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1、高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结.doc高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义: 2a(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，212aFFFFFF且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹;212121122a2a双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义22112a2a中的“绝对值”与,|FF|不可忽视。若,|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若2221112a，|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的
2、一支。(2)第二定义中要21注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥e曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习: 1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C); F(,3,0),F(3,0)12A( B( PF，PF,4PF，PF,6121222C( D( PF，PF,10PF，PF,12121222222.方程表示的曲线是_(答:双曲线的左支) (6)(6)8xyxy,，,，,2x3.已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最
3、小值是_(答:2) Q(22,0)y,4二.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): 22xyxa,cos,ab,0,(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程，其中为参，,1x,22yb,sin,ab22yx22yab,0AxByC，,数)，焦点在轴上时，,1()。方程表示椭圆的充要条件是什么,(ABC22ab?0，且A，B，C同号，A?B)。 2222xyyxyab,0,0(2)双曲线:焦点在轴上:, =1，焦点在轴上:,1()。方程x2222abab22AxByC，,表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B异号)。 22ypxp,2(
4、0)ypxp,2(0)(3)抛物线:开口向右时，开口向左时，开口向上时22xpyp,2(0)xpyp,2(0)，开口向下时。 1 练习: 2211xyk1.已知方程表示椭圆，则的取值范围为_(答:); (3,)(,2),，,1223，k2,k2222x，yx,y,Rx，y5,22.若，且，则的最大值是_，的最小值是_(答:) 3x，2y,622xy53.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_ ，,1942P(4,10)OFFe,24.设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的2122方程为_(答:xy,6) 22xy5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，
5、则m的取值范围是_ ，,1m,12,m三.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断): 22y(1)椭圆:由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x22y(2)双曲线:由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; x(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、21ab,双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向;(2)在椭222222abc,
6、，cab,，圆中，最大，在双曲线中，最大，。 ac四.圆锥曲线的几何性质: 22xy,axabyb,ab,0(1)椭圆(以()为例):?范围:;?焦点:两个，,122ab(,0),cxy,0,0(,0),(0,),ab焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0)，四个顶点，其2ac,b01,e中长轴长为2，短轴长为2;?准线:两条准线; ?离心率:，椭圆，x,e,aca越小，椭圆越圆;越大，椭圆越扁。 ee22xyab,0,0xayR,xa,(2)双曲线(以()为例):?范围:或;?焦点:两,122ab(,0),cxy,0,0(,0),a个焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0
7、)，两个顶点，其中实b轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为a2ac22,xykk,0e,1;?准线:两条准线; ?离心率:，双曲线，等轴双曲线x,e,ca2 b,e,2，越小，开口越小，越大，开口越大;?两条渐近线:。 eeyx,ap2xyR,0,ypxp,2(0)(3)抛物线(以为例):?范围:;?焦点:一个焦点，其中(,0)2py,0的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);pc,e,1?准线:一条准线; ?离心率:，抛物线。 x,e,2a练习: 2225xy101.若椭圆的离心率，则的值是_(
8、答:3或); m，,1e,355m2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ 13133x,2y,03.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_(答:或); 23122axby,1ab:54.双曲线的离心率为，则= (答:4或); 422xy25.设双曲线(a0,b0)中，离心率e?,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_,122ab,(答:); ,3212y,4axa,0,a,R6.设，则抛物线的焦点坐标为_(答:); (0,)16a2222xyxy00,ab,0Pxy(,)Pxy(,)五、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外;，,1，,10000
9、2222abab2222xyxy0000,Pxy(,)Pxy(,)，(2)点在椭圆上,1;(3)点在椭圆内 ，,100002222abab六(直线与圆锥曲线的位置关系: ,0,0(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定,0,0有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲,0,0线相交的充分条件，但不是必要条件;直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，,0当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如 ,0,0,0(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线
10、相切;直线与抛物线相切; ,0,0,0(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直3 22xyPxy(,)线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线,1外一点的直线与双曲线只有一个,0022ab公共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直
11、线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习: 221.若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_ 22xy2.直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_ ，,15m22xy3.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若?AB,4，则这样的直线有_条 ,1122(2,4)y,8x4.过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_(答:2);
12、 22xy5.过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ ,19162y2lAB,l6.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_ x,1222M(x,y)M(x,y)y,4x7.对于抛物线C:，我们称满足y,4x的点在抛物线的内部，若点在抛000000l物线的内部，则直线:与抛物线C的位置关系是_(答:相离); yy,2(x，x)002Fqy,4xp8.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则11_(答:1); ，,pq22xyFl9.设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于,1
13、m169，PFRP,Q,R，QFR，则和的大小关系为_(填大于、小于或等于) (答:等于); 813223x,2y,16,010.求椭圆上的点到直线的最短距离(答:); 7x，4y,281322ABAB3x,y,1y,ax，111.直线与双曲线交于、两点。?当为何值时，、分别在双曲线的两支aa,1上,?当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点,(答:?,3,3;?); a，七、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义，转化到4 red,d相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。 练习: 2235xy1.已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3
14、，则点P到右准线的距离为_(答:);，,1251632yy,8x2.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_; MM7,(2,4),3.若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_(答:); 22xy4.点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_ ，,12592yy,2x5.抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_ 22xyP(1,1)6.椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则MP，2MF，,14326点M的坐标为_(答:); (,1)3八、焦点三角形(椭圆或双曲线上的
15、一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、FF,rr,Pxy(,),FPF余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的12120012222xy2bPSrr,面积为，则在椭圆中， ?,，且当即为短轴端点时，最大，,1arccos(,1)1222rrab1222b,c,2P,|yb,S为,;?，当即为短轴端点时，的最大值为arccosSbcy,tan|maxmax0022a222,1xy2b,2,arccos1,sincotbc;对于双曲线的焦点三角形有:?;?。 S,rr,b,1,12,22rr22ab12,练习: 2,ABF51.短轴长为，离心率的椭圆的两焦
16、点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的e,FFF22113周长为_(答:6); 222PF,FF,02.设P是等轴双曲线右支上一点，F、F是左右焦点，若，|PF|=6，x,y,a(a,0)12121222则该双曲线的方程为 (答:); xy,422xy?3.椭圆的焦点为F、F，点P为椭圆上的动点，当PF ?PF 0时，点P的横坐标的取值范，,11221943535围是 (答:); (,),555 64.双曲线的虚轴长为4，离心率e,，F、F是它的左右焦点，若过F的直线与双曲线的左支交于A、1212ABAFBFAB82B两点，且是与等差中项，则,_(答:); 22,，FPF,60S,1235.
17、已知双曲线的离心率为2，F、F是左右焦点，P为双曲线上一点，且，(求1212,PFF1222xy该双曲线的标准方程(答:); ,1412九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反1111之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 ykxb,，xx,AB十、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则
18、1212yy,1，,kxxAB,，若分别为A、B的纵坐标，则,，若弦AB所在直线方程1，y,y1212122k2xkyb,，AB1，,kyy设为，则,。特别地，焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算，一12般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 练习: 21.过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，若x+x=6，那么|AB|等于_ 1122122y,2x2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_(答:3); 十一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或
19、“点差法”求解。在椭圆22222bxxyxy0Pxy(,)中，以为中点的弦所在直线的斜率k=,;在双曲线中，以，,1,10022222abayab02bx20Pxy(,)ypxp,2(0)Pxy(,)为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中，以为中点的弦00002ay0p所在直线的斜率k=。 y0练习: 22xy1.如果椭圆弦被点A(4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 (答:，,1369xy，,280); 6 22xy2.已知直线y=,x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L:x,2y=0，,1(0)ab22ab2上，则此椭圆的离心率为_(答:); 2,0为是直线与圆锥曲线
20、相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，特别提醒:因,0务必别忘了检验 十二(你了解下列结论吗, 2222yyxx1)双曲线的渐近线方程为; (,1,02222abab2222byyxx(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参y,x,1,(,2222aabab,数，?0)。 22mxny，,1(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为; 22b(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)a2b2pp为，抛物线的通径为，焦准距为; c(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; 2ypxp,2(0)AxyBx
21、y(,),(,)|ABxxp,，(6)若抛物线的焦点弦为AB，则?;1122122p2? xxyyp,121242ypxp,2(0)(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p13(动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: xy,Fxy(,)0,x,3?直接法:直接利用条件建立之间的关系;如已知动点P到定点F(1,0)和直线22yxx,12(4)(34)yxx,4(03)的距离之和等于4，求P的轨迹方程(答:或); ?待定系数法:已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方
22、程，再由条件(m,0)确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m，0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，2yx,2以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (答:); ?定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;220xy，,1如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，?APB=60，则动点P的轨迹方程7 22l:x，5,0xy，,4为 (答:);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离222yx,16x，y,1，则点M的轨迹方程是_ (答:);(3) 一动圆与两圆?M:和?N:小于122x，y,8
23、x，12,0都外切，则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支); Pxy(,)Qxy(,)Qxy(,)?代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲0000xy,xy,xy,线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物0000,2上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为_(答:线y,2x，1A(0,1)PA12); 6y,x,3Pxy(,)xy,?参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。如(1)AB是圆O的直径，且|AB|=2a，PP|OP
24、MN,M为圆上一动点，作MN?AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。(答:2222P(x,y)xyay，,|x，y,1);(2)若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_Q(xy,x，y)111111122x,4yl(答:);(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AByxx,，,21(|)22xy,22的中点M的轨迹方程是_(答:); 注意:?如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆22xy的左、右焦点分别是F(,c，0)、F(c，0)，Q是，,1(a
25、,b,0)1222ab|FQ|,2a.椭圆外的动点，满足点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线11PT,TF,0,|TF|,0.段FQ上，并且满足(1)设为点P的横坐标，x222c证明;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上，是否存在点M，使|FP|,a，x1a2222xya，,b.?FMF的面积S=若存在，求?FMF的正切值;若不存在，请说明理由. (答:(1)略;(2);121222bb(3)当时不存在;当时存在，此时?FMF,2) ,a,a12cc?曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
26、?在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 8 ?如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ,，u,1,ku,m,n(1) 给出直线的方向向量或; ABABOA，OBOA，OB(2)给出与相交,等于已知过的中点; ,PMNPM，PN,0(3)给出,等于已知是的中点; AB，P,Q(4)给出AP，AQ,BP，BQ,等于
27、已知与的中点三点共线; AB/AC,使ABAC,(5) 给出以下情形之一:?;?存在实数;?若存在实数A,B,C,1,且使，,，OCOAOB,等于已知三点共线. ,OA，OBPAB,AP,PB(6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 OP,1，,MA,MB，AMBMA,MB,0MA,MB,m,0(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已，AMB，AMBMA,MB,m,0知是钝角, 给出,等于已知是锐角, ,MAMBMP，AMB(8)给出,等于已知是的平分线/ ,，,MP,MAMB,ABCDABCD(AB，AD),(AB,AD),0(9)在平行四边形中，给出，等于已知是菱形; ABCD
