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1、精品文档1.函数的单调性：在某个区间( a,b)内，如果 f (x) 0 ，那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增；如 果 f (x) 0 ，那么函数 y f (x)在这个区间内单调递减 .如果 f (x) 0 ，那么函数 y f(x)在这个区 间上是常数函数 .注：函数 y f (x)在( a,b)内单调递增，则 f (x) 0， f (x) 0是 y f ( x)在( a,b)内单调递增的 充分不必要条件 .2. 函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 y f (x) 在点
2、x0处连续时，判断 f (x0) 是极大(小)值的方法是：( 1)如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0，那么 f ( x0 )是极大值( 2)如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，那么 f(x0) 是极小值 注：导数为 0 的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间( a,b)内，如果 f (x) 0 ，那么函数 y f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f (x) 0，那 么函数 y f ( x)在这个区间内单调递减 .如果 f (x) 0 ，那么函数 y f(x) 在这个区间上是常数函数 . 注：函数 y
3、f (x)在( a,b)内单调递增，则 f (x) 0， f (x) 0是 y f ( x)在( a,b)内单调递增的 充分不必要条件 .例 1】(B 类)已知函数 f(x) x3 bx2 cx d的图象过点 P(0, 2) ，且在点 M( 1, f ( 1)处的切线 方程为 6x y 7 0.()求函数 y f (x) 的解析式； ()求函数 y f (x) 的单调区间 . 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数 f(x)在区间 a,b上递增可得： f (x) 0；函数f (x) 在区间 a,b 上递减可得： f (x) 0.3【例 2】(A 类)若 f (x) ax3 x在区间1
4、,1上单调递增，求 a的取值范围 .【解题思路】利用函数 f (x) 在区间 a,b 上递增可得： f (x) 0；函数 f (x) 在区间 a,b 上递减可得：f (x) 0.得出恒成立的条件 ,再利用处理不等式恒成立的方法获解a【例 3】(B类)已知函数 f (x) lnx,g(x) (a 0),设F(x) f (x) g(x)x()求函数 F ( x)的单调区间；1()若以函数 y F(x)(x (0,3) 图像上任意一点 P(x0, y0)为切点的切线的斜率 k 恒成立， 2求实数 a 的最小值【课堂练习】321.(B) 已知函数 f(x) ax3 bx2的图像经过点 M(1,4)，曲
5、线在点 M 处的切线恰好与直线x 9y 0 垂直 .)求实数 a,b 的值；)若函数 f (x) 在区间 m,m 1上单调递增，求 m的取值范围1 2 1 22(B 类)设函数 g(x)x2ax2 bx(a,b R) ，在其图象上一点 P( x， y )处的切线的斜率记32为 f (x).( 1)若方程 f (x) 0有两个实根分别为 2和4,求f ( x)的表达式；22(2)若 g(x)在区间 1,3上是单调递减函数 ,求a2 b2的最小值123.(A 类)已知函数 f(x) x2 mlnx (m 1)x， m R当 m 0 时，讨论函数 f(x) 的单调2性.例一解析】()由 f(x)的图
6、象经过 P(0, 2)，知 d 2，32所以 f(x) x3 bx2 cx 2.所以 f (x) 3x22bx c.由在 M ( 1, f (1)处的切线方程是6xy7 0 ，知 6 f ( 1) 70 ，即 f ( 1) 1f (1) 6 .3 2b c6, 2b c3,所以即解得 b c 31bc2 1. b c0.故所求的解析式是f(x) x3 3x23x2.)因为 f (x) 3x2 6x 3 ，令 3x2 6x 30 ，即 x2 2x 10，解得 x1 1 2， x2 1 2 .当 x 1 2 或 x 1 2 时， f (x) 0 ，当1 2 x 1 2时， f (x) 0，故 f(
7、x) x3 3x2 3x 2 在 ( ,1 2 内 是 增 函 数 ， 在 1 2,1 2 内 是 减 函 数 ， 在 1 2, ) 内是增函数 .例二【解析】 Q f (x) 3ax2 1又 f (x)在区间 1,1上单调递增f (x)3ax210 在 1,1 上恒成立1 a3故 a 的取值范围为 13,例三解析】( I )Fxfxgx a 0，由 Fx0xa, ，由Fx0x0,a， F F x 的单调递减区间为1即a 2在x 1,1时恒成立 .3x2a1 a x aln x x 0 ， F x 2 2 x 0xx xx F x 在 a, 上单调递增 .0,a ，单调递增区间为 a,在 0,
8、a 上单调递减 .精品文档II)x 2a 0xx 3 ，kFx0x0 2a 0 x 3 恒成立 x0122x0 x02 max当 x01时，1x02 x0 取得最大值 12211 a， amin=22321，【解析】() f (x) ax3 bx2M (1,4) a b 4课堂练习； 的图象经过点 2 f (x) 3ax2 2bx ， f (1) 3a 2b1由已知条件知 f (1) ( ) 1 即 3a 2b 99ab4a1解得：3a2b9b3()由()知3 2 2 f(x) x3 3x2 ， f (x) 3x2 6x令 f (x)3x26x0则x 2或 x 0函数 f(x)在区间 m,m
9、1上单调递增 m,m 1 ( , 2 U0, ) m 0或 m 1 2 即 m 0 或 m 32，解析】( 1)根据导数的几何意义知 f (x) g (x) x2 ax b由已知 -2、4 是方程 x2 ax b 0的两个实根2 4 aa 2 2由韦达定理， , f (x) x2 2x 82 4bb 82) g( x)在区间 1，3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有f (x)g (x) x2 ax b 0,即f (x)x2 ax b 0在 1,3恒成立这只需满足f ( 1) 0即可 , 也即f (3) 0b13a 9a b 1而a2 b2可视为平面区域a b 1 内的点到原点距离的平 方
