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1、第一章整式的乘除L5平方差公式（2）教学设计一、教学目标1 .探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；2 .会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.二、教学重点及难点重点：利用平方差公式进行简便运算.难点：利用几何知识探索平房差公式，培养数形结合的思想.准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】1 .回顾上节课平方差公式:（u+b） （a-b） =a2-b22 .公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.3 .应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的
2、适用范围2）字母、b可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号【问题情境】在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：1. 21x19 = ?2. 103x97 = ?主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991:其速度之快，简直就是脱口而出.同学们，你知道他是如何计算的吗？这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本课的学习我们都能像速算王一样聪明, 能够迅速得到结果，我们今天来探究原因.设计意图：通过“速算王的绝招这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发 了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.【探究新知】问题1:如图，边长为的大正方形
3、中有一个边长为人的小正方形.(1)请表示图中阴影部分的而积.提示：cr-b2(2)如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出 它的面积吗？提7K：长是宽是“岳 而枳是(ci+b).(a-b)比较(1) (2)的结果，你能验证平方差公式吗？(a+b).(a-b ) = cr-b2设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景.问题2：相邻两个自然数的乘积(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点7x9=11x13=179x81 =8x8=(12x12=80x80 =(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正
4、确性吗？探究：(1)中算式算出来的结果如下7x9 = 6311x13 = 143(79x81 = 6399, 8x8 = 64112x12 = 144180x80 = 6400从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.问题3.是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？再找几个例子：1x3 = 3199x101 = 9999/24x26 = 6242x2 = 41100x100 = 1000()125x25 = 625发现：对于所有的自然数都有上述规律.问题4：你能用字母表示这一规律吗？设这个自然数为”,与它相邻的两个自然数为“一 1，“+1，则有3+1)3 1)之於- 1.这个
5、结论的正确性，用平方差公式可以说明.设计意国：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生 经历数学的探究与发现过程.三、典例精讲例1.用平方差公式进行计算：(1) 103x97： (2) 118x122.解：(1) V 103=100+3, 97=100-3,A 103x97=(100+3) (100-3)= 1002-32=9991.(2) 118=120-2, 12-120+2.118x122=(120-2)(120+2)= 1202-4= 14400-4=14396.设计意图：结合课本例题，让学生熟悉平房差公式，能进行简便运算.例2.计算：(1) a2(a+b)(
6、a-h)+a2b2： (2) (2x5)(2a+5) 2v(2x3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便：还需注 意的是运算顺序以及结果一定解：(1 )a2(a+h)(a b)+a2b2=r(a2b2)+a2b2=i4a2b2+a2b2(2)(2r-5)(2x+5) - 2v(2x-3)=(2x)252(426x)=4.r225 4a2+6.v=6.25 .设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式 在解决计算类问题的简便作用.例3.计算(1 )704x696(2)(x+2y)(x2y )+(x+ l)(x 1)(3)x(x-
7、l)-(x-1 )(x+1)解：(1 )704x696=(700+4)(700-4)=490000-16=489984(2)(x+2y)(x2y )+(x+ 1)(x 1)=(x2-4y2)+(x2 1)=x24y2+x2- 1=2a，24)2 1(3)x(x-l)-(x-l)(x+l)=(x2-X) a-2-(1 )2设计意图：平方差公式的综合运用，要能正确辨析平方差公式.例4. （1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（）DA. （a）（“一Z?）B. （c2-C. （x3y3）（A3+v3）D.)A（2）用平方差公式计算a-i）a+i）（/+i）结果正确的是（B. R+lA.
