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1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：范诗源年 多辅导科目攵：初三课时数：3:数学学科教师：季益鸣授课类型T(同步知识主题)C (专题方法主题)T (学法与水平主题)授课日期及时段2021.12.15教学内容一、同步知识梳理知识点1:圆的有关概念(1) 圆心和半径：圆心确定位置,半径确定大小.等圆或同圆的半径都相等.(2) 弦：圆上任意两点之间的线段.直径是圆中最长的弦.(3) 弧：圆上任意两点之间的局部.完全重合的弧叫做等弧(强调度数相等且长度相等)(4) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.(5) 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆.(6)【常作辅助线
2、11连接圆心和圆上的点,形成半径.知识点2:圆的有关性质(1)圆是中央对称图形,也是轴对称图形.(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中,有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,也平分弦所对的优弧和劣弧.(4)圆周角的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半；直径所对 的圆周角是直角,90.的圆周角所对的弦是直径.【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线,形成垂径定理的条件,构造直角三角形应用勾股定理进行计算. 卑微如蟋蚁、坚强似大象共享知识 分享快乐【常作辅助线3】利用直径,构造直角知识点3:与圆
3、有关的位置关系(1)点与圆的位置关系：圆的半径为r,点到圆心的距离为d点在圆内：=d :二r点在圆上内：二d二厂点在圆外:二d r(2)直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d直线与圆相交点在圆内 二d ；r直线与圆相切点在圆内 二d ：二r直线与圆相离点在圆内=d r(1)圆与圆的位置关系两圆外离 二d R r两圆外切=d = R r两圆相交u Rr d R+r两圆内切=d=R r两圆内含=0d R-r(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.(3)切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线.(4)切线长定义：从圆外一点作圆的切线,该点到切点的距离叫切线长.(
4、补充)(5)切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线,它们的切线长相等,且该点到圆心的连线平分两 切线的夹角.(补充)(6)三角形的内心：是三个角的平分线的交点,它到三边的距离相等.【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直.【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时, 延长该线段与圆相交,形成直径垂直于弦【常作辅助线6】遇三角形的内心时,连接内心和三角形的顶点,形成角平分线.知识点4圆中的计算(1)弧长公式：l =1802(2)扇形面积：S=迎-或S=1lR3602(3)圆锥的侧面积：$侧=叼(r指底面圆的半径,l指母线长)题型1:圆的有关概念1. 2006 玉林市、防城港市如图 1,四边形
5、PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点 P在 公错误！未指定书签.上,且不与M, N重合,当P点在Mine移动时,矩形paob的形状、大小随之变化,那么AB的长度A,变大图1B.变小 C.不变 D.不能确定2. 2021江苏扬州如图3772, AB为.O直径,点 C、D在OO,/ BO0 70 , AD/ OC 那么/ AO93 .如图AB是.的直径,CD是.的弦,AB与CD的延长线交于点 E ,且AB= 2DE, / E= 18 ,求 / AOCW度数.题型2：圆的有关性质4 . 2021白银高速公路的隧道和桥梁最多.如图3是一个隧道的横截面, 假设它的形斗是以 O为圆心的圆的一局部,路面AB
6、=10米,7高CD =7米,那么此圆的半径 OA=c. 3755. 2007连云港如图A. 2cm5,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心B. 3 cmC, 2,3 cmD. 2,5cmO ,那么折痕AB的长为共享知识分享快乐6. .O的半径为R,弦AB的长也是R,那么/ AOB勺度数是.7. 2021黄石如图 6, AB 为.O的直径,点 C, D 在OO, /BAC =50,那么/ADC =8. 2021 湖北黄石如图 7, 0O中,OAL BC/AO& 60 ,那么/ AD仔.9. 2021黄冈如图8, 0O中,诵的度数为320 ,那么圆周角/ MAN=10. 如图9,在 A
7、BC中,ADL BC于D,以AE为直径画圆,经过点 B、C,求证：/ BAE4 CADJAH1图1011 . 2021年温州如图10,止方形纸片 ABCM边长为f 图示方式折叠,使 EA恰好与.0相切于点A EFA与 那么A G的长是题型3：与圆有关的位置关系12. 2006 邵阳市.O的半径为3cm,点P是直线l上一A.相交B.相切C.相离D_图9C3,.0的半径为2,圆心在正方形的中央上,将纸片按D 0除切点外尢重叠局部,延长FA交CDi于点G,点,OP长为5cm,那么直线l与.O的位置关系为.相交、相切、相离都后可能13. 2021山东淄博如图11, D是半径为R的.O上一点,过点四个条
8、件： AD= CD / A= 30 ;/ ADC= 120 ; DC= v3A.B.C.D.Aa/b,11图1214. 2021仙桃如图12, AB为.O的直径,D是.O上的一点,过 于点C, F为CEh一点,且 FD= FE.1请探究FD与.O的位置关系,并说明理由；2假设.的半径为2, BD= 33,求BC的长.D作OO的切线交直径 AB的延长线于点 C,以下R其中,使得BC= R的有BAD C图13O点彳AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线图1415.如图13, P是/ BAC的平分线上一点,PDAG垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么?16 如图14, ABC内
9、接于.O, AD是.的直径,CELAD,点E为垂足,CE的延长线交 AB于点F.求证:_ 2AC =AB AF17.如图15,4ABCKI为内心,AI交边BCF点D,交 ABC勺外接圆于点E,连结BE,试说明：BE=EC=IE图1518. 2021湖南长沙.Q、.0的半径分别是R =2、r2 =4,假设两圆相交,那么圆心距O.可能取的值是.A. R= 2rB . R=舟 C . R= 3rD.20. 一个扇形的圆心角为 90.半径为2,那么这个扇形的弧长为 _21. 2021浙江宁波如图, AB是.0的直径,弦 DE直平分半径结 ER E0 假设 DE=2a/3 , / DPA45 .1求.O
10、的半径；2求图中阴影局部的面积.图16R= 4r.结果保存几OA C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连题型4:圆中的计算19. 2006 宿迁市如图16,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.假设圆的半径为r,扇形的半径为 R,扇形的圆心角等于 120.,那么r与R之间的关系是图17EA、2B 、4 C 、6 D 、8三、课堂达标检测一、精心选一选本大题共10小题,每题3分,共计30分1、以下命题：长度相等的弧是等弧任意三点确定一个圆相等的圆心角所对的弦相等外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形,其中真命题共有B. 1个C. 2个D. 3个2、同一平面内两圆的
11、半径是R和r,圆心距是d,假设以R、r、d为边长,能围成一个三角形,那么这两个圆的位置关系是A外离B.相切C.相交D.内含3、如图1,四边形 ABCg接于.0,假设它的一个外角/ DCE=70 ,那么/ BOD= A . 35B.70C. 110D,1404、如图2,.的直径为10,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点,那么 0M的长的取值范围A . 3W0M 5B. 4W0M 5C. 30Mk 5D. 4VoM55、如图3, O 0的直径AB与弦CD的延长线交于点 E,假设DE=0B, ZA0C=84,那么/ E等于A . 42 B, 28C. 21D, 206、如图4, ABC内接于.O,
12、 AD BC于点D,AD=2cm AB=4cm AC=3cm 贝U.0 的直径是A、2cm B 、4cm C6cm D 、8cm7、如图5,圆心角都是90的扇形OA的扇形OCD!放在一起,0%3, 0C= 1,分别连结 AC BD那么图中阴影部分的面积为A. 1 二 B.2二 C.2 二 D.B8、.O与.Q外切于点 A,.0的半径R= 2, OQ的半径r=1,假设半彳空为4的.C与.0、.0都相切,那么满足条件的. C有A 2个 B、4个 C 5个 D 6个9、设.0的半径为2,圆心0到直线l的距离02m且m使得关于x的方程2x2 2j2x + m 1 = 0有实数根,那么直线l与.0的位置
13、关系为A相离或相切R相切或相交C相离或相交D无法确定10、如图6,把直角 ABC的斜边AC放在定直线l上,按顺时针的方向在直线 l上转动两次,使它转到 A2B2c2的位置,设AB=j3 , BC=1,那么顶点A运动到点A的位置时,点 A所经过的路线为竺+二7112C 2兀712二、细心填一填本大题共6小题,每小4分,共计24分.11、2006山西某圆柱形网球筒,其底面直径是100cm,这样的网球筒如下图放置并包装侧面,那么需第11题长为80cm,将七个2 .cm的包装膜不计接缝,兀取 3 .12、2006山西如图7,在“世界杯足球比赛中,甲带球向对方球门冲到A点时,同样乙已经助攻冲到 B点.有
14、两种射门方式：第一种是甲直甲将球传给乙,由乙射门.仅从射门角度考虑,应选择 种射门方13、如果圆的内接正六边形的边长为6cm,那么其外接圆的半径为.PQ进攻,当他带球接射门；第二种是14、如图8,：在.O中弦AR CD交于点M AG DB的延长线交于点 N,那么图中相似三角形有对.15、2006年北京如图9,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B C,其中,B点坐标为4, 4,那么该圆弧所在圆的圆心坐标为16、原创如图10,两条互相垂直的弦将. O分成四局部,相对的两局部面积之和分别记为S1、S2,假设圆心到两弦的距离分别为2和3,那么| S1 -S 2 | =.图8图9图10三、认真算一算、答
15、一答 1 72 3题,每题8分,2 4题 10分,共计66分.17、2006年丽水为了探究三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系,在数学实3活动中,选取等边三角形图甲和直角三角形图乙进行研究.0是4人30的的内切圆,切点分别为点D、E、F.1用刻度尺分别量出表中未度量的 ABC的长,填入空格处,并计算出周长L和面积S.结果精确到0.1厘米ACBCABrLS图甲0.6图乙1.0图丙图乙图丙图甲2观察图形,利用上表实验数据分析.猜想特殊三角形的r与L、S之间关系,并证实这种关系对任意三角形是否也成立？18、2006年成都如图,以等腰三角形 ABC的一腰AB为直径的.O交BC于点D ,交AC
16、于点G ,连结AD ,并过点D作DE _L AC ,垂足为E ,根据以上条件写出三个正确结论除AB=AC, AO = BO, /ABC=/ACB 外是：(1) ； (2) (3) 19、2004年黄冈如图,要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最卑微如蟋蚁、坚强似大象一大的凳面,最大直径是多少厘米?20、2005年山西如图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥 ,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB经测量,纸杯上开口圆的直径是 6cm,下底面直径为4cm,母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表 面积面积计算结果用兀表示.21、
17、如图,在 ABC中,/ BCA=90,以BC为直径的.O交AB于点 巳Q是AC的中点.判断直线 PQ与.的位置关系,并说明理由.22、2006年黄冈如图,AR AC分别是.O的直径和弦,点 D为劣弧AC上一点,弦ED分别交.O于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于点P. 卑微如蟋蚁、坚强似大象共享知识分享快乐(1)假设 PC=PF 求证：AEJ ED;(2)点D在劣弧AC的什么位置时,才能使 AD2=DE- DF,为什么?边OA比OC大2. E为BC的中点,24、(2004年深圳南山区)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO勺面积为15,以OE为直径的.O交X轴于D点
18、,过点D作DH AE于点F.(1)求OA OC的长;(2)求证：DF为.O的切线;“直线(3)小明在解答此题时,发现 AOE是等腰三角形.由此,他断定:BC上一定存在除点E以外的点P,使 AOPti1是等腰三角形,且点 P 一定在.O外.你同意他的看法吗？请充分说明理由.参考答案一、选择题I . B 2 , C 3 . D 4 . A 5 . B 6 . C 7 . C 8 . D 9 . B 10 . B二、填空题II . 12000 12 .第二种 13 . 6cm 14 . 4 15 . (2,0) 16. 24(提示：如图 1,由圆的对称性可知,I S1-S 2 |等于e的面积,即为2
