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1、数学中的有限和无限庄清清摘 要 本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.” 这句话是代表20 世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限
2、发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学包括几何和大部分的应用数学就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想
3、一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9，, n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘， “自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这样迫切需要澄清”1 .
4、它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年， 罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子0.3 0.03 0.00313;1 4;1 7;19;111235 52 53111238 82 831112310 102 1
5、03 3 0.1 0.04 0.001 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础给出两条铅垂线，只要它们没有交点，我们就认为它们是平行的，直线在数学中是没有明确的定义的，我们只知道，直线是可以无限的向两端延伸的，延伸的次数没有限制，延伸
6、的长度也是没有限制的，那么在地面上当它无限延伸的时候，两条直线必定会相交于一点，那就是地心，那么我们说的平行线也就是错误的说法了未必，只要我们说的那两条直线是有限的就行了，所以那是我们在无限的基础上说的有限.再如，投掷硬币的概率，那是我们在熟悉不过的事情了，我们习惯说投掷一枚硬币得1到正反面的概率都是1 ，假如我投掷硬币十次得到3 次正面 , 7 次反面呢, 那我说投掷2硬币得到正面的概率是3 ，反面的概率是7 ，你也不能说我的结果是错误的吧.实际1010上，我们平常说的概率1 ，那是在做了无数次的实验后得到的近似值，都是以无限为2基础而得到的结果.如果没有了无限这个基础，那么我们所得到的概率
7、也是不客观的.有限的运算建立在无限的基础上，无限就像空气一样，虽然你看不到它的存在，但是你却不能忽视它的存在，因为它时时刻刻都在我们身边.另外， 0.999991 正确吗 lim 10 ， lim 11 又正确吗显然，按照现代的n nn1n数学知识理论，它是正确的，但是它却又必须要建立在无限的基础上才能被认可.3 . 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：
8、一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. 6从这个故事中我们可以知道无限是由有限构成的.每一个房间都是有限的，每个房间只可以住一个旅客，就算来了无数个的旅客也是可以入住这所旅店的.如世上的很多东西都是无限的，但组成它的部分都是有限的.我们都知道在数学
9、中自然数是无限的，但组成自然数的每个数都是有限的，例如1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，这些数都是组成自然数的成分，但是我们众所周知的是只有一个1， 只有一个2， 只有一个3也可以说无限是由有限数组成的，3再如我们在数学分析中看到的调和级数9通过 AB的中点.从 A到 AB的中点， 其中间还有中点 如此考虑下去，从 A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB 段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成 “一尺之锤，日取其半，万世不竭”2 .说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其
10、中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.11 22444411111111188888888 是发n散的，但它的任一部分和都是有限的，只是当n 时，部分和才超过任何一个指定的数，其他的发散级数通常也是这样.数学分析中各种收敛性的判断我们都是通过判断部分和来判断整体的收敛或发散.4 有限由无限组成公元前 5 世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺
11、的哲学家就11111111111111, nnnnnnnnn留下一个很有意思的“二分说”论为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理第一次 我们挖去一个，其长度1 ，而余下2 个，长度1 ；33第二次 我们挖去两个，其长度1 ，而余下22 个，长度1 = 12 ；9932第 n次 我们挖去2n-1 个，其长度1 ，而余下2n个，长度1 ；3n3n显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个
12、点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0 和 1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1 .人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成
13、的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”7 无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它 .从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己 .由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0 到 1 的单位长度上存在着无数个
14、有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明n k 的方法 .数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当 n 1 和 n k 时命题成立，然后推导出当n k 1 时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用4 数学归纳法证明在自然数的序列中， 1 2 3 4 5 n 1 n n2.1112312361234
15、101234515123456211234567 28在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和=（首项+末项）项数2，但这只是我们猜测的，于是用数学归纳法证明如下：当 n 1 时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立；当 n 2时，左边=1 2 3，右边= 1 2右边 = 1 k k 1 1 ，左边=右边，即当n k 1 时，等式亦成立.所以可以证得21nn 2 3 4 5 n 1 n n 对于任何的自然数都成立，通过数学归纳法从而证 明了这一个普遍的定理.假如我们无法从有限推到无限的话，那么就算你有超能力，你也没办法证明这个普遍定理，就像你在下象棋的时候，就算你的棋艺很好，你也只是可以推
16、出对手有限步战略，也只能为自己的有限步范围内做好应对准备，再如天气预报一样，天气方面的专家们也只能每天为你更新一下天气情况，今天是不会知道明年 2 3，左边=右边，等式成立2当 n k 时，假设成立，即可得1kk12345 k，2那么当 n k 1 时，有：左边=12345 k k121kk2k121k 2k21k 1 k1今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具”8 .看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归
17、纳法却有着本质的区别，即使从名义上看它们都是归纳法的一种经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立 .”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无
18、限集中却找不到，像 , 中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：111111335571171111335572n - 1 2n 11223333557,n1 3 3 5 5 72n-1 2n 1122334223344n n12n - 1 2n 1n n13355n11,n2n 1n2n -1 2n - 1 2n 1,n2n 1112 n,n,n12
19、另外，再举一个例子s 1 1 1 1 1 1 1 1 的种种答案1 s 1-11-11-100002 s 1-1 1 1 1 10，故上式s 1-0所以答案s为 13 s 1-1 1 1 1 1上式中的s，所以s 1-s那么， 2s 1从上所以 s 12面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集
20、合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：12,24,36, ,n 2n 任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，
21、在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2 4 6 8 2n n n2对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限
22、步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数1112 231341nn 1解：级数的第n 个部分和sn1121123341nn 11n111n1还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出3 有限项之和nn-11 qsna aqaq a.1q| q | 1 时， lim snlim a. 1 q an n 1q 1q有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：3sin x x35 xx1 121223!1235!12n 11n1 x2n-1!14n242n2 1 1115721281612825
23、61024ex 1 1 x 1 1!2!213xx3!1 xn, xn!21212121211 2112211 2121211 211122111 Abstract ： This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an21432311 12311122311322125125在自然辩证法恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”7数
24、学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁. 无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：1郭华.数学中的有限与无限N.安阳工程学院学报，2009（ 1） .2华东师范大学数学系.数学分析上册M. 北京：高等教育出版社，2001 ， 23-24.3华东师范大学数学系.数学分析下册M. 北京:高等教育出版社，2001 ， 2-54.4葛军，涂荣豹.初等数学研究教程M. 江苏：江苏教育出版社，2009， 165-168.
25、5张永康 .试论数学中的有限与无限N.工程兵工程学院学报，1989（ 1） .6王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限J.高等数学研究，2007， 10（ 1 ）：77-82.7刘大椿 .自然辩证法概论M. 北京：中国人民大学出版社，2008， 100-250.8李浙生 .论数学中的有限与无限N.辽宁教育学院学报，1994（ 4） .9仲田纪夫日 著 .丁树深译.无穷的奥秘及其演变M. 北京：科学出版社，2001， 32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang Qingqingexample to discuss the infinite is th
26、e basis offinite , infinite is composed of afinite , finite is composedof anmatter, and providesinfinite, unlimited extension is finite , and discusses the difference and relation of the some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords: finite, infinite2233443355771在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：21