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1、高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号” B( C(PF D( 8表示的曲线是_(答:双曲线的左支) x3.已知点Q(22,0)及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_(答:2) 4 二.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x轴上时()(参数方程，其中为参 y2x2 数)，焦点在y轴上时,1()。方程表示椭圆的充要条件是什么,(ABCab ?0，且A，B，C同号，A?B)。 x2y2y2x2 (2)双曲
2、线:焦点在x轴上:，焦点在y轴上:,1()。方程abab 。 表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B异号) (3)抛物线:开口向右时，开口向左时，开口向上时22 ，开口向下时。 练习: 11x2y2 1.已知方程; 表示椭圆，则k的取值范围为_(答:) 2.若，且，则的最大值是_，的最小值是_ 2) 2y253.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 x_ 942 的双曲线C过 4.设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率点，则C的方程为_(答:) x2y2 5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 三.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准
3、方程，然后再判断): (1)椭圆:由x,y 222分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向;(2)在椭圆中，a最大，在双曲线中，c最大，。 四.圆锥曲线的几何性质: 222222 x2y2 (1)椭
4、圆(以()为例):?范围:;?焦点:两个ab 焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0)，四个顶点，其 ca2 中长轴长为2a，短轴长为2b;?准线:两条准线; ?离心率:，椭圆，ac e越小，椭圆越圆;e越大，椭圆越扁。 ()为例)(2)双曲线(以:?范围:或;?焦点:两2ab 个焦点;?对称性:两条对称轴，一个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ;?准线:两条准线; ?离心率:，双曲线 越小，开口越小，e越大，开口越大;?两条渐近线:。 (3)抛物线(以为例):?范围:;?焦点:一个焦点(bap
5、,0)，其中2 p的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);?准线:一条准线 练习: pc; ?离心率:，抛物线。 2a 25x2y21.若椭圆，则m的值是_(答:3或); 的离心率 2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ 3.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_ 4.双曲线 1a:b; 4或1); 4 x2y2 5.设双曲线(a>0,b>0)中，离心率e?2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_ab (答:); 32 1; )16a6.设，则抛物线的焦点坐标为_(答:(0, 2
6、2x0y0x2y2 五、点P(x0,y0)和椭圆()的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆外;abab 2222x0y0x0y0(2)点P(x0,y0)在椭圆上,1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内abab 六(直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件;直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如 (2)相切
7、:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切; (3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线 x2y2 与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线,1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公ab 共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与
8、渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一P为原点时不存在这样的直线;条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习: 1.若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_ 22 x2y2 恒有公共点，则m的取值范围是_ 2.直线ykx1=0与椭圆5m x2y2 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若?AB,4，则这样的直线有_条 3.过双曲线12 4.过点(2,4)作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_(答:2
9、); x2y2 5.过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ 916 y2 6.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若，则满足条件的直线l有_ 22 7.对于抛物线C:，我们称满足的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l:y0y与抛物线C的位置关系是_(答:相离); 8.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则2211; (答:1)pq x2y2 的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于9.设双曲线169 P,Q,R，则和的大小关系为_(填大于、小于或等
10、于) (答:等于); 10.求椭圆上的点到直线3x 022); 11.直线与双曲线交于A、B两点。?当a为何 值时，A、B分别在双曲线的两支 上,?当a为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点,(答:?;?); 七、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义，转化到 相应准线的距离，即焦半径，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 练习: 35x2y2 1.已知椭圆);上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_(答:32516 2.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_; 3.若该抛物线上的点M到焦点的距离
11、是4，则点M的坐标为_(答:); x2y2 4.点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_ 259 5.抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为_ x2y2 6.椭圆(答:); 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF3.椭圆2 ?PF1 <0时，点P的横坐标的取值范94 围是 (答:); 55 4.双曲线的虚轴长为4，离心率e,6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、2 _ B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB,(答:; 5.已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一
12、点，且，求( x2y2 该双曲线的标准方程(答:; )412 九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2) 设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影 分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反 之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 十、弦长公式:若直线b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB ，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB, ，若弦AB所在2k直线方程
