 1a a 23aaa 456aaaa 78910 5 2012高考数学二轮复习解
10、答题知识点 b记表中的第一列数构成的数列为，(为aaaa，ba,1S,n124711n2bnb数列的前项和，且满足( n?,1(2)n,n2bSS,nnn,1b(?)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式; ,nSn,2bn解:(?)证明:由已知，当时，又， Sbbb,，n?2,1nn122bSS,nnn2()SS,2()SS,111nn,1nn,1所以， ,1,12SS()SSSS,2,SSnn,1nnnn,1nn,1,11Sba,1又(所以数列是首项为1，公差为的等差,1112Sn,数列( 2111n，,S由上可知，( ,，,1(1)nnn，1S22n222所以当时，(因此bSS,n?2n
11、nn,1nnnn，1(1)11，n,b, 2,n,，(n?2,nn(1)，,mafna()nn7、递推关系形如:或的数列 ,aan，1，1n，paqgnahn()()nn11mm 可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方,，aqapnn，1法解决。 33anaa,例8 (2008年高考陕西理22)已知数列的首项，,a1n，1n5，21ann,12，( a(?)求的通项公式; n6 2012高考数学二轮复习解答题知识点 ,1113a121n解:(?)， 11？,？,，a,，1naa3aa，21a33nn，1,nn，1n,211121又， 是以为首项，为公比的等比数列( ？,1,33aa3n
12、,1n31212，( ？,？,a1nnn,1na，32333n8、S法 求与前n项和S有关的数列通项时，通常用公式nn,S(n1),1,a,n作为桥梁，将S转化为的关系式求或将aaannnn,SS(n2)nn,1,转化为S的关系式先求S进而求得。 annna例9、(2008年全国?20)设数列的前项和为S(已知aa,，n,nn1n*aS,，3，( n,N，1nnnbbS,3(?)设，求数列的通项公式; ,nnnnnSSaS,，3SS,，23解:(?)依题意，即， ，11，1nnnnnnnn，1SS,32(3)由此得(因此，所求通项公式为nn，1nn,1*bSa,3(3)2，( n,Nnna,p
13、a，qa9、递推关系形如型(p,q为常数)待定系数法设n，2n，1n，a,a,a,a构造等比数列 n，2n,1n,1na,，例10(数列a中，且2a,a，an,N,n,2，求. a,2,a,3,nnnn,1n，1，1210、构造数列 例题11(2007山东理17题) n21*n,a，,33.3,. 设数列aaaanN满足 ,n123n31*aanN,().(I)求数列的通项; 【】 ,nnn3n13nnn，11b,，,SS33(II)设求数列的前项和.【】 ,nb,nnnn244an7 2012高考数学二轮复习解答题知识点 在求通项公式问题中，以上列举了多种类型，教学中根据学生实际主抓基本类型
14、。二、数列求和 数列中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学中重要的内容之一，是高考的热点、重点和难点。而数列求和问题在高考中每年必考，选择、填空题中多以考查公式法求和为主，数列求和解答题，多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，难度为中、高档. 求数列的和时要注意方法的选取:关键是看数列的通项的结构特征，注意分析判断是否是等差数列或是等比数列，是否可转化成等差数列、等比数列。其常见解法有:公式求和法、拆项转化法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。只要能够理解每个方法的适用范围，那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法
15、总结如下。 1、公式求和法 先判断是否是等差、等比、特殊数列的求和，若是，则代公式，这就是公式法。公式是指等差、等比数列的前n项和公式 aS,12S例1.(2010?全国卷)记等差数列的前项和为，设，n,n3n2,1aaa，S且成等比数列，求. 123nad【解析】设数列的公差为依题设有 ,n222,2(，1),aaaa，2ad,d，2a,0,132111即 ,a，d,4.a，a，a,12,1,123,解得或 a,1,d,3a,8,d,4118 2012高考数学二轮复习解答题知识点 1因此S,n(3n,1)或S,2n(5,n) nn.22、拆项转化法 将一个数列拆成若干个简单数列(如等差、等比