19、 X 3 X 4=24)三、解做题17 . (1)略(2)由图表信息猜想,得S=1 Lr,并且对一般三角形都成立.连接OA OB OC运用面积法证实.2共享知识分享快乐18 . (1) BD=DC, (2) RtADEC RtAADC , (3) DE 是1O 的切线(以及/ BADW BAD ADBC,弧 BD= 弧 DG?).19 .设计方案如图2所示,在图3中,易证四边形 OaOc为正方形,oO+o/b=25,所以圆形凳面白最大直径为25(72-1 )厘米图120 .扇形OAB勺圆心角为45 ,纸杯的外表积为 44 7t.21 .连接OR CP,那么/ OPC= OCP由题意知 ACP是
20、直角三角形,又Q是AC的中点,因此QP=QC, / QPC之 QCP而/OCP+ QCP=9(0,所以/ OPC+ QPC=9(0 即 OPL PQ,PQ与.O相切.22 . (1)略 (2)当点D在劣弧AC的中点时,才能使 aD=DE-DF.23 .变化一、连接 OQ证实OQL QR变化二 (1)、结论成立(2)结论成立,连接 OQ证实/ B=Z OQB那么/ P=Z PQR所以RQ=PR (3)结论仍然成立24 . (1)在矩形 OAB值,设OC=x 那么OA=x+2,依题意得x(x+2)=15解得：x=3,x2=5X2 = -5 (不合题意,舍去)OC=3 OA=55(2)连结 O D
21、在矩形 OAB值,OC=AB / OCBW ABC=900 , CE=BE工2 AOCEE ABE . EA=EO ,/1 = /2在.0中,O O= O D ,/1 = /3,/3=/2.O D/ AE,- DF AE. DF, O D又点D在O O 上,O D为.O的半径,DF为.O切线.(3) 不同意.理由如下：当AO=AP寸,以点A为圆心,以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过 P1 点作 Rhl OA于点 H, P1H = OC = 3,= A P1= OA = 5A H = 4 ,.OH =1求得点P1 (1, 3)同理可得：P4 (9, 3)当OA=OP寸,同上可求得：P2 (
22、4, 3), P3 ( -4, 3)因此,在直线BC上,除了 E点外,既存在.O内的点R,又存在.O外的点P2、P3、P4,它们分别使 AOP等 腰三角形.课后作业1 .如图,在RtABC中,斜边BC=12, NC=30, D为BC的中点, 过A作.O的切线AE交DF的延长线于E点.(1)求证：AE DE ;(2)计算：AC AF的值.2 .如图,AB、CD是半径为5的.O的两条弦,AB = 8, CD = 6,MN是直径,ABXMN于点E, CD MN于点F, P为EF上的 任意一点,那么PA+PC的最小值为. ABD的外接圆.与AC交于F点,3.如图,点E在 ABC的边AB上,以AE为直径
23、的.O与BC相切于点 D,且AD平分/ BAC .求证：AC BC . 2s4 .(1),如图1, ABC的周长为1,面积为S,其内切圆圆心为 0,半径为r ,求证：=1；(2),如图2, 4ABC中,A、B C三点的坐标分别为 A(3, O)、B(3 , 0)、C(0, 4).假设 ABC内心为D=求点 D坐标；(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的4ABC位于第一象限的旁心的坐标.5 .如图,在平面直角坐标系中, A, B两点的坐标分别为(0, 2), (0,8),以AB为一边作正方形 ABCD ,再以CD 为直径的半圆P .设x轴交半圆
24、P于点E ,交边CD于点F .(1)求线段EF的长；(2)连接BE,试判断直线 BE与.P的位置关系,并说明你的理由；(3)直线BE上是否存在着点 Q ,使得以Q为圆心、r为半径的圆,既与 y轴相切又与.P外切？假设存在,试 求r的值；假设不存在,请说明理由.6 .如图,在直角梯形 ABCD中,AB / CD , /B=90 , AB=AD , / BAD的平分线交BC于E,连接DE.(1)说明点D在4ABE的外接圆上；(2)假设/ AED = /CED,试判断直线 CD与 ABE外接圆的位置关系,并说明理由.7 .我们知道,当一条直线与一个圆有两个公共点时,称这条直线与这个圆相交.类似地,我
25、们定义：当一条直线 与一个正方形有两个公共点时,称这条直线与这个正方形相交.共享知识分享快乐如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点为0(0, 0)、A(1, 0)、B(1, 1)、0(0, 1).(1)判断直线y = 1x+盘与正方形0ABC是否相交,并说明理由； 36(2)设d是点0到直线y=,3x+b的距离,假设直线y= J3x + b与正方形0ABC相交,求d的取值范围.0 A8、如图,点D在.0的直径AB的延长线上,点 C在.0上,AC=CD, /D=30,(1)求证：CD是.的切线；(2)假设.的半径为3,求弧BC的长.(结果保存 冗)9、：如图,直径为 0A的.M与x轴交于点0、A,点B、C把0A分为三等份,连接 MC并延长交y轴于点D(0,3).(1)求证：0MD0/XBA0;(2)假设直线I： y=kx+b把.M的面积分为二等份,求证：J3k+b = 0.