28、ABCD|ABADABAD，,(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; 222,ABCO,ABCOA,OB,OC(11)在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); ,ABCO,ABCOA，OB，OC,0(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); ,ABCO,ABCOA,OB,OB,OC,OC,OA(13)在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); ABAC，AP,ABC(,R),ABC,OP,OA，(14)在中，给出等于已知通过的内心; ,()，|ABAC,ABCO,ABCa
29、,OA，b,OB，c,OC,0,(15)在中，给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); 1AD,ABC,ABCBC(16) 在中，给出,等于已知是中边的中线; ADABAC,，2求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 9 一. 紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 2y2例1. 已知点A(3，2)，F(2，0)，双曲线，P为双曲线上一点。 ,1x31求的最小值。 |PA
30、PF，2解析:如图所示， 1 双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。 ？|PF215 ？，,，,|PAPFPAPEAM22. 引入参数，简捷明快 二参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 l例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 l 解:取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p(定值)，椭圆中心坐标为M(t，0)(t为参数) 2b ，而 ？p,ct,c2？,bpcpt 再设椭圆短轴端点坐标为P(x，y)，则 xct, ,ybpt,2ypx, 消去t，得轨迹方程 三. 数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性
31、和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 y，322xyR,xyy，,30()，且满足方程，又，求m范围。 例3. 已知m,x，3y，322xyy，,30() 解析:的几何意义为，曲线上的点与点(,3，,3)连线的斜？m,x，3率，如图所示 10 kmk, PAPB33,35， ？,m22四. 应用平几，一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。 22ymx,|OPOQ,()xy,，,34例
32、4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为_。 ？,OMPOQN 解: |OPOQOMON,5 五. 应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 22xyxyll例5. 已知椭圆:，,1，直线:，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q，,124161282l|OQOPOR,在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。 分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 ,解:如图，OQOROP，共线，设OROQ,，OPOQ,，OQxy,()，则,ORxy,(),，
33、OPxy,(),， ,2？|OQOPOR, ,222？,|OQOQ, 2？, l 点R在椭圆上，P点在直线上 ？2222xy,xy1 ， ？，,，,1241612811 22xyxy 即 ，,，2416128化简整理得点Q的轨迹方程为: 222()()xy,1,1 (直线上方部分) ，,1yx,55323. 应用曲线系，事半功倍 六利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 2222xyx，,640xyy，,6280例6. 求经过两圆和的交点，且圆心在直线xy,40上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 2222xyxxyy，,，,
34、646280(), 22()()()11662840，,，,xyxy, ,3,3xy,40 则圆心为，在直线上 ()，,1，1，,7 解得 ？22xyxy，,，,7320 故所求的方程为 七. 巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。 2y2例7. 过点A(2，1)的直线与双曲线相交于两点P、P，求线段PP中点的轨迹方程。 ,1x12122Pxy()，Pxy()， 解:设，则 1112222,y21x,11,1,2 ,2y2,2x,122,2,得 ,，()()yyyy2112,，, ()()xxxx21122yy,2()xx，2112 即
35、,xx,yy，2112Mxy()， 设PP的中点为，则 1200yyx,2210 k,PP12xxy,210y,10 又，而P、A、M、P共线 k,12AMx,20y,12x00？,kk ，即 ,PPAM12x,2y0022？PP240xyxy,，, 中点M的轨迹方程是 12解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥12 曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组
36、与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. , 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以AB为直腰作直角梯形，AABB,AABB使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标AB系. ,(1)写出直线的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; AB(3)证明:由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. A,B 讲解: 通过读图, 看出点的坐标. ,，A1,1,tB，,1，1，t，1 ) 显然, 于是 直线 (ABy,tx，1的方程为; 2,，,1