16、数列、或者特殊数列等)的和差，然后分别求和. 这是分解与组合思想、转化与化归的数学思想方法在数列求和中的具体应用. 拆项转化法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，再分别“合并同类项”，使同类性质的数归于一组，转化为常见数列的求和。如数列a为等差数列，数列,bc为等比数列，则数列nnn,abbc，前n项和均可利用拆项转化法来求。 nnnn例题2.(2010?全国卷?)已知a是各项均为正数的 n11111等比数列，且， aa，,，2()aaa，,，64()12345aaaaa12345(?)求a的通项公式; n12bT(?)设，求数列的前项和。 ba,，n()nnnnann,1a,a
17、q【解析】 (?)设公比为q,则由已知有 n111111234及aq，aq，aq,， ，aq,，a2()64()11111234aaqaqaqaq11111n,1226a,2aq,2,aq,64化简得又所以 a,0故q,2,a,1n111111n,124，2(?)由(?)知=b,a，()nnn,14a n11n,1T,(1，4，,，4)，(1，,，)，2n nn,1449 2012高考数学二轮复习解答题知识点 11,nn14,1n1,n4=(,)，2n，1 ,，2n44134,11,4例题3(2010?重庆高考)已知是首项为19，公差为-2的等差数an列，为的前n项和. Sann(1)求通项公
18、式及; aSnn)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项(2ba,bnnn公式及其前n项和 Tn是首项为19，公差为-2的等差数列， 【解析】(1)因为an所以ann,，192(1)221，即an,，221; nnnn(1),22Snn,，20，即. Snnn,，,，19(2)20nn2(2)因为ba,是首项为1，公比为3的等比数列，所以 nnn,1ba,3， nnn,1ba,，3即， nn01n,，(3)(3)(3)aaaTbbb,，所以 nn1212nnn,1(13)3101n,22,，(333)()aaa. ,，,，nnnn202012n,1323、分组转化法 把数列中同类的项分
19、到一组(如将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)、或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列按奇、偶项分成两部分等等)，得到一个新的且更容易求和的数列.从而最终达到求和的目的.这一求和方法称为分组转化法. 其特征是通过局部重组，转化为常见数列的求和。n,ab通项中含因式(如数列为等差数列，数列(-1)nn10 2012高考数学二轮复习解答题知识点 n(1)ab，,)，周期数列等等前n项和则可利用分组转化法来求。 nn*a例题4(2010?天津高考)在数列中，=0，且对任意k，a,N,n1成等差数列，其公差为2k. a,a,a2k12k2k+1,(?)证明成等比数列; a,a,a4
20、56a(?)求数列的通项公式; ,n2223n23,2nT2n(2)(?)记，证明 T,，？，nn2aaan23【解析】,I,由题设可知 aa,，,22aa,，,24aa,，,48213243aa,，,412aa,，,618。 5465aa365aaa从而所以成等比数列( ,456aa254,由题设可得aakkN,4,* ,II2121kk，,aaaaaaaa,，,，,.所以 ，2112121212331kkkkk，,，,，441.41kk ，,，,21,*kkkN . ，2akk,，21aakk,22a,0由得 从而. ，21k，kk，12212,n,1,n为奇数,2a所以数列的通项公式为a
21、,nn2n,n为偶数,2 n211,，nnN,*或写为( a,，n242akk,，21ak,2,III,由,II,可知 ，21k，k2以下分两种情况进行讨论: mN,*,1, 当n为偶数时设n=2m ，11 2012高考数学二轮复习解答题知识点 2nk若则 m,122,n,a,k2k若m,2则 22222nmmmm,11221kk，kkkk4441， ,，,，,2aaakkk221，kkkkk,21111kkk，2212mm,11，441111kk，, 222mm,，,，,212121kkkkkk，,，,kk,11，1131,. ,，,，,22112mmn，,22mn,22nnk313k所以从
22、而 ,，,2n22,4,6,8,.nn,an22a,k2k2kknmmN,，,21*,当n为奇数时设( ，2222nm22121mm，kk31 ,，,，4m,aaammm2221，,kk22，kkm211131 ,，,42mn22121mn,，22nnk313k所以从而 ,，,2n22,3,5,7,.nn,，an212a,k2k2kk3,nT综合,1,和,2,可知对任意22.有 nnN,2,*,n24、裂项相消法 111形如数列a,前n项和均可利用裂,(0)naaaa,aa，12nnnn，1nn项相消法来求 1111(1) ();,aadaann1nn1，1111(2) ,();aaa2daa