13、设为，则AB 。特别地，焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的 计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 练习: 1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_ 2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的 横坐标为_(答:3); 十一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2 b2x0x2y2x2y2 中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2;在双曲线中， 以2ababay0 b2
14、x0P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线中，以P(x0,y0)为中点的弦ay0 所在直线的斜率k= 练习: p。 y0 x2y2 弦被点A(4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是1.如果椭圆369 ); x2y2 2.已知直线y=,x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L:x,ab 2y=0上，则此椭圆的离心率为_ (答:); 2 特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 十二(你了解下列结论吗, 2222yyxx(1)双曲线的渐近线方程为; 2abab (2)以 数，)。 bx2y2x2y2为渐近线(
15、即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参 (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为; 22 2b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)a b2 ; c 为，抛物线的通径为2p，焦准距为p(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则?;p2 ? (7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点2 (2p,0)13(动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ;如已知动
16、点P到定点 ?直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程(答:或); 先根据条件设出所求曲 ?待定系数法:已知所求曲线的类型，求曲线方程线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m，0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、 ; )B三点作抛物线，则此抛物线方程为 ?定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点P向圆x 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，?APB=60，则动点P的轨迹方程为 0 (答:x2;(2)点M与点F(4,0)的距离比
17、它到直线l:的距离小于1，则点M的轨迹方程是) (答: 迹为 );(3) 一动圆与两圆?M:和?N:都外切，则动圆圆心的轨(答:双曲线的一支); ?代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线y 定点为上任一点，点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为_(答:); 3 ?参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。如(1)A
18、B是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN?AB，垂足为N，在OM上取点P，使|，求点P的轨迹。(答:);(2)若点P(x1,y1)在圆 12(3)过抛物线上运动，则点的轨迹方程是_(答:);2 的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是_(答:); 已知椭圆注意:?如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如 x2y2 的左、右焦点分别是F1(,c，0)、F2(c，0)，a2b2 的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段 且满
19、足Q是椭圆外F2Q上，并(1)设x为点P的横坐标，证明 ;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上，是否存在点M，使?F1MF2的面积S=b.a 222b2 时不存在;若存在，求?F1MF2的正切值;若不存在，请说明理由. (答:(1)略;(2);(3)当c b2 时存在，此时?F1MF2,2) 当c ?曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ?在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分
20、类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ?如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量u 或; (2)给出与AB相交,等于已知过 的中点; AB的中点(3)给出等于已知P是MN (4)给出等于已知P,Q与AB的中点三点共线; ;?若存在实数;?存在实数使且使等于已知A,B,C三点共线. (5) 给出以下情形之一:? (6) 给出，等于已知P是的定比分点，为定比，即 即 是锐角, 是直角,给出(7) 给出等于已知MA是钝角, 给出等于已知等于已
21、知 (8) 给出等于已知MP (9)在平行四边形是的平分线/ ABCD中，给出，等于已知ABCD是菱形; (10) 在平行四边形ABCD中，给出，等于已知ABCD是矩形; (11)在中，给出 外心是三角形三边垂直平分线的交点); ，等于已知O是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的 (12) 在中，给出 线的交点); ，等于已知O是的重心(三角形的重心是三角形三条中 ，等于已知O是的垂心(三角形的垂心是三(13)在中，给出 角形三条高的交点); 等于已知AP通过的内心; (14)在中，给出 (15)在中，给出等于已知O是的内心(三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); (1
22、6) 在中，给出等于已知AD是中BC边的中线; 求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 y2 ，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A(3，2)，F(2，0)，双曲线 的最小值。 2 求解析:如图所示， 双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知1|PF|即点P到准线距离。 2 二. 引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求
23、共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解:取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p(定值)，椭圆中心坐标为M(t，0)(t为参数) b，而 x，y)，则 再设椭圆短轴端点坐标为P(2 消去t，得轨迹方程y 三. 数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。 解析: 示 的几何意义为，曲线上的点与点(,3，,3)连线的斜率，如图所 22 四. 应用平几，一目了然 用代数研究几何问
24、题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。 的值为_。 和直线的交点为P、Q，则|OP| 解: 例4. 已知圆 五. 应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。 2 xyx2y2 ，直线l:，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且例5. 已知椭圆:1282416 满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。 分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便 地解出。 ，OR，OP共线，
