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1、求数列通项公式方法 （ 1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26， 求 an；2. 已知数列an满足a12,an an 1 1（n 1），求数列an的通项公式；3. 数列an 满足a1 =8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （ n N ） ，求数列an 的通项公式；4. 已知数列an满足a1 2, 112，求数列an 的通项公式；an 1 an115. 设数列an满足a10且 111 ，求 an的通项公式1 an 11 an6. 已知数列an满足 an 12an ,a1 1 ，求数列an的通项公式。an 2
2、10. 已知数列an满足a12，且an15n1 2(an 5n) ( n N ) ，求数列an的通项公11. 已知数列an 满足a12，且an1 5 2n 1 23(an52n2) ( n N ) ，求数列an 的通项公式；112. 数列已知数列an 满足 a1,an4an 1 1(n 1). 则数列 an 的通项公式=2) 累加法1、累加法适用于：an 1 af(n)若 an 1 an f (n) (n 2) ，则a2 a1a3 a2Lf(1)f(2)an 1anf (n)两边分别相加得an 1 a1f(n)例： 1. 已知数列an满足a11 , an 1 an21，求数列an的通项公式。n
3、2 n n 4n2 1n2. 已知数列 an 满足an 1 an 2n 1， a1 1 ，求数列an 的通项公式。3. 已知数列an满足an 1 an 2 3n 1， a1 3，求数列an的通项公式。4. 设数列 an满足a12， an 1 an 3 22n 1 ，求数列an的通项公式3)累乘法适用于：an 1 f (n)an若an 1anf (n) ，则 2f (1)， 3a1a2f(2)，LL， aann1f(n)n两边分别相乘得，an 4、比较系数求5、解得数列an 1 f (n) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例： 1. 已知数列an 中，a1 1,an 2an a1f (k)
4、a1k 1例： 1. 已知数列an满足an 12(n1)5n an， a1 3，求数列an的通项公式。2. 已知数列an满足 a123an 1nan ，求an。n13. 已知a13，3n 1an 1an3n 2(n1)，求 an。4)待定系数法适用于 an 1qanf(n)解题基本步骤：1、确定 f (n)2、设等比数列an1 f (n) ，公比为3、列出关系式an 11 f(n 1)2an1 f (n)1 1(n 2) ，求数列an 的通项公式。2. ( 2006，重庆, 文 ,14)在数列ana1 1,an 12an 3(n 1)，则该数列的通项an9. 已知数列an 满足an 2 5an
5、 1 6an,a11,a2 2 ，求数列an 的通项公式。3.（ 2006. 福建 . 理 22. 本小题满分14分） 已知数列an 满足a1 1,an 1 2an 1（n N*）.求数列an 的通项公式；4. 已知数列an满足an 12an 3 5n， a1 6，求数列an 的通项公式。解：设 an 1 x 5n 12(annx 5)5. 已知数列an满足an 13an 5 2n 4， a1 1 ，求数列an 的通项公式。解：设an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)6. 已知数列an 中， a1511n1, a n 1an( ) ，求a n6327. 已知数列an 满足an21
6、 2an 3n 4n 5， a1 1 ，求数列 an的通项公式。解：设an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)8. 已知数列an 满足an递推公式为an 2 pan 1 qanp， q 均为常数）。先把原递推公式转化为an 2san 1 t(an 1san )其中s，t 满足 s t pst q10 . 已知数列an 满足a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N ).( I )证明：数列an 1 an 是等比数列；( II )求数列an 的通项公式；2111 .已知数列an 中，a1 1,a2 2,an2 3an1 3an，求an( 5)递推公式中
7、既有SnSn 1分析： 把已知关系通过an1,转化为数列a 或 Sn的递推关系，然后采用相nSn Sn 1, n 2n n应的方法求解。11 . ( 2005北京卷)数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an11Sn，n=1，2，3，n 3n求 a2， a3， a4的值及数列 an的通项公式2 .(2005山东卷)已知数列an的首项 a1 5,前 n 项和为Sn，且Sn1Snn 5(n N*)，证明数列an 1 是等比数列13已知数列an 中， a1 3， 前 n 和 Sn (n 1)(an 1) 12求证：数列an 是等差数列求数列an 的通项公式14. 已知数列an 的各项均为正数，且前
8、n 项和Sn满足Sn 1 (an 1)(an 2)， 且 a2,a4,a9成nnn6nn等比数列，求数列an的通项公式。6)根据条件找n 1 与 n 项关系151例 1. 已知数列an 中，a1 1,an 1 C 1 ，若 C 5 ,bn 1 ，求数列bn 的通项an2 an 2公式a 1 a (1 1 )a n 1ana1, an 1 ()ann中，n 2ban( I )设 n n ，求数列 bn 的通项公式( 7)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例： 1. 已知数列an满足an 12an ,a1 1 ，求数列an的通项公式。an 2( 8) 对无穷递推数列消项得到第n
9、1 与 n 项的关系例： 1. ( 2004年全国 I 第 15题，原题是填空题)已知数列an满足a1 1，ana12a2 3a3L(n1)an 1(n2)，求 an的通项公式。2. 设数列an满足a13a232 a33n 1ann ， a N* 求数列an的通项；nn3n( 8) 、迭代法例： 1. 已知数列an满足an1a3n(n1)2n，a15，求数列an的通项公式。解：因为an 1an3(n 1)2n ，所以n(n 1)又 a1 5 ，所以数列 an 的通项公式为an 53n 1 n! 2 2 。9) 、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例： 已知数列an满足an1 23
10、na5n，a17，求数列an的通项公式。解：因为an123nan5，a17 ，所以 an0，an10 。两边取常用对数得lg an 1 5lg an n lg3 lg 22、换元法适用于含根式的递推关系1例： 已知数列an满足an1(14an124an)，a11 ，求数列an的通项公式。nn 16nnn解：令 bn1 24an ，则 an1 (bn2 1)nnn 24 n27. 等比数列an 的各项均为正数，且2a1 3a2 1 ， a32 9a2a6，求数列an的通项公式8. 已知数列an满足a1 2,an 3an 1（n 1） ，求数列an的通项公式；29. 已知数列an满足a1 2， a2 4且 an 2 an an 1 （ n N ） ， 求数列 an 的通项公2an 4 3n 1， a1 1 ，求数列an 的通项公式。