23、aann1n2nn1n1n2，12 2012高考数学二轮复习解答题知识点 11(3)(其中d为等差数列的公an,(aa);n1n，d，aann1，差) ) (4nn!(n1)!n!,，,n11(5) ,.(n1)!n!(n1)!，例题5、(2011全国新课标卷17)(本小题满分12分) 2aa231,9.aaaaa，,等比数列的各项均为正数，且求数列的通,nn12326项公式. ,1baaa,，loglog.log,设 求数列的前项和 ,nn31323bn,解: 12232aaa,9aa,9(?)设数列a的公比为q，由得所以q,。n3263491q,有条件可知a0,故。 31a,231aa，,
24、由得231aaq，,，所以。故数列a的通项式为n1121231a=。 nn3baaa,，loglog.log(? ) n111111,，(12.)nnn(1)，,21211故, 2()bnnnn，(1)1n111111112n ，,，,，,.2(1)().()bbbnnn22311，12n2n1,所以数列的前n项和为 n，1bn13 2012高考数学二轮复习解答题知识点 a例题6(2010?山东高考)已知等差数列满足:，aa，,26a,7,n357a的前n项和为( S,nn(1)求及;aS nn1*b(2)令(N)，求数列的前项和( nnTb,nnn2a,1n a【解析】 ,1,设等差数列的公
25、差为d因为aa，,26a,7,n357所以有 ad，,27,1解得ad,3,2 ,121026ad，,1n(n-1)2an,，,321)=2n+1(所以,S=3n+2，=. n+2nnn2,2,由,1,知所以 a,2n+1n1111111=,(-)b= 22na,4nn+1(2n+1)1,4n(n+1)1n11111111n,(1-+-)T所以=,(1-)= n4223nn+14n+14(n+1)nTb即数列的前n项和=. ,nn4(n+1)11111111,2,TT,，,，LLnnbbbbbbbbbbbbbbbb12233411223341，nnnn 11111111,，K ,，K13355
26、7(21)21，,，nn133557(21)21，,，nn，1111,，,，,，,，,，,，,11KK,25722121nnnn,，,，, 11n, ,1,22121nn，,n10001000n,由得 T,n9212009n，14 2012高考数学二轮复习解答题知识点 1000故满足的最小正整数n为112. T,n2009裂项相消中要注意裂项后相消时不是相邻项抵消的情形。如下题: 1111求和 S,，n，nn132435(2)nn，,2，11111, a,n,nnnnnn，22222，,11111111 S,，n，,，nnnnnn112，,，,，,，,，,，,，,22nnnnnn,，,，111
27、11 (仔细看看上一行里边“抵消”的规律 ) ,，,()21212nn，1311,() 2212nn，这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。 5、错位相减法 将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，推导等比数列前n项和公式的方法即是错位相减法.如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法. 如数列a为等nb差数列，数列为等比数列，则数列前n项和可利用错位相ab,nnn减法来求。 CCC,例题7(2010?安徽高考)设是坐标平面上的一列圆， 12n3它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，
28、对 xyx,3CCrC每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径， nnn，1nnr已知为递增数列. n15 2012高考数学二轮复习解答题知识点 (1)证明:为等比数列; rnn(2)设，求数列的前项和. r,1n1rn331【解析】(1)将直线的倾斜角记为，则有 ,yx,tan,sin,332r1设的圆心为，则由题意得知 n(,0),C,2r,nnnn,sin,2n同理，,2r n+1n+1,，rr又 n+1nnn+1将和，代入上式解得,2r2rr3r nnn+1n+1n+1n故为公比的等比数列。rq3, ,nn1,(?)由于 r1,q3r3,故nnn1n,，n3.从而 rn12n记S,