37、,xy222t1,tQ,P(0,1)(2)由方程组解出、; (,)22,，1,1，t1，tytx,2t,1,202t,t1,0111，k1k (3), . ,PT,QT2tttttt2(,)0,1t,2t，1 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 22xy例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，,1(a,b,0)22ab求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程( ll 讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知，直线l不
38、过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 y,kx，m(k,0).22222222222222代入椭圆方程 得 bx，ay,ab，bx，a(kx，2kmx，m),ab.222222222化简后，得关于的一元二次方程 (ak，b)x，2kamx，am,ab,0.x于是其判别式 ,(2kam),4(ak，b)(am,ab),4ab(ak，b,m).2222由已知，得?=0(即 ? ak，b,m.my,kx，m在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 R(,0),S(0,m).kmy,x,k,kx, 令顶点P的坐标为(x，y)， 由已知，得 解得,y,m.m,y.,22ab 代入?式并整理，得 , 即
39、为所求顶点P的轨迹方程( ，,122xy22ab 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? ，,122xy13 2223xy3A(a,0),B(0,b) 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 e,1.2232ab(1)求双曲线的方程; y,kx，5(k,0) (2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. abab3d,.c23xyc2a，b 讲解:?(1)原点到直线AB:的距离. 22,1aba3？b,1,a,3.2x2 故所求双曲线方程为 ,y,1.32222(2)把中消去y，整理得 . (1,3k)x,30kx,78,0y,kx，5代入x,
40、3y,3C(x,y),D(x,y),CD的中点是，则 设E(x,y)112200y，1xx，1551k012 BExykxk,，,5,.0002221313,kkxk015k5k2，k,0,又k,0,？k,7？x，ky，k,0, 即 00221,3k1,3k7kk故所求k=?. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F、F在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且?FPF的最大值1212为90?，直线l过左焦点F与椭圆交于A、B两点，?ABF的面积最大值为12( 12(1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程( |,|,|2PFrPFrFFc,P
41、FF, 讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得 121122121222222222r，r,4c(r，r),2rr,4c4a,4c4a,4c121212， ,1,2e,0cos，FPF,1,112r，r2rr2rr2rr2121212122()22解出 e,.2l (2)考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况: y,k(x，c) i) 当k存在时，设l的方程为? 22xy22222 椭圆方程为 由 得 . a,2c,b,c，,1,A(x,y),B(x,y)e,.112222ab2222xyc，,220于是椭圆方程可转化为 ? 2222y将?代入?，消去得 , x，2k(x，c),2c,02222
42、2整理为的一元二次方程，得 . x(1，2k)x，4ckx，2c(k,1),02222c1，k22c(1，k)2则x、x是上述方程的两根(且， 12|x,x|,|AB|,1，k|x,x|,2121221，2k1，2k也可这样求解: k|AB边上的高 h,FF，BFF,c，|sin2,121221，k1S,|FF|,|y,y| 12122 14 ,c,|k|,|x,x|122，11k|k| ,S22c()2c22，212k，1k2241|1，kkkk2222 ,2222222.cccc224112144，kkk4，42kk，212ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 ycABcScc,，,
43、|2,22x,c2222222由?知S的最大值为 由题意得=12 所以 2cc,62,b2ca,12222xy 故当?ABF面积最大时椭圆的方程为: 2，,1.12262下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: x,my,c设过左焦点的直线方程为:? (这样设直线方程的好处是什么,还请读者进一步反思反思.) 22xy椭圆的方程为: ，,1,A(x,y),B(x,y)112222ab22222222由得:于是椭圆方程可化为:? x，2y,2c,0a,2c,b,c,e,.2222把?代入?并整理得: (m,2)y,2mcy,c,0于是是上述方程的两根. y,y12222222224mc，4c
44、(m，2)22c(1，m)2|()()1|ABxxyymyy,，,，, ,1，m12122122m，2m，22cAB边上的高, h,21，m221122c(1，m)2c1，m2从而 1S,|AB|h,，,22c2222,22c,2c.222m，2(m，2)1，m12m，1，22m，12S,2c.当且仅当m=0取等号，即 max2222由题意知, 于是 . 2c,12b,c,62,a,12222xy故当?ABF面积最大时椭圆的方程为: 2，,1.1226222xyy,x，1 例5 已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直，,1(a,b,0)22abl:x,2y,0线上.(,)求此椭圆
45、的离心率; 22x，y,4l(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程. yx，,，1,22AxyBxy则由(,),(,). 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为 得 ,xy1122，,1,22ab,15 2222222(a，b)x,2ax，a,ab,0, 22ab22x，x,y，y,x，x，, 根据韦达定理，得 ,()2,1212122222a，ba，b22ab ?线段AB的中点坐标为(). ,2222a，ba，b222a2b222222由已知得，故椭圆的离心率为 . e,0,？a,2b,2(a,c)？a,2c22222a，ba，bb,c,F(b,0),F(b,0)l:x,2y,0 (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为y,0x，by341000解得 x,b且y,b(x,y),则,1且,2，,0,000055x,b22202234xy22222由已知得 ，故所求的椭圆方程为 . x，y,4,？(b)，(b),4,？b,4，,100558422x，(y,2),1,Q是x 例