8、 /一 1D. (x+1)4C. (x-1)4(3)下列各式中，结果是。2 36的是()DA. ( 6/?+t/)(6b-a)B. ( -6Ha)(6-a)C. (a+4h)(a-4b)D. ( 6-a)(6a)例5.(1) (5x+3y)()=25/一9/(5x3y)(2)(-0.2-0.4y)()=0.16y2 0.04x2(0.2x-0.4y)(3)(一1X一)()=?入2+121)工(4)若(-7/n+A)(4+B)=16249?2,则从=，B=. A=4n, 8=7？例6.公式的逆用(1 )(x+y)2(xy)2 (2)252 242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(l)(x
9、+y)2 (xy)2=(x+y)+(x-y) (x+y)-(x-y)=2x2y=4xy(2)25224?=(25+24)(25-24)=49【随堂练习】1.(1)对于任意整数，能整除代数式伽+ 3)(一3)-( + 2)(一2)的整数是().CA. 4 B. 3 C. 5 D. 2(2)在(x+y + a-b)(x-y + a+b)的计算中,第一步正确的是().CA. (x + Z?厂一(y a厂B.(厂一 )C. (x + a)2 -(y-/?)2D. (x-h)2 -(y + )2(3) (一3a + m)(4h + n) = 16Z?2 -9u2,则 m =. m = 4Z?,n = 3
10、a(4) 1.01x0.99 =. 0.99992 .计算:(I) 19982-1997x1999：a3+令:解：(1) 1： (2) x42566253.计算(2+3)，)(3)，-2).(2)(p5)(/?2)(/?+2)(p+5).(3 )(x2y+4)(x2y4)(x2y+2)-(x2y-3).解.(1)9/-4/ (2)p4-29p2+100(3).v-104 .已知f-2v=2,将下式先化简，再求值(X )2+(x+3)(x3)+(x3)(x 1)解：原式=3*2a)-5=3x25= I设计意图：通过练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算 问题时的巧妙和简洁
11、.5 .解方程：(2计1)(2X- 1)+3。+2)。-2)=(7.计1)。- 1)解：(2x+1)(2a- l)+3(x+2)2)=(74+1)。 1)(2x)2 l+3(x24)=7x26a 14a2- 1 +3at - 12=7.-6a - 16a-I2x=2设计意图：平方差公式在解方程中的应用.6 .利用平方差公式计算：(l)2o|xl9|：(2)13.2x12.8.1211分析:把2%x啰写成(20+Rx(20然后利用平方差公式进行计算:把13. 2x12.8 J JJJ写成(13+0. 2)x(13-0. 2),然后利用平方差公式进行计算.191111Q解：(1)2%x19=(20
12、+Rx(201)=2。20)2=4005=39不： JJJJJ77(2)13.2x12.8 = (13+0.2)x(13-0.2)= 132-0.22= 169-0.04= 168.96.设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式 在解决计算类问题的简便作用.7 .计算:19902 -1989?+19882 _ 9872+.+22-L分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.解：原式=(19902-19892)+(19882 19872)+.+(22-1)=(1990+1989)(1990-1989)+(1988+1987)(
13、1988-1987)+.+(2+1)(2-1)=1990-1989+1988+1987+.+2+1_ 1990x(199() + 1)2=1981045设计意困：平方差公式的灵活运用.8.王大伯家把一块边长为“米的正方形上地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说： “我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听， 就答应了.你认为李大妈吃亏了吗？为什么？分析：根据题意先求出原正方形的面枳，再求出改变边长后的而积，然后比较二者的大 小即可.解：李大妈吃亏了.理由如下：原正方形的面积为屏，改变边长后面积为(a+4)(4-4)= t/216.16 李大妈吃亏了.设计意图：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.六、课堂小结1 .设这个自然数为”,与它相邻的两个自然数为“- 1, “+1,则有3+1)3-1) =a2 1.2 .应用平方差公式的注意事项：(1)注意平方差公式的适用范围(2)字母“、8可以是数，也可以是整式(3)注意计算过程中的符号和括号设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算.七、板书设计1.5平方差公式1 .方法1：(尸一方法方长是宽是面积是(a+b) . (a-b) (a+b) . a-b - a2-b22.计算: