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1、精品文档高等数学课程教案授课题目 2.6 两个重要极限主讲人刘艳授课时间2013 年 11 月 9 日课时安排两课时教学目的：( 1) 掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；( 2) 通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。教学重点、难点重点：两个重要极限公式及其变形式难点：两个重要极限的灵活应用授课类型：理论课教学方式：讲授教学手段：多媒体及板书结合教学过程备注回顾：说出函数极限的四则运算法则。法则 1 : 设 lim f (x) A, lim g(x) B,则 lim
2、 f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B法则2：设lim f (x)A, lim g(x)B,则 lim f(x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B法则3：设lim f (x)A, lim g(x)B,且B 0,则 lim f(x)lim f (x)Ag(x)lim g (x)B新课 ：一、问题的提出“ 0 型”极限的计算方法 ，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化0分子或分母这两种方法。是不是所有的“0 型”都可以用这两种方法解决呢？0sin x问题：如何求lim sn x ？x0 x教师引 导，学 生回忆 口述提出问 题，引 发学生
3、 兴趣准则 1 (夹逼定理)设函数f(x),g(x),h(x)在 x0的某一邻域U(x0, )内满足g(x) f(x) h(x)精品文档且有极限 lim g(x)x x0lim h(x)A，则有lim f (x) Ax x0xx0例 1求limsin x x0时， 0 sin x x ，因为 lim x 0 ，由 定理 得limsin x 0 x02. 求lxim0 cosx0 1 cosx 2sin2x22(2x)222xx，因为 lim 0，2x02lim cosx 1 。 x021)nn定理 得， lim (1 cosx) 0，即x011例 3 求 lim(nn21 n221 n2n2
4、11n2n1n2 112 nn1n2 1111n2 1 n2 2n2 n无穷多 项无穷 小量的 和nn2 nn21nnn2 12 nnn1, lim1n n21所以 由 定理 得 lim (111n2 1 n2 22 nn) 1。CBAOD一、第一个重要极限sin xlim 1 x0 x证 如右图，作单位圆O,设圆心角AOB x (0 x ) ,2过点 A作圆O的切线，交0B 延长线于点C，过点B 作 BD OA，交OA于点D，于是，得sin x BD ， tanx AC AOB的面积圆扇形AOB的面积 AOC的面积，所以sin x x1tan x, ( 过程中注意互动，提问扇形面积的计算 2
5、互动 引导学 生从图 中观察 特点sin xsin x x tan x 1cosxx 0 时也成立。又 limcos x 1 ， lim1 1 ，x0lim x0sin x1注意： (1) 这个重要极限主要解决含有三角函数、反三角函数的“ 0型 ”的极限。(2) 为了强调此极限的一般形式, 我们把它形象地写成lim 00sin1 ，等式中的对重要 极限理 解的注 意事项 ”内的变量必须完全相同且趋于0 。例1求 limx0sin 3xsin 3xlimlim3x0x x0sin3x令 t 3x sint3x3lxim0 tsin t3lim 3t0 t例2求 limx0tan xlimx0ta
6、n xsin x例3例4求 lxim01 cosxx cosx1 cosxlim 2 limx0 xx02x 2sin2limx0sin xlim 11.x 0 cosx通过例 子加深 对重要 极限变 形理解求 lxim0arcsin x1lim 2x 02x sin2(2x)212lxim0(x sin1 122解 令 t arcsinx, 则 t sin x, 当 x 0 时 , 有 t 0. 于是由复合函数的极限运算法则得例5lim x01求 lim xsin xxarcsin xlim t 1. t 0 sint1令 t . 当 x 时， t 0 .x1 sintlim xsin li
7、m 1.xx t0 t例6sin x求 limxx令 t x , 则 sin x sin( t) sin t . 当 x 0 时， t 0 .sin x sin t lim lim 1. x x t0 t例7sin 4x求 limx0 x 1 1练习：求下列极限：sin 4x limx0 x1 1limx04sin4x4x(x 1 1) 412 8.sinxtan3x lim5x sin5xx 0 tan3x 小结： limx0x1 cos2x通过练 习巩固 对第一 个重要 极限的 掌握1正确、灵活地运用公式sin xlimx0 x运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。23.利
8、用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求lim sin x 0。xx理解单 调数列 的概念定义 1 ： 设有数列ynf n ，如果对任何正整数n ，恒有 f n f n 1 ，则 f n 为 单调增加数列；定义2： 如果对任何正整数n ， 恒有 f n f n 1 ， 则 f n 为 单调减少数列。定 义 3 ：如果存在两个常数 m 和 M m M ， 使对任 何正整数n ， 恒 有m f n M ，则 f n 为 有界数列 。准则 II 单调有界数列必有极限例如，yn存在， lim ynn1111： 1, , ,n2341lim 0 。nn可看出，y n单
9、调减少，且yn0， 所以， lim ynn二、第二个重要极限12) lim 1 x0 n证明 下证这个极限是存在的。设 f n 1 1nf n 是单调增加的。根据二项式定理，有1fn 1n1 1n! 1nnn 1 12!n1n2133!nn 1 n 2 n n 11111111! 2!nn!掌握第 二个重 要极限11113! 1 n 111111n! nn1n1fn1 1n111111! 2! n131! 111 n111n! n 11 n1n1n11 n1!11n1 n111nn1f n 1 的每一项都大于f n 的对应项，而且f n 1 还多出一个正的尾项。因而f n f n 1 n 1,
10、2,3,即 f n 单调增加 .再证明 f n 是有界的：1111fn 112! 3!k!n!k! 2k 1 k 2 ，所以用2k 1 代替上式分母中的k!，得111f n 1 12 k12 222k 121n11 21n1231 1212n 13n 多么大，f n 总小于 3，即 f n 有上界 .n lim 1 1 一定存在。这个极限是个无理数，用字母 nne 表示，即lim 1 1 n e nn注： （ 1）类型：1 型12)等价形式lim (1 t)t e3）推广形式：1lixm 0 1 x x e .2x2lxim (1 x)lxim (1 x)x2 22 x2 lxim (1 x)
11、22)2x2 x11解 lim x 1 2x lim 1 2x x lim 1 2x 2x e 2x0x0x0例 3 求 lim (x 1)3x通过例 题加深 对第二 个重要 极限的 掌握xx解 lim (x)3xlim (1)3x lim (1)x3e3xx x xxx例 4 计算 lim ln(1 x)x0 x解 lim ln(1 x) lim 1 ln(1 x)x 0 x x 0x1 lim ln(1 x) x练习： ( 1) lim (1)( 2) lim ()x xx 3x小结 ：理解两个准则：夹逼准则、单调有界准则熟练掌握两个重要极限：lim snx 1 ， lim(1)x e及其变形x0 xx x总结本堂课内容作业设计P93 习题二 （A ） .23（ 1） （3）（5）（7）24（1）（3）（ 5）1 求 lim 1 2