10、,b 3a 9其中点( 2， 3)距离原点最近，所以当2时,a23b 2有最小值13解析】f (x) xmx (m 1)x( 1)当1m0时，若 x 0, mx m,1时, f (x)0, f (x) 为减函数；x 1,时, f (x)0, f (x) 为增函数( 2)当 m1时， x0,1 时, f (x)2x3，0,f (x) 为增函数；(m 1)x m (x 1)(x m)时, f (x) 0, f(x) 为增函数；精品文档x 1, m 时, f (x) 0, f(x) 为减函数；x m,时, f (x) 0, f(x) 为增函数知识点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极
11、值的步骤 :(1) 确定函数的定义域，求导数 f (x) .(2)求方程 f (x) 0 的根.(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f ( x)在这个根处无极值 .2.求函数在 a, b上最值的步骤：( 1)求出 f(x)在 (a,b)上的极值 .(2)求出端点函数值 f(a), f(b) .( 3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数 y f (x)在x x0处取得极值
12、是 f (x0) 0的充分不必要条件 .1【例 4】(A 类)若函数 f (x) mcosx sin2x在 x 处取得极值 ,则m.24【解题思路】若在 x0附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，且 f(x0) 0,那么 f(x0)是 f (x)的极大 值；若在 x0附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，且 f(x0) 0,那么 f(x0)是 f (x)的极小值 .【解析】因为 f (x)可导,且 f(x) msinx cos 2 x ,所以 f( ) msin cos0,解得 m 0.4 4 2 1验证当 m 0时, 函数 f (x)sin2x在 x处取得极大值 .24【
13、注】 若 f ( x)是可导函数，注意 f (x0) 0是 x0为函数 f (x)极值点的必要条件 .要确定极值点还需在 x0 左右判断单调性 .例 5】(B 类)已知函数f x f x 0,1( I)求的单调区间；( II)求在区间 上的最小值 ./ x /x 在 ( ,k 1) 上递减，在【解析】( I) f /(x) (x k 1)ex ，令 f /(x) 0 x k 1；所以 (k 1, ) 上递增；精品文档II)当 k 1 0,即k 1时，函数在区间0,1 上递增，所以f(x)minf (0)k；精品文档当 0 k 1 1即 1 k 2 时，由（k1以 f(x)min f (k 1)
14、ek 1 ； 当I）知，函数 f x 在区间 0,k 1 上递减， （k 1,1 上递增，所1 1,即k 2 时，函数 f x 在区间 0,1 上递减，所以精品文档f ( x) min f (1) (1 k)e例 6】（ B 类）设 x1,x 2 是 f xaln x bx x 函数的两个极值点 .1）试确定常数a和 b 的值；2）试判断1,x2 是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值解析】（ 1） f2bx1,a 2b10由已知得：1 a 4b 1 0223162） x变化时 . f （x）, f（x） 的变化情况如表：x（0，1）1（1，2）2f ， x0+0fx极小值极大值x 取得极
15、大值 32ln 235故在 x 1处，函数 f x 取极小值 6 ；在 x 2处，函数f（x）4.（ A 类）设1 3 1 2xx322ax.若f (x)在 (3,） 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围5.（ B 类）设f(x)ln x ，g(x)f(x) f (x)1）求 g（x） 的单调区间和最小值；g（1）2）讨论 g（x） 与 x 的大小关系；326.(C 类)已知函数 f (x) x3 3ax2 (3 6a)x 12a 4(a R)()证明：曲线 y f(x)在x 0的切线过点 (2,2) ；课堂练习； 4，【解析】 f (x)在 (3, ) 上存在单调递增区间，(m,n) (2
16、, ) f (x) 0 即存在某个子区间 3 使得 f (x) 0. 2 1 2 1f (x)x2 x 2a (x ) 2 2a由 2 4 ，2 2f (x) , ) f ( ) 0f (x) 在区间 3 上单调递减，则只需 3即可 . 2 2 1f ( )2a 0 a由 3 9 解得 9 ，12a ( , )所以，当 9 时， f (x) 在 3 上存在单调递增区间f(x)5，解】( 1)由题设知ln x,g(x)ln x 1x，g (x)x 1,x2 ,令g (x) 0得x=1当 x ( 0， 1)时， g ( x) 0，g(x)是增函数，故( 1，+)是 g( x)的单调递增区间，因此，
17、 x=1是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 g(x) 的最小值为 g(1) 1(2) x，设xx ，则x，当x1 时， h(1)1g(x) g( )0 ，即x ，当 x (0,1) (1,) 时，h (x) 0 ，因此，h(x) 在(0,) 内单调递减，当 0x 1 时， h(x)h(1)0，即 g(x)g(1x) x21 1 1 (x 1)g( ) lnx x h(x) g(x) g( ) ln x x h(x) 23 6a，又 f (0) 12a 426，【解析】 () f (x) 3x2 6ax (3 6a)， f (0)曲线 y f (x)在x 0的切线方程是： y (12a 4) (3 6a)x ，在上式中令 x 2，得 y 2.所以曲线 y f (x)在x 0的切线过点 (2,2) ；