25、y)， ，则， 解:如图，设) 点R在椭圆上，P点在直线l上 ， 即2416128 化简整理得点Q的轨迹方程为: (直线上方部分) 553 23 六. 应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x 2且圆心在直线上的圆和的交点， 的方程。 解:设所求圆的方程为: ，)，在直线上 则圆心为 解得 22 故所求的方程为 七. 巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。 y2 相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 例7. 过点A(
26、2，1) 的直线与双曲线 解:设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 2 ,<1>得 即 设P1P2的中点为M(x0，y0)，则 又，而P1、A、M、P2共线 ，即 中点M的轨迹方程是2x 解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还
27、要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形 垂直且等于AT，使 (1)写出直线使，垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系的方程; (2)计算出点P、Q的坐标; (3)证明:由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A? 于是 直线， 的方程为; ,); (2)由方程组解出P(0,1)、 (3)kP 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
28、需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? x2y2 例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SRab 为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程( 讲解:从直线l所处的位置, 设出直线l的方程, 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 代入椭圆方程， 得 化简后，得关于x的一元二次方程 于是其判别式 由已知，得?=0(即? 中，分别令y=0，x=0，求得 在直线方程令顶点P的坐标为(x，y)， 由已知，得解得22ab 代入?式并整理，得 即为所求顶点P的轨迹方程( 2xy 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形
29、吗? 2222xy x2y223 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是. 32ab (1)求双曲线的方程; (2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解:?(1)原点到直线AB:的距离 2 故所求双曲线方程为 3 (2)把代入中消去y，整理得 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 又,即 故所求k=?7. 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且?F1PF2的最大值为90?，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，
30、?ABF2的面积最大值为12( (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程( 讲解:(1)设对由余弦定理, 得 ， 2 解出 (2)考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况: i) 当k存在时，设l的方程为? x2y22222 椭圆方程为由得 2ab2 于是椭圆方程可转化为 将?代入?，消去? y得 整理为x的一元二次方程，得 则x1、x2是上述方程的两根(且， ， AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得由?知S的最大值为2c2 由题意得2c2=12 所以 x2 故当?ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:
31、x ? (这样设直线方程的好处是什么,还请读者进一步反思反思.) 22 椭圆的方程为: 112222 ab 由2得:2 于是椭圆方程可化为:? . 2 把?代入?并整理得:于是y1,y2是上述方程的两根 . AB边上的高 2 , 2 从而 1 2 当且仅当m=0取等号，即Smax 由题意知于是 故当?ABF2面积最大时椭圆的方程为: x22 例 x2y2 5 已知直线与椭圆相交于 ab A、B两点，且线段AB的中点在直线 上.(,)求此椭圆的离心率; (2 )若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x 2 上，求此椭圆的方程. ， 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,
32、y2).则由得 y2 根据韦达定理，得 2a22b2 ). a2b2 ?线段AB的中点坐标为(2,2 2 2a22b2222222 由已知得2，故椭圆的离心率为 (2)由(1)知 . 从而椭圆的右焦点坐标为 F(b,0), 设F(b,0)关于直线的对称点为 则且解得 x且 由已知得 ，故所求的椭圆方程为55842 020 例6 已知?M:是x轴上的动点，QA，QB分别切?M于A，B两点， ，求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方 程. (1)如果 讲解:(1)由 3，可得 由射影定理，得 MQ|,得在Rt?MOQ中， ，故或， 所以直线AB方程是 或(2)连接MB，MQ，设P(x,
33、y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得 2由射影定理得即 ，可得把(*)及(*)消去a，并注意到 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt?ABC中，?CBA=90?，AB=2，AC= 点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程; 22。DO?AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围( DN 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示?| PA |+| PB |=| CA
34、 |+| CB | ?动点22 x 2 的轨迹是椭圆?曲线E的方程是 (2)设直线L的方程为 (代入曲线E的方程，得设M1N(x2,y2), 则 ? ? ? i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由?得 又? ?或 ?0,? ? 而? ? ?的取值范围是 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l过抛物线 (1)求证:的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的两点垂直平分线. 2 讲解: (1)易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l?x轴，则l的方程为显然若l不垂直于
35、x轴，可设12242 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2PP2P2. 综上可知 P,代入抛物线方程整理得则43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-2353.264.1生活中的数3 P24-294p2222(2)设C(c,c),D(d,d)且，则CD的垂直平分线的方程为3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）2p2p22p 23.53.11加与减（一）4 P4-12一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。假设过F，则整理得 22p24p (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.，这
36、时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗,知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的复课切忌忘掉课本 PA=100m，PB=150m，?APB=60?，试说明怎样运土石最省工, 点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|,|MB|=|BP|,?M在双曲线点在圆内 dr;的右支上 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.