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1、2013高考必备!高中数学公式大全总结【2013高考复习必备系列】 高中数学常用公式及常用结论 打印版 1. 元素与集合的关系 x A x CUA,x CUA x A. 2.德摩根公式 CU(A B) CUA CUB;CU(A B) CUA CUB. 3.包含关系 A B A A B B A B CUB CUA A CUB CUA B R 4.容斥原理 card(A B) cardA,cardB,card(A B) card(A B C) cardA,cardB,cardC,card(A B) ,card(A B),card(B C),card(C A),card(A B C). 5(集合a1
2、,a2, ,an的子集个数共有2n 个;真子集有2n1个;非空子集有2n 1个;非空的真子集有22个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x) ax,bx,c(a 0); (2)顶点式f(x) a(x,h),k(a 0); (3)零点式f(x) a(x,x1)(x,x2)(a 0). 7.解连不等式N f(x) M常有以下转化形式 22n N f(x) M f(x),Mf(x),N 0 f(x),NM,NM,N 0 | |f(x), M,f(x)22 11. f(x),NM,N 8.方程f(x) 0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2) 0不等价,前者是后者的
3、一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax,bx,c 0(a 0)有且只有一个实根在2 (k1,k2)bk1,k2,或f(k2) 0且 2a2 二次函数f(x) ax,bx,c(a 0)在闭区间 p,q 上的最值只能在x ,2b处及区2a ;间的两端点处取得，具体如下: (1)当a>0时，若x ,bb则fx p,q ，()nm f(,xi2a2axmaxma (f,)p() fq b p,q ，f(x)max max f(p),f(q) ，f(x)min min f(p),f(q) . 2a b )i m infp()fq(若)(2)当a<0时，若x , p,q ，则f(xm ,，
4、n 2a b x , p,q ，则f(x)max max f(p),f(q) ，f(x)min min f(p),f(q) . 2a x , 10.一元二次方程的实根分布 依据:若f(m)f(n) 0，则方程f(x) 0在区间(m,n) 设f(x) x2,px,q，则 p2,4q 0 (1)方程f(x) 0在区间(m, )内有根的充要条件为f(m) 0或 p; , m 2 f(m) 0 f(n) 0 (2)方程f(x) 0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n) 0或 p2,4q 0 m ,p n 2 f(m) 0 f(n) 0或 或 ; af(n) 0 af(m) 0 p2,4q
5、0 (3)方程f(x) 0在区间(, ,n)内有根的充要条件为f(m) 0或 p . , m 2 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间(, , )的子区间L(形如 , ，, , ， , ,不同)上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min 0(x L). (2)在给定区间(, , )的子区间上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man 0(x L). a 0 a 0 42 (3)f(x) ax,bx,c 0恒成立的充要条件是 b 0或 2. c 0 b,4ac 0 12. 13. 14
6、.四种命题的相互关系 15.充要条件 (1)充分条件:若p q，则p是q充分条件. (2)必要条件:若q p，则p是q必要条件. (3)充要条件:若p q，且q p，则p是q充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设x1 x2 a,b ,x1 x2那么 f(x1),f(x2) 0 f(x)在 a,b 上是增函数; x1,x2 f(x1),f(x2)(x1,x2) f(x1),f(x2) 0 0 f(x)在 a,b 上是减函数. x1,x2 (2)设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则f(x)为增函数;如果f (x) 0
7、，则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x),g(x)也是减函数; 如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y fg(x)是增函数. (x1,x2) f(x1),f(x2) 0 18(奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数( 19.若函数y f(x)是偶函数，则f(x,a) f(,x,a);若函数y f(x,a)是偶函数，则f(x,a) f(,x,a). 20
8、.对于函数y f(x)(x R),f(x,a) f(b,x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x a,ba,b;两个函数y f(x,a)与y f(b,x) 的图象关于直线x 对称. 22 a21.若f(x) ,f(,x,a),则函数y f(x)的图象关于点(,0)对称; 若2 fa),则函数y f(x)为周期为2a的周期函数. nn,122(多项式函数P(x) anx,an,1x, ,a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数 P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y f(x)的图象的对称性 (1)函数y
9、f(x)的图象关于直线x a对称 f(a,x) f(a,x) f(2a,x) f(x). (2)函数y f(x)的图象关于直线x a,b对称 f(a,mx) f(b,mx) 2 f(a,b,mx) f(mx). 24.两个函数图象的对称性 (1)函数y f(x)与函数y f(,x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称. (2)函数y f(mx,a)与函数y f(b,mx)的图象关于直线x (3)函数y f(x)和y f,1a,b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f(x,a),b的图象;若将曲线f(x,y) 0的图象右移
10、a、上移b个单位，得到曲线f(x,a,y,b) 0的图象. 26(互为反函数的两个函数的关系 f(a) b f,1(b) a. 27.若函数y f(kx,b)存在反函数,则其反函数为y 1,1f(x),b,并不是k 1y f,1(kx,b),而函数y f,1(kx,b)是y f(x),b的反函数. k 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x) cx,f(x,y) f(x),f(y),f(1) c. (2)指数函数f(x) a,f(x,y) f(x)f(y),f(1) a 0. (3)对数函数f(x) logax,f(xy) f(x),f(y),f(a) 1(a 0,a 1). (4)
11、幂函数f(x) x,f(xy) f(x)f(y),f(1) . (5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sinx，f(x,y) f(x)f(y),g(x)g(y)， ?xf(0) 1,limx 0g(x) 1. x 29.几个函数方程的周期(约定a>0) (1)f(x) f(x,a)，则f(x)的周期T=a; (2)f(x) f(x,a) 0， 1(f(x) 0)， f(x) 1或f(x,a) ,(f(x) 0), f(x) 1或, f(x,a),(f(x) 0,1 ),则f(x)的周期T=2a; 2 1(f(x) 0)，则f(x)的周期T=3a; (3)f(x) 1,f(x
12、,a) f(x1),f(x2)(4)f(x1,x2) 且f(a) 1(f(x1) f(x2) 1,0 |x1,x2| 2a)，则1,f(x1)f(x2) f(x)的周期T=4a; 或f(x,a) (5)f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a) f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a),则f(x)的周期T=5a; (6)f(x,a) f(x),f(x,a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)a (2)amn ,m n1 m n(a 0,m,n N，且n 1). (a 0,m,n N，且n 1). ,a n31(根式的性质 (1
13、) a. (2)当n a; 当n |a| 32(有理指数幂的运算性质 (1) a a a rs rrsrrrsr,s a,a 0. ,a,a 0 (a 0,r,s Q). (2) (a) a(a 0,r,s Q). (3)(ab) ab(a 0,b 0,r Q). p注: 若a,0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 logaN b ab N(a 0,a 1,N 0). 34.对数的换底公式 logmN (a 0,且a 1,m 0,且m 1, N 0). logma nn推论 logamb logab(a
14、0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1, N 0). mlogaN 35(对数的四则运算法则 若a,0，a?1，M,0，N,0，则 (1)loga(MN) logaM,logaN; M logaM,logaN; N n(3)logaM nlogaM(n R). (2) loga 236.设函数f(x) logm(ax,bx,c)(a 0),记 b,4ac.若f(x)的定义域为2 R,则a 0，且 0;若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1,则函数y logax(bx) a 11 (1)当a b时,在(0,)和(, )上y
15、 logax(bx)为增函数. aa 11 ， (2)当a b时,在(0,)和(, )上y logax(bx)为减函数. aa 若a 0,b 0,x 0,x 推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，则 (1)logm,p(n,p) logmn. (2)logamlogan loga2m,n. 2 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y N(1,p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 n 1 s1,an ( 数列an的前n项的和为sn a1,a2, ,an). s,s,n 2 nn,1 40.等差数列的通项公式 an a1
16、,(n,1)d dn,a1,d(n N*); 其前n项和公式为 n(a1,an)n(n,1) na1,d 22 d1 n2,(a1,d)n. 22sn 41.等比数列的通项公式 an a1qn,1 a1n q(n N*); q 其前n项的和公式为 a1(1,qn),q 1 sn 1,q na,q 1 1 a1,anq,q 1 或sn 1,q. na,q 1 1 42.等比差数列 an :an,1 qan,d,a1 b(q 0)的通项公式为 b,(n,1)d,q 1 an bqn,(d,b)qn,1,d; ,q 1 q,1 其前n项和公式为 nb,n(n,1)d,(q 1) sn . d1,qn
17、d(b,),n,(q 1) 1,qq,11,q 43.分期付款(按揭贷款) ab(1,b)n 每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1,b),1 44(常见三角不等式 (1)若x (0, (2) 若x (0, 2)，则sinx x tanx. 2 (3) |sinx|,|cosx| 1. )，则1 sinx,cosx 45.同角三角函数的基本关系式 sin2 ,cos2 1，tan = 46.正弦、余弦的诱导公式 sin ，tan cot 1. cos n n (,1)2sin ,sin(, ) n,12 (,1)2cos , n )co s,n (,12 cos, ) n
18、,12 (,1)2si n, 47.和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan tan . tan( ) 1 tan tan sin( , )sin( , ) sin2 ,sin2 (平方正弦公式); cos( , )cos( , ) cos2 ,sin2 . asin , bcos = , )(辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决 b定,tan ). a 48.二倍角公式 sin2 sin cos . cos2 cos2 ,sin2 2cos2 ,1 1,2sin2 . 2tan . tan2 21,tan 4
19、9. 三倍角公式 sin3 3sin ,4sin3 4sin sin(, )sin(, ). 33 cos3 4cos3 ,3cos 4cos cos(, )cos(, )33 3tan ,tan3 tan3 tan tan(, )tan(, ). 1,3tan2 33 50.三角函数的周期公式 函数y sin( x, )，x?R及函数y cos( x, )，x?R(A, 为常数，且A?0， . ,0)的周期T 2 ;函数y tan( x, )，x k , 2,k Z(A, 为常数，且A ?0，,0)的周期T 51.正弦定理 . abc 2R. sinAsinBsinC 52.余弦定理 a2
20、b2,c2,2bccosA; b2 c2,a2,2cacosB; c2 a2,b2,2abcosC. 53.面积定理 111aha bhb chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高). 222 111(2)S absinC bcsinA casinB. 222(3)S OAB (1)S 54.三角形 sinx a x k ,(,1)arcsina(k Z,|a| 1). cosx a x 2k arccosa(k Z,|a| 1). tanx a x k ,arctana(k Z,a R). 特别地,有 sin sin k ,(,1)k (k Z). cos cos 2k (k Z)
21、. tan tan k , (k Z). 56.最简单的三角不等式及其解集 sinx a(|a| 1) x (2k ,arcsina,2k , ,arcsina),k Z. sinx a(|a| 1) x (2k , ,arcsina,2k ,arcsina),k Z. cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,arccosa),k Z. cosx a(|a| 1) x (2k ,arccosa,2k ,2 ,arccosa),k Z. tanx a(a R) x (k ,arctana,k , 2),k Z. tanx a(a R) x (k , 2,k ,arcta
22、na),k Z. 57.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么 (1) 结合律:(a)=()a; (2)第一分配律:(+)a=a+a; (3)第二分配律:(a+b)=a+b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a?b= b?a (交换律); (2)( a)?b= (a?b)= a?b= a?( b); (3)(a+b)?c= a ?c +b?c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面 61. a?b的几何意义 数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积( 62.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1,
23、x2,y1,y2). AB OB,OA (x2,x1,y2,y1). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则 (4)设a=(x,y), R，则 a=( x, y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a?b=(x1x2,y1y2). 63.两向量的夹角公式 (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1,x2,y1,y2). cos (a=(x1,y1),b=(x2,y2). 64.平面两点间的距离公式 d A,B=|AB| (A(x1,y1)，B(x2,y2). 65.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b 0，则 A|b
24、b=a x1y2,x2y1 0. a b(a 0) a?b=0 x1x2,y1y2 0. 66.线段的定比分公式 PP2，则 设P112的分点, 是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP x1, x2 x OP 1, 1, OP2 OP y, y1, 2 y 1 1, 1 ,(1,t)OP(). t OP tOP12 1, 67.三角形的重心坐标公式 ?ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则?ABC的重心的坐标是G( x1,x2,x3y1,y2,y3 ,). 33 68.点的平移公式 ?注:图形F上的任意一点P(x，
25、y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的 坐标为(h,k). ? x? x,h x x?,h ? OP OP,PP . ? y y,k y y,k 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x,h,y,k). (2) 函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y f(x,h),k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为y f(x,h),k. (4)曲线C:f(x,y) 0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x,h,y,k)
26、 0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为 ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 2 2 2(1)O为 ABC的外心 OA OB OC. (2)O为 ABC的重心 OA,OB,OC 0. (3)O为 ABC的垂心OA OB OB OC OC OA. (4)O为 ABC的内心aOA,bOB,cOC 0. (5)O为 ABC的 A的旁心aOA bOB,cOC. 71.常用不等式: 22(1)a,b R a,b 2ab(当且仅当a,b时取“=”号)( a,b (当且仅当a,b
27、时取“=”号)( 2 333(3)a,b,c 3abc(a 0,b 0,c 0). (2)a,b R , (4)柯西不等式 (a2,b2)(c2,d2) (ac,bd)2,a,b,c,d R. (5)a,b a,b a,b. 72.极值定理 已知x,y都是正数，则有 (1)若积xy是定值p，则当x y时和x,y有最小值2p; (2)若和x,y是定值s，则当x y时积xy有最大值 推广 已知x,y R，则有(x,y) (x,y),2xy (1)若积xy是定值,则当|x,y|最大时,|x,y|最大; 当|x,y|最小时,|x,y|最小. (2)若和|x,y|是定值,则当|x,y|最大时, |xy|
28、最小; 当|x,y|最小时, |xy|最大. 73.一元二次不等式ax,bx,c 0(或 0)(a 0, b,4ac 0)，如果a与2212s. 422 ax2,bx,c同号，则其解集在两根之外;如果a与ax2,bx,c异号，则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外，异号两根之间. x1 x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2); x x1,或x x2 (x,x1)(x,x2) 0(x1 x2). 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 x a x2 a ,a x a. 2 x a x2 a2 x a或x ,a. 75.无理不等式 (1 f(x) 0 g(x) 0 . f
29、(x) g(x) f(x) 0 f(x) 0 g(x) g(x) 0或 . g(x) 0 f(x) g(x)2 f(x) 0 g(x) g(x) 0. f(x) g(x)2 (2 (3 76.指数不等式与对数不等式 (1)当a 1时, af(x) ag(x) f(x) g(x); f(x) 0 logaf(x) logag(x) g(x) 0. f(x) g(x) (2)当0 a 1时, af(x) ag(x) f(x) g(x); f(x) 0 logaf(x) logag(x) g(x) 0 f(x) g(x) 77.斜率公式 k y2,y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2). x2
30、,x1 78.直线的五种方程 (1)点斜式 y,y1 k(x,x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)( (2)斜截式 y kx,b(b为直线l在y轴上的截距). y,y1x,x1 (y1 y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2). y2,y1x2,x1 xy(4)截距式 , 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0) ab (5)一般式 Ax,By,C 0(其中A、B不同时为0). (3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:y k1x,b1，l2:y k2x,b2 ?l1|l2 k1 k2,b1 b2; ?l1 l2 k1k2 ,1. (2
31、)若l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,且A1、A2、B1、B2都不为零, A1B1C1 ; A2B2C2 ?l1 l2 A1A2,B1B2 0; ?l1|l2 80.夹角公式 k2,k1 |. 1,k2k1 (l1:y k1x,b1，l2:y k2x,b2,k1k2 ,1) AB,A2B1 (2)tan |12|. A1A2,B1B2 (l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0). (1)tan | 直线l1 l2时，直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式 . 2 k2,k1 . 1,k2k1 (l1:y k