29、，.,则有n rrrn12,121nS,，12333.3nnS,121nnn ,，,，1323.(1)33nn316 2012高考数学二轮复习解答题知识点 ,?,得,n2S,1333,nnnn121n,，,，,，,，133.333()3,nnn 232231,n9139(23)3,，n1,n？,，,Sn()3n( 4224a,a,a,02n12例题8(2010?四川高考)已知数列满足，且对任意2aaa(mn)，,，,22m,nN*,mnmn,，,21211都有 aa35(?)求，; b,baa(nN*), ,nnnn2121，,(?)设证明:数列是等差数列; n, 1c,c(aaq(q,nN*
30、), ， ,0Snnnnnn，1(?)设，求数列的前项和. 【解析】(I)由题意令aaa,，,，,22426可得 mn,2,1321令mnaaa,，,，,3,12812820. 531,nm，,2,?,当,由已知令 nN,aaa，,，28aaaa,()8由已知可得 即 232121nnn，,，23212121nnnn，,aaaa,()8bb,8也即 ?. 2112112121()()nnnn，,，,nn，1b8?数列是公差为的等差数列. ,nb8baa,6(?)由(I)、(?)可知数列是首项为，公差为的 ,n131等差数列. bnn,，,，,6(1)882则， naan,82即. 2121nn
31、，,2aaan，,，,22(1)m,1另令可得， 121nn,17 2012高考数学二轮复习解答题知识点 aa，2211n,(1)an,n即. 2aa，aa，2(1)11n，,22211n,aann,，,(11)(1)nn，1,22，aa,82n,2121nn，,，,，,21212nnn ， 22n,1cnq,2?. n当时， snnn,，,，246.2(1)q,1n0121n,sqqqnq,，,，,246.2当， ? q,1nq?式两边同乘可得 1231nn,qsqqqnqnq,，,，,，,，,246.2(1)2，? n21nn,(1)2(1.)2,，,qsqqqnq ?得 nn，1n，21
32、(1),，nqnq1,q，n22nq,，,， 11,qqn，1，21(1),，nqnq，s,? n2(1),qnnq(1),1，,n，1综上， s,，21(1),，nqnq,n，.q,1,2(1),q,6、倒序相加法 ,a如果在一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项n之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.推导等差数列前n项和公式的方法即是倒序相加法. 【典例】(2011?东北师大附中上学期高三第三次摸底考试) fxfxfx.，,11xR,函数对任意都有 ，18 2012高考数学二轮复习解答题知识点 1,(1)求的值; f
33、,2,a(2)数列满足: ,n121n,，求; anafffff,，01，n,nnn,24222(3)令，试比较与的大小( TSbTbbbS,，,，8nnnnnn12an,21n1x,【解析】,1,令 2111111,则有 ffff.f.，,，,？,11,222222,11111n,x,令,2得即 ff.，,11ff.，,1,nnnnn,即;121n,因为 afffff,，01，n,nnn,推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。nn,121,所以 afffff.,，10，n,nnn,两式相加得: ，,，11n, 201101affffffn,，,，n,，nn,，（2）抛物线的描述：开口方向、对
34、称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。n，1？,anN*.， n2104.305.6加与减（二）2 P57-6022 ,3, b,nan21,nn,1TS,时, nnn,2时 （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23111,222Tbbb ？,，,，41nn12,232n22,，111 ,，41,12231，,nn，2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，
35、同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。19 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一2012高考数学二轮复习解答题知识点 (1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)，11111, =4 11，,，,，,2231nn,，14, =4 S28,n,nn,面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合？,TS.nn20