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1、2014高考数学二轮复习名师知识点总结：圆锥曲线中的热点问题.doc圆锥曲线中的热点问题 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中( 1( 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程(若0，则直线与椭圆相交;若,0，则直线与椭圆相切;若0时，直线与双曲线
2、相交;当,0时，直线与双曲线相切;当b0)的离心率为，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l22ab3与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(,3,2)( (1)求椭圆G的方程; (2)求?PAB的面积( c6解 (1)由已知得c,22,. a3222解得a,23又b,a,c,4. 22xy所以椭圆G的方程为，,1. 124(2)设直线l的方程为y,x，m. y,x，m,22由, xy，,1. ,12422得4x，6mx，3m,12,0.? 设AB的坐标分别为(xy)(xy)(x0. 8,2bk由根与系数的关系得x，x, ? 122k2bxx, ? 122kyy12因为x轴是
3、?PBQ的角平分线所以, x，1x，112即y(x，1)，y(x，1),0 1221(kx，b)(x，1)，(kx，b)(x，1),0 12212kxx，(b，k)(x，x)，2b,0 ? 121222将?代入?得2kb，(k，b)(8,2bk)，2kb,0 ?k,b此时0 ?直线l的方程为y,k(x,1)即直线l过定点(1,0)( 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 22xy例3 (2013?浙江)如图，点P(0，,1)是椭圆C:，,1(ab0) 122ab22的一个顶点，C的长轴是圆C:x，y,4的直径(l，l是过1212点 P且互相垂直的两条直线，其中l交圆C于A，B两点，l交椭 122圆
4、C于另一点D. 1(1)求椭圆C的方程; 1(2)求?ABD面积取最大值时直线l的方程( 1,b,1,解 (1)由题意得 a,2.,2x2所以椭圆C的方程为，y,1. 14(2)设A(xy)B(xy)D(xy)( 112200由题意知直线l的斜率存在不妨设其为k 1则直线l的方程为y,kx,1. 122又圆C:x，y,4 2故点O到直线l的距离 11d, 2k，12，34k2所以|AB|,24,d,2. 2k，1又l?l故直线l的方程为x，ky，k,0. 212,x，ky，k,0,由 22 x,，4y,4.,22消去y整理得(4，k)x，8kx,0 8k故x,. 024，k28k，1所以|PD
5、|,. 24，k1设?ABD的面积为S则S,?|AB|?|PD| 2284k，3, 24，k3232所以S,? 1321324k，3，3?24k224k，34k，31613, 1310当且仅当k,?时取等号( 210所以所求直线l的方程为y,?x,1. 12求最值及参数范围的方法有两种:?根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式将其代入由题目列出的不等式(即为消元)然后求解不等式,?由题目条件和结论建立目标函数进而转化为求函数的值域( 已知椭圆C与抛物线C的焦点均在x轴上且C的中心和C的顶点均为1212坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示: ,6 x 1 4 3 y
6、 ,3 0 ,6 1 (1)求C，C的标准方程; 12(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C于C，D两点，且椭圆C的左焦点F在116以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围( 解 (1)先判断出(,60)在椭圆上进而断定点(1,3)和(4,6)在抛物线上故(322xy21)在椭圆上所以椭圆C的方程为，,1抛物线C的方程为y,9x. 12623(2)设C(xy)D(xy)直线l的方程为y,(x,m) 112233y,，x,m，,3由 ,22xy ，,1,6222消去y整理得2x,2mx，m,6,0 22由0得,4m,8(m,6)0 即,23m0 ?又F(,2,0)即FC?FD,(x，
7、2y)?(x，2y) 1122,xx，2(x，x)，yy，40. 121212整理得m(m，3)0 即m0.? 由?可得m的取值范围是(,23,3)?(0,23)( ( 求轨迹与轨迹方程的注意事项 1(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中发现动点P的运动规律即P点满足的等量关系因此要学会动中求静变中求不变( (2)求出轨迹方程后应注意检验其是否符合题意既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)(检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形( 2( 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题处理时可
8、以直接推理求出定值也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明(对于客观题通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果( 3( 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义则考虑利用图形性质来解决, (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系则可首先建立起目标函数再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ?利用判别式来构造不等关系从而确定参数的取值范围, ?利用已知参数的范围求新参数的范围解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系, ?利用隐含或已知的不等关系建立不等式从而求出参数的取值范围, ?
9、利用基本不等式求出参数的取值范围, ?利用函数的值域的求法确定参数的取值范围. 222设直线l:y,k(x，1)与椭圆x，3y,a(a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点( 23k2(1)证明:a; 21，3k?(2)若AC,2CB，求?OAB的面积取得最大值时的椭圆方程( (1)证明 依题意直线l显然不平行于坐标轴 1故y,k(x，1)可化为x,y,1. k1222将x,y,1代入x，3y,a消去x k12y22,得3，y,，1,a,0 ? 2,kk由直线l与椭圆相交于两个不同的点得 412,4，3(1,a)0 22,kk12,整理得，3a3 2,k23k2即a.
10、21，3k(2)解 设A(xy)B(xy)由? 11222k得y，y, 1221，3k?因为AC,2CB得y,2y 12,2k代入上式得y,. 221，3k13于是?OAB的面积S,|OC|?|y,y|,|y| 122223|k|3|k|3,?,. 21，3k223|k|32其中上式取等号的条件是3k,1即k,?. 3,2k3由y,可得y,?. 2221，3k3333将k,y,及k, 23333y,这两组值分别代入? 232均可解出a,5. 22所以?OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x，3y,5. (推荐时间:70分钟) 一、选择题 22xy1( 已知方程，,1(k?R)表示焦点在x轴上的椭
11、圆，则k的取值范围是 ( ) k，13,kA(k3 B(1k1 D(k0,3,k0解析 若椭圆焦点在x轴上则 ,k，13,k,解得1k3) D.,1(x4) 916169答案 C 解析 如图|AD|,|AE|,8|BF|,|BE|,2|CD|,|CF| 所以|CA|,|CB|,8,2,6. 根据双曲线定义所求轨迹是以A、B为焦点实轴长为6的双曲线 22xy的右支方程为,1(x3)( 91623( 设M(x，y)为抛物线C:x,8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为00半径的圆和抛物线的准线相交，则y的取值范围是 0( ) A(0,2) B(0,2 C(2，?) D(2，?) 答
12、案 C 解析 依题意得:F(0,2)准线方程为y,2 又?以F为圆心|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交且|FM|,|y，2| 0?|FM|4即|y，2|4 0又y?0?y2. 0022xy?4( 若点O和点F分别为椭圆，,1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP43的最大值为 ( ) A(2 B(3 C(6 D(8 答案 C 解析 设P(xy)则 00222xy3x0020，,1即y,3, 0434又因为F(,1,0) 1?22所以OP?FP,x?(x，1)，y,x，x，3 00000412,(x，2)，2 04?又x?,2,2即OP?FP?2,6 0?所以(OP?FP),6.
13、 max5( 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F、F，且两条曲线12在第一象限的交点为P，?PFF是以PF为底边的等腰三角形，若|PF|,10，椭圆与1211双曲线的离心率分别为e，e，则e?e的取值范围是 1212( ) 1A(0，?) B(，?) 311C(，?) D(，?) 59答案 B 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c PF,rPF,r. 1122由题意知r,10r,2c 12且rr2rr 12,21?2c10 525?c5?1. 12225,c253,12c二、填空题 22xy6( 直线y,kx，1与椭圆，,1恒有公共点，则m的取值范围是_( 5m答案 m?1
14、且m?5 22xy解析 ?方程，,1表示椭圆 5m?m0且m?5. ?直线y,kx，1恒过(0,1)点 ?要使直线与椭圆总有公共点应有: 2201，?1m?1 5m?m的取值范围是m?1且m?5. 2x27( 设F、F为椭圆，y,1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两124?点，当四边形PFQF面积最大时，PF?PF的值等于_( 1212答案 ,2解析 易知当PQ分别在椭圆短轴端点时四边形PFQF面积最大( 12此时F(,30)F(30)不妨设P(0,1) 12?PF,(,3,1)PF,(3,1) 12?PF?PF,2. 1228( 已知抛物线方程为y,4x，直线l的方程为x,
15、y，4,0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d，P到直线l的距离为d，则d，d的最小值为_( 121252答案 ,1 22解析 过点P作抛物线的准线的垂线垂足为A交y轴于B由抛物线方程为y,4x得焦点F的坐标为(1,0)准线为x,1则由抛物线的定义可得 d，d,|PA|,|AB|，d,|PF|,1，d 1222|PF|，d大于或等于焦点F点P到直线l 2|1,0，4|52即|PF|，d的最小值为, 22252所以d，d的最小值为,1. 12229( (2013?安徽)已知直线y,a交抛物线y,x于A，B两点(若该抛物线上存在点C，使得?ACB为直角，则a的取值范围为_( 答案 1，?) 22
16、解析 以AB为直径的圆的方程为x，(y,a),a 2,y,x,22,由，(1,2a)y，a,a,0. 得y22 x，y,a，,a,a0,即(y,a)y,(a,1),0由已知解得a?1. ,a,1?0三、解答题 22xy(已知直线x,2y，2,0经过椭圆C:10，,1(a,b,0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C22ab10的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l:x,分3别交于M，N两点( (1)求椭圆C的方程; (2)求线段MN的长度的最小值( 解 (1)如图由题意得椭圆C的左顶点为A(,2,0)上顶点为 D(0,1)即a,2b,1. 2x2故椭圆C的方程为，y,1
17、. 4(2)直线AS的斜率显然存在且不为0 1016k设直线AS的方程为y,k(x，2)(k,0)解得M()且将直线方程代入椭圆C的33方程 2222得(1，4k)x，16kx，16k,4,0. 216k,4设S(xy)由根与系数的关系得(,2)?x,. 11121，4k222,8k2,8k4k4k由此得x,y,即S()( 1212221，4k1，4k1，4k1，4k1又B(2,0)则直线BS的方程为y,(x,2) 4k101联立直线BS与l的方程解得N(,)( 33k16k116118k16k,?|MN|,，,，?2?,. ,33k33k33k316k1118当且仅当,即k,时等号成立故当k
18、,时线段MN的长度的最小值为. 33k44311(在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(2，0)，B(,2，0)，直线PA与1PB的斜率之积为,. 2(1)求动点P的轨迹E的方程; (2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证:直线MQ过x轴上一定点( yy1(1)解 由题知:?,. 2x，2x,22x2化简得，y,1(y?0)( 2(2)证明 方法一 设M(xy)N(xy)Q(x,y) 1122222x2l:x,my，1代入，y,1(y?0)整理得 222(m，2)y，2my,1,0. 2m,1,y，y,yy, 12212
19、2m，2m，2，yy12MQ的方程为y,y,(x,x) 11x,x12令y,0 ，x,x，y121得x,x， 1y，y12my，y,y，2myy12112,my，1，,，1,2. 1y，yy，y1212?直线MQ过定点(2,0)( 方法二 设M(xy)N(xy)Q(x,y) 1122222x2l:y,k(x,1)代入,1(y?0)整理得 ，y22222(1，2k)x,4kx，2k,2,0 22,22k4kx，x,xx, 1221221，2k1，2k，yy12MQ的方程为y,y,(x,x) 11x,x12，x,x，y121令y,0得x,x， 1y，y21,1，x,x，k，x121,x， 1k，x
20、，x,2，122xx,，x，x，1212,2. x，x,212?直线MQ过定点(2,0)( 222212(2013?课标全国?)已知圆M:(x，1)，y,1，圆N:(x,1)，y,9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）(1)设圆P的半径为r 解则|PM|,1，r|PN|,3,r 七、学困生辅导和转化措施?|PM|，|PN|,4|MN| 3、第五单元“加
21、与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。?P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆左顶点除外 且2a,4,2c,2?a,2c,1 222?b,a,c,3. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.22xy?P的轨迹曲线C的方程为，,1(x,2)( 43(2)由(1)知:2r,(|PM|,|PN|)，
22、2?|MN|，2,4 ?圆P的最大半径为r,2.此时P的坐标为(2,0)( 二次方程的两个实数根22圆P的方程为(x,2)，y,4. ?当l的方程为x,0时|AB|,23 ?设l的方程为y,kx，b(k?R) （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。|,k，b|,1,2,1，k ,|2k，b|,2 ,2,1，k一锐角三角函数22,k,k,44解之得:,或,. (4)面积公式:(hc为C边上的高);,b,2b,222?l的方程为y,x，2y,x,2. 4422xy，,1,43联立方程 ,2 y,x，2,42化简:7x，8x,8,0 88?x，x,xx, 1212779切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.1822?|AB|,1，k，x，x，,4xx,. 12127