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1、复习高一数学必修一第一章集合与函数知识点总结精华版高一数学必修1第一章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 , 注意:常用数集及其记法: 非负整数集,即自然数集, 记作:N 正整
2、数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1, 列举法:a,b,c 2, 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-32 3, 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4, Venn图: 、集合的分类: 4(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:x|x=,5, 二、集合间的基本关系 1.包含?关系子集 A,B注意:有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同一集合。 ,反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2(相等?关系
3、:A=B (5?5且5?5则5=5) 2实例:设 A=x|x-1=0 B=-1,1 元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A A ?真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集记作AB(或BA) ?如果 A B, B C ,那么 A C ? 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为 规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1, 有n个元素的集合含有2个子集2个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 设S是一个集合A是由所有属于A且属由所有属于集合A或义 S的一个子集由S中于B的元
4、素所组成属于集合B的元素所所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合叫做A,B成的集合叫做S中子集A的补集,或余集, :交集(记作A,读BB的并集(记作:A作A交B,即,读作A并B,即即 记作CAS:AB=,x|xA且AB =x|xA或,S CA= x|x,S,且x,ASxB,( xB)( A ,韦 S AAB恩 BA 图 图2图1示 :性 A A=A A=A A:A) (CB) (Cuu: A= A=A := C (AB) u: AB=BA AB=BA :(CA) (CB) uu: ABA AB, ,:= C(AB) u:质 ABB ABB ,:A (CA)=U u:A (CA)=
5、( u例题: 1.下列四组对象能构成集合的是 , , A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 集合abc 的真子集共有 个 2.23.若集合M=y|y=x-2x+1,xR,N=x|x?0则M与N的关系是 . ,4.设集合A=B=若AB则的取值范围是 ,axxa,xx12,5.50名学生做的物理、化学两种实验已知物理实验做得正确得有40人化学实验做得正确得有31人 两种实验都做错得有4人则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的集合M= . 22227.已知集合A=x| x+2x-8=0, B=x| x-5x+
6、6=0, C=x| x-mx+m-19=0, 若B?C?A?C=求m的值 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)x?A(其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零, (2)偶次方根的被开方数不小
7、于零, (3)对数式的真数必须大于零, (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. , 相同函数的判断方法:?表达式相同,与表示自变量和函数值的字母无关,?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标函数值y为纵
8、坐标的点P(xy)的集合C叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象(C上每一点的坐标(xy)均满足函数关系y=f(x)反过来以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(xy)均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念 ,1,区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 ,2,无穷区间 ,3,区间的数轴表示( 5(映射 一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个
9、映射。记作f,对应关系,:A,原,象,B,象,? ,对于映射f:A?B来说则应满足: (1)集合A中的每一个元素在集合B中都有象并且象是唯一的, (2)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可以是同一个, (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况( (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集( 补充:复合函数 如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=fg(x)=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。 二(函数的性质 1.函数的单调性(局部性质)
10、 ,1,增函数 设函数y=f(x)的定义域为I如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xx当xx时都有f(x)f(x)那么就说f(x)在区间D上是增函数.121212区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xx当xx时都有f(x),f(x)1212 12那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质, ,2, 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的.
11、 (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取xx?D且xx, 1212?2 作差f(x),f(x), 12?3 变形,通常是因式分解和配方, ?4 定号,即判断差f(x),f(x)的正负, 12?5 下结论,指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性,( ?(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)y=f(u)的单调性密切相关其规律:同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8(函数的奇偶性,整体性质, ,1,偶函数 一般地对于函数f(x)的定义域
12、内的任意一个x都有f(,x)=f(x)那么f(x)就叫做偶函数( ,2,(奇函数 一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(,x)=f(x)那么f(x)就叫做奇函数( ,3,具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称,? 2确定f(,x)与f(x)的关系, ?3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0则f(x)是偶函?数,若f(,x) =,f(x) 或 f(,x)，f(x) = 0则f(x)是奇函数( 注意:函数定义域关于原点对称是
13、函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 ,1,.函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定义域. ,2,求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10(函数最大,小,值,定义见课本p36页, 1 利用二次函数的性质,配方法,求函数的最大,小,值? 2 利用图象求函数的最大,
14、小,值 ?3 利用函数单调性的判断函数的最大,小,值: ?如果函数y=f(x)在区间ab上单调递增在区间bc上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b), b上单调递减在区间bc上单调递增则函数y=f(x)如果函数y=f(x)在区间a在x=b处有最小值f(b), 例题: 一锐角三角函数1.求下列函数的定义域: 函数的增减性：2x,1xx,2152? ? y,1()y,x，1x，,33(3)边与角之间的关系：22.设函数的定义域为则函数的定义域为_ _ fx()01，fx()3.若函数的定义域为则函数的定义域是 fx(1)，fx(21),23，xx，,2(1),4.函数 若则= x2f
15、x()3,fxxx()(12),2(2)xx,4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。5.求下列函数的值域: 2.点与圆的位置关系及其数量特征：22? ? x,1,2yxx,，,23yxx,，,23()xR,2(3) (4) yxx,12yxx,，45第二章 二次函数2已知函数求函数的解析式 6.fx()fx(21)，fxxx(1)4,104.305.6加与减（二）2 P57-607.已知函数满足则= 。 fx()fx()2()()34fxfxx，,，38.设fx()是R上的奇函数且当时,则当时= fx()x,(,0)x,，,0,)fxxx()(1),，在R上的解析式为 fx()9.求下列函数的单调区间: 11.弧长及扇形的面积222 ? ? ? yxx,61yxx,，23yxx,，23 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。310.判断函数的单调性并证明你的结论( y,x，1弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。21，x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:( f(x),f(),f(x)21,xx