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1、2020全国硕士研究生入学统一考试数学一真题详解一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)当XT CT时，下列无穷小量中最高阶是()(A) -Ipr (B) Jn(1 +厅Mf sinx今fl-cosx /.(C) sin/v/ (D) fJsin广大JoJo【答案】(D)【解析】由于选项都是变限枳分，所以导数的无穷小球的阶数比较与函数的比较是相同的。16共14页(B) + )力)=In(1 + 4)|x|/ fsinx .,(C) I sin/t/=sin (sin2 x) x2(D)/ H
2、-ccsxJosin(l -cosx)2 sin x 经比较，选(D)(2)设函数在区间(-1,1)内有定义，且!叫/(x) = 0,则(r (x)(A)当15方j = 0时，/(x)在x = 0处可导。(B)当1盘时，/(力在x = 0处可导。(C)(D)当/(x)在x = 0处可导时，!吧彳1 = 0。当/(x)在x = 0处可导时，= 0【答案】(C)【解析】当/(X)在x = 0处可导，且= 则有0) = 0,为x的高阶无穷小量)，所以!/w=0,选(C) o(3)设函数/(x,y)在点(0,0)处可微，/(0,0) = 0,垂直,(A)lim(x0H(o,o)=0存在(B)lim(a
3、Zo，)=0存在(C)lim(xo)-Ho.o)=0存在(D)lim(aZ。，。)=0存在(0,0)，非零向量2与力【答案】(A)【解析】由题意可知,lim(x.j)-(X0)lima,y)f0,0)|(/：(0,0),/；(0,0),-1 ).卜,歹,小,刈lim-0,0)|/ (,y, y) - /(0,0) - f：(0.0)(.r - 0) - /；(), 0)(? - 0)|7(x-O)2+(y-O)2由于函数/(xj)在点(0,0)处可微，所以(，lim(4)设/?为塞级数的收敛半径,”1尸是实数，则()(A)当的/发散时，卜|2/? nl(B) 的“/发散时，卜K/? =l(C)
4、当卜,火时，出,触发散nl(D)当时，的/收敛1【答案】(A)80O【解析】因为H为恭级数%/的收敛半径，所以为轼级数工。2”一”的收敛半径，/=1n=当Z四，2发散时，由阿贝尔定理得NR，选（A）。 n=l（5）若矩阵/经初等变换化成8,则（）（A）存在矩阵P,使得。4 = 3（B）存在矩阵P,使得8。=彳（C）存在矩阵尸，使得PB =4（D）方程组4r = 0与8r = 0同解【答案】（B）【解析】由题意可知，对于矩阵力进行列变换得到矩阵8,则存在初等矩阵。”。2,，2, 使 力Qi02 2 = B,则4=8（。102 2） 即力= 8P,选（B） .（6）已知直线）：七口 =上二2 =
5、22与直线4:七口 =上二区=”色相交与一 / b c,a2 b2 c2, 点，法向量6 = 4 ,i = 1,2,3,则（） f .（A） q可由。2，。3线性表示（B）。2可由，。3线性表示（C） %可由线性表示 （D）。1,。2，。3线性无关【答案】（C）【解析】设交点为（飞,歹0/0）,则X。一2 二儿一与= Z-C2q U q%一% 二盟-a 二 Zoa、 A c,所以、o = a1k + a2 =02/ + 3;0 =blk+b2 =b2l+b3;zQ =c1k + c2 = c2l + c3，从而有。3+（1 -,选（C） o （7）设4民。为三个随机事件，且尸（/1）=尸（8）
6、=尸（C） = ；,尸（48）= 0,。（/。）=。（8。）=,则4伉。中恰有一个事件发生的概率为（）3 215（A） （B） （C） （D）4 3212【答案】（D） 【解析】设4仇。中恰有一个事件发生的概率为p,则p = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC), ABC u AB,P(AB) = O= P(ABC) = 0，P(48C) = P(/18UC) = P(4)-P(/1(8UC)=P(A)- P(AB) - P(AC) + P(ABC)P(ABC) = P( BAC = P( 8) - P( 8(4 H C)= P(B)-P(AB)-P(BC)+P(ABC) = -=
7、；P(ABC) = P(CA U 8) = P(C)- P(C(A U 8)=P(C)-P(AC)- P(BC)+ P(A8C) =代入，可得p = L + 1 + =2 6 6 12 12（8）设乂,万2,Xg为来自总体X的简单随机样本，其中PX = O = PX = 1 = ；)o100（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得455的近似值为（ /-I(A) 1-0(1)(B) 0(1)(C) 1-0(02)(D) 0(0.2)【答案】（B）11( 100 )【解析】由题意可知，(X) = , Q(X) = , E Zx =100x = 50, 243J2,100、 i-l710
8、0xi = 254100 ZX-50 12T4 r=-=。选(B)V25100利用中心极限定理可得P XjG 55 P二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) lim xtO【答案】-1【解析】由题意可知,，n(1+X)J=lim xtOln(l + x)-ex + 1(er-l)ln(l + x) ln(l+x)-x + x-er+ 1ln(l+x)-x x-er+1=lim =hm-产 + lim3xtOx，x-0 x.r-0 x二+limU二二一12 i。2x 2 2(IO)设X = Jr +1J2y)=1训 + /7 + 1) dx2【答案
9、】一及/ 片 f I解析受余需早4cl2ydy _ ( 力 _ 1 lr +1 _ /r +1cl2x dx dt dxd2xi = = -72(11)若函数/(x)满足/(x) +4。)+ /(幻=0(。0),且/(0) = 7,/(0)= ，则r+Jo JMdx=【答案】n + am【解析】由题意可知，特征方程为r+ + 1 = 0，A = 62.4 ,因为。0,所以进行 如下讨论：1)当。2时，方程布两个负实根，即/(x) = C2炉+。2斗;。口。2为任意的常数，此时，J： Jx)dx = 一 J J (/(x) + af(x)dx = 一(/(幻 + 4(x) |丁 =n + am2
10、)当0v3-中极值【答案】极小值为/&】)=-上 6 12216【解析】由题意可知，二3/-乂二 24/-x： dx dvr=3x2 -y = 01徐fx.=0/二令df x 2八，解得，八* :1的%=Ti再有 V = 6x,篙 = -l;瞽= 48y，得 dx oxoy oy4=箓1=。出=急_ir(0,0)一 一15 一/ (0.0)A2 =加陶L-翳Ld2f82f因为 4G - B； = -1 0,且4 = 1 0,所以(0,0)不是极值点，(-,) 6 12为极小值点，极小值为/（上） =一7 6 12216（,6）（本题满分I。分）计算曲线积分/=J+就w，其中/是曲线L:x2 +
11、 y2 = 2,方向为逆时针方向。【答案】【解析】n由题意可知，补线。：4/+y2=2, o,且任意小，方向是顺时针,则/=JJ I4x-y, x + y ,dx + -dy4x2 + y2ff 4x-y x + y . r 4x-y ,x + y,=11 ；7 dx 4；7 dy I ；7 dx + ；r dyJ/ 4x2 +4厂+/， Jl 4x2 +4厂+/ -(4x - y)dx + (x + y)dy =K” 2 dMy =%。“ o，（17）（本题满分10分）设数列%满足q = l, （+1）。用=（ + 3）4,证明：当|乂oo + 彳00|x| = |x| 1，故当 |x|0,
12、则叫(0,2),使|/(%)| =用.若0A/,e(O,xo)c(O,2). %-0 x0 x0若lvx0w(Xo,2)u(O,2).2To2ro 2To(l1)根据第一问，丸(0,2),使= M ,则历=|/Uo)| = |/(/)一/()| = 口：/(x)dx (/(刈公 ：Mdx = A/r0,(l)M = f(xQ) = |/(2)-/(xn)| = |j ,r(x)| J：，(x)|dx J Mdx =(2-%),(2)由式(1)则(%-1)20,由式(2)则(/-1)40。显然若与工1，则=0。若方=1,且，(外归，则 =|/卜|/(1)- /(0)| = | /(工延卜口八刈四
13、 M M = |/(1)| = 1/(2) -/(1)| = |2 r(X 心卜/(X)依 M故|/(刈三M,kw(0,1)U(1,2),即/(x) = M。若MhO,则/(幻不连续，这与题设矛盾，故例=0.=0(20)(本题满分11分)设二次型/(4X2)= x”4.0T2+4x；经正交变换化为二次型g(必,8)=。疗+4必必+，其中。2匹(1)求值;(2)求正交矩阵0。【答案】(1)。= 4/=1, (2) Q =5_3545)【解析】/(xpx2) = xr1 -2、-2 4,x - x Ax ， A =-2、/(M，8) = 21, (ay = y By, B =b)(22、b,/（x
14、px2） x = 0 g,%），即。ZQ = 8,其中。为正交矩阵，故4 8合同且相似，B=0= ab-4 = 0则%=% .又因A的特征值为5和0,则由（4）= （B） = q + 6 = 5 = q = 4,6 = 1,ab（2）当乙=5时，其线件无关的特征向量为 二） 当乙二。时，其线性无关的特征向量为2f，则970H.当4=5时,其线性无关的特征向量为,（=0时，其线性无关的特征向量为令6=1-2则 Q：aQ、=Q；bq2 =二乌。；= 8 =。=。；=5)（21）（本题满分11分）设力为2阶矩阵，P（a,4z）,其中a是非零向量且不是力的特征向量（1）证明尸为可逆矩阵: （2）若才6
15、a =（）,求p-p,并判断力是否相似于对角矩阵。,0 6.【答案】（2） PP=,彳可以相似对角化1 1【解析】（1）证明：设用a +与力。二。，2肯定为0,反让法，若勺工，则*a = -&a,即a为力的特征向量，与题意矛盾。因此匕=0,代入得勺。=0,由。非零得尤=0. XII由勺=勺二0得a,4a线性无关，向量组秩为2,，,(尸)= 2,所以P = (a,4z)可逆。A(a,Aa) = (Aa,A a = (Aa,6a - Aa) = (a,Aa) ；(2)由才a + /a-6a = 0得/a = 6a-/la ,7(0 6)(0 6 由。可逆得 K/P= ,令夕=由忸- 2周=0得4
16、=2,4=一3k 1 1 / 1 1 j有两个不同的特征值，所以8可相似于对角矩阵，由尸-)尸=8, 4B因为6可对角化，力相似于8,所以可对角化，即力相似于对角矩阵.(22)(本题满分II分)设随机变量|,犬2，犬3相互独立，其中X1,X?均服从标准正态分布，X3 的概率分布与 PX2 =0 = p%3 = i = l,r = 4X +。-九)*2(I)求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布函数(x)表示(2)证明随机变量丫服从标准正态分布【答案】川北用=；:【解析】(1)(乂，丫)的分布函数为：F(x,y) = P%. x,r = P%3 = 0,%, r + P%3 = l,%,
17、%,/;=PX3 = o,x, x,%2 M 处+尸*3 = LX 4 x，M v y= PXixPX2y + PXix,Xl yx“时，尸(x,y)=；尸乂 xPX2yPX, x,Xx1时，尸(x,y)=；尸吊 xPX2y-PXl x,X y二；o(x)o(y)+；0(y)综上所述：/(xj)=y(2) F(y) = PY y = PXy=Y y PXy = J y= PX3=Q9X3Xl+(l-X3)X2y + PX3=,X3X(-X3)X2y= PX3=OtX2y + PX3=iXi0 其他其中6, m为参数且大于零。(1)求概率尸Tf与尸rs + /rs,其中 s00.(2)任取个这种
18、元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为4,乙，若机已知，求。的最大似然估计值。【答案】叩/=/t / +巾 s= J 下一 /01t/ = i-pr0PT t + sTsjPTt + syTs _ PTt + spr5)pr5)“$r_(，$广 orl-Prq + s_l-尸(f + s)_e 广 l-PT4s = 1一 产(s)= eX) /(r) = F(/) =当寿命的观测值名./“皆大于零时/0L = n/() = 9Tng)m% jlIn A = -n In 夕 + (加 一 1) In / + In m 0mZ4； /=id In A nm加孕 卜弋严 故7泠：为所求的最大似然估计值。