32、1x,b1，l2:y k2x,b2,k1k2 ,1) AB,A2B1 (2)tan 12. A1A2,B1B2 (l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2x,B2y,C2 0,A1A2,B1B2 0). (1)tan 直线l1 l2时，直线l1到l2的角是 . 2 82(四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y,y0 k(x,x0)(除直线 x x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x,x0),B(y,y0) 0,其中A,B是待定的系数( (2)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x,B1y,C1 0,l2:A2
33、x,B2y,C2 0的交点的直线系方程为(A1x,B1y,C1), (A2x,B2y,C2) 0(除l2)，其中是待定的系数( (3)平行直线系方程:直线y kx,b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程(与直线Ax,By,C 0平行的直线系方程是Ax,By, 0( 0)，是参变量( (4)垂直直线系方程:与直线Ax,By,C 0 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是 Bx,Ay, 0,是参变量( 83.点到直线的距离 84. 或 0所表示的平面区域 设直线l:Ax,By,C 0，则Ax,By,C 0或 0所表示的平面区域是: 若B 0，当B与Ax,By,C同号时，表示直线l的上方的区域
34、;当B与Ax,By,C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B 0，当A与Ax,By,C同号时，表示直线l的右方的区域;当A与Ax,By,C d (点P(x0,y0),直线l:Ax,By,C 0). 异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0或 0所表示的平面区域 设曲线C:(A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0(A1A2B1B2 0)，则 (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0或 0所表示的平面区域是: (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0所
35、表示的平面区域上下两部分; (A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2) 0所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (x,a),(y,b) r. (2)圆的一般方程 x,y,Dx,Ey,F 0(D2,E2,4F,0). (3)圆的参数方程 2 22 2 2 x a,rcos . y b,rsin 0圆的直径的端点是(4)圆的直径式方程 (x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2) (A(x1,y1)、B(x2,y2). 87. 圆系方程 (1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是 (x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2), (x
36、,x1)(y1,y2),(y,y1)(x1,x2) 0 (x,x1)(x,x2),(y,y1)(y,y2), (ax,by,c) 0,其中ax,by,c 0是直线AB的方程,是待定的系数( 22 (2)过直线l:Ax,By,C 0与圆C:x,y,Dx,Ey,F 0的交点的圆系方程 是x,y,Dx,Ey,F, (Ax,By,C) 0,是待定的系数( (3) 过圆C1:x2,y2,D1x,E1y,F1 0与圆C2:x2,y2,D2x,E2y,F2 0的交点的圆系方程是x,y,D1x,E1y,F1, (x,y,D2x,E2y,F2) 0,是待定的系数( 88.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆
37、(x,a),(y,b) r的位置关系有三种 若d 2 2 2 2 2 2 2 22 d r 点P在圆外;d r 点P在圆上;d r 点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线Ax,By,C 0与圆(x,a),(y,b) r的位置关系有三种: 2 2 2 d r 相离 0; d r 相切 0; d r 相交 0. Aa,Bb,C 其中d . 22A,B 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d d r1,r2 外离 4条公切线; d r1,r2 外切 3条公切线; r1,r2 d r1,r2 相交 2条公切线; d r1,r2 内切 1条公切
38、线; 0 d r1,r2 内含 无公切线. 91.圆的切线方程 (1)已知圆x,y,Dx,Ey,F 0( ?若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 2 2 D(x0,x)E(y0,y) ,F 0. 22 D(x0,x)E(y0,y) 当(x0,y0)圆外时, x0x,y0y,F 0表示过两个切点 22 x0x,y0y, 的切点弦方程( ?过圆外一点的切线方程可设为y,y0 k(x,x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线( ?斜率为k的切线方程可设为y kx,b，再利用相切条件求b，必有两条切线( (2)已知圆x,y r( ?过圆上的P0(x
39、0,y0)点的切线方程为x0x,y0y r; ?斜率为k 的圆的切线方程为y kx 222 2 x acos x2y2 92.椭圆2,2 1(a b 0)的参数方程是 . ab y bsin x2y2 93.椭圆2,2 1(a b 0)焦半径公式 ab a2a2 PF1 e(x,)，PF2 e(,x). cc 94(椭圆的的内外部 x2y2 (1)点P(x0,y0)在椭圆2,2 1(a b 0)的内部 abx2y2 (2)点P(x0,y0)在椭圆2,2 1(a b 0)的外部 ab 95. 椭圆的切线方程 22 x0y0 , 1. a2b222x0y0 ,2 1. 2ab xxyyx2y2 (
40、1)椭圆2,2 1(a b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02,02 1. ababx2y2 (2)过椭圆2,2 1(a b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 ab x0xy0y ,2 1. a2b x2y2 (3)椭圆2,2 1(a b 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是 ab 22222Aa,Bb c. x2y2 96.双曲线2,2 1(a 0,b 0)的焦半径公式 aba2a2 PF1 |e(x,)|，PF2 |e(,x)|. cc 97.双曲线的内外部 x2y2 (1)点P(x0,y0)在双曲线2,2 1(a 0,b 0)的内部 abx2y2 (2)
41、点P(x0,y0)在双曲线2,2 1(a 0,b 0)的外部 ab 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 22 x0y0 ,2 1. 2ab22x0y0 , 1. a2b2 x2y2x2y2b (1)若双曲线方程为2,2 1 渐近线方程:2,2 0 y x. ababa x2y2xyb (2)若渐近线方程为y x 0 双曲线可设为2,2 . ababa x2y2x2y2 (3)若双曲线与2,2 1有公共渐近线，可设为2,2 ( 0，焦点在x abab 轴上， 0，焦点在y轴上). 99. 双曲线的切线方程 xxyyx2y2 (1)双曲线2,2 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线
42、方程是02,02 1. ababx2y2 (2)过双曲线2,2 1(a 0,b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 ab x0xy0y ,2 1. a2b x2y2 (3)双曲线2,2 1(a 0,b 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是 ab 22222Aa,Bb c. 2 100. 抛物线y 2px的焦半径公式 p2 抛物线y 2px(p 0)焦半径CF x0,. 2 pp 过焦点弦长CD x1,x2, x1,x2,p. 22 2y 2 ,y )或P(2pt2,2pt)或 P(x ,y )，其中 101.抛物线y 2px上的动点可设为P(2p y 2 2px . b2
43、4ac,b2 102.二次函数y ax,bx,c a(x,),(1)顶(a 0)的图象是抛物线: 2a4a b4ac,b2b4ac,b2,1,);,);点坐标为(,(2)焦点的坐标为(,(3)准线方程是2a4a2a4a 4ac,b2,1y . 4a 2 103.抛物线的内外部 (1)点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的内部 y 2px(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p 0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y ,2px(p 0)的内部y ,2px(p 0). 点P(x0,y0)在抛物线y ,2px(p 0)的外部 y ,2px(p
44、0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的 (3)抛物线y 2px(p 0)与直线Ax,By,C 0相切的条件是pB 2AC. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线f1(x,y) 0,f2(x,y) 0的交点的曲线系方程是 2 2 2 2 2 2 22 2 2 f1(x,y), f2(x,y) 0( 为参数). x2y2 (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2,2 1,其
45、中k maxa2,b2.当 a,kb,k k mina2,b2时,表示椭圆; 当mina2,b2 k maxa2,b2时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB AB |x1,x2| |y1,y2|(弦端点 A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 y kx,b2 消去y得到ax,bx,c 0， 0, 为直线 F(x,y) 0 AB的倾斜角，k为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线F(x,y) 0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0,y) 0. (2)曲线F(x,y) 0关于直线Ax,By,C 0成轴对称的曲线是 F(x, 2A(Ax,By,C)2B(Ax,By,C) ,y,) 0. A2,B2A2,B2 2 2 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax,Bxy,Cy,Dx,Ey,F 0，用x0x代x，用y0y代y，用 2 2 x0y,xy0x,xy,y代xy，用0代x，用0代y即得方程 222 xy,xy0x,xy,y Ax0x,B 0,Cy0y,D 0,E 0,F 0，曲线的切线，切点弦，中点 222 弦，弦中点方程均是此方程