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1、平面向量基本知识点及解题方法基本知识点: 一.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向r r r向量的表示：几何AB ；字母a ；坐标a = x i y j = ( x ,r(3)向量的长度：即向量的大小，记作I a ) .零向量a=0 a = o.rr(5)向量a为单位向量| a与非零向量a同向的单位向量rr与a反向的单位向量为a0I =1.r r a rao百，叫做a的单位向量ra 一 r r 而a。都与a共线.XiX2yiV2(6)相等的向量：大小相等，方向相同(xi,yi)= (x2,y2)rrrrr rr(6)相反向量：大小相等，方向相反 abbaa b0r(7)平行向量(共线向量
2、)：记作a / b .平行向量也称为共线向量二.向量的运算运算几何方法坐标方法运算性质向量1.平行四边形法则r r a br r r r abbar r r r r r的加法2.三角形法则(为 X2,yi y?)(a b) c a (b c)AB BC AC三角形法则r r a b(Xi X2,yiy2)减法r 一 一a是一个向量,r r r r a b a ( b)uuiruurAB BA,OB OA ABr满足：| a|0时,0时,=0时,1.ra2. rr br ar br arI l|a|r r由a同向r. r一oW a异向r ra 0.是一个数 r r r 或b 0时0.r r(fi
3、 br ra b |a|b|cos(a,b)r(a)(ra ( x, y)rb X1X2 NN?向量的运算分坐标运算和线性运算(r(ar ra/ br )ar b)r )ar ar r a br r(a) br r b ar ra ( b)r r(a b)r(a2 ar|ar b)r|a|rb| |a|b|给坐标就以坐标运算为主； 没给坐标就考虑向量的分解， 分解的基底以已知夹角和已知长度的向量为主;向量分解：三角形的中线；起点相同终点共线的三个向量的关系;平面几何题型概述一、向量的有关概念uuu uuir1给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若 AB DC,则ABCM平rrrr
4、 r r r r r r r r行四边形；若 a/b,b/c,则a c;若a/b,b/c,则a/c。其中正确命题的个数是二、向量的线性运算1.如图，正六边形 ABCDE冲,A. 0JJJJB. BEuuu uuir uuu BA CD EF = uuir C. ADuuuD. CF2.在正三角形ABC中，D是BC上的点,AB3,BDuur 则ABHJLTAD2,3. VABC中，点D在AB上，CD平分uuruirACB .若 CB a , CA b , a 1, buuu 则CD/人、12(A a b3321(B) -a -b33(043(D a -b55三、向量的模问题=at(2) I a-
5、&|! (6)2 b+V j若口=(工,),则a|=+立【答案】历C) ,则1a b c|的最大J2(D) 2【答案】BAD 2，BC 1, P是腰DC上的51 .已知单位向量e1 , e2的夹角为60。，则261 e2 2 .若a, b, c均为单位向量，且a b 0, (a c) (b值为(A) V2 1(B) 1(C)3 .已知直角梯形 ABCD中，AD/ BC, ADC 90 uuu uuut - PA 3PB 一一动点，则的最小值为.【答案】四、平面向量夹角问题：.”. I. I p I 1*11、当Q,是非坐标形式时，求久与”的夹角。需求得a 力及口 .八 或得出它们的关系。2、若
6、已知“与的坐标，直接利用公式 3 , v- 丁1： 注：平面向量U的夹角共匚。511.已知三点A(2,3)，口1, 1) , Q6 , k),其中k为常数.若|AB=| XC,则XB与AC的 夹角的余弦值为()24A -252.已知| a|值范围是(A. 0,2424B . 0 或 25C. 25r 24D. 0或一主25= 2|b|w0,且关于x的方程x2+|a|x+a b=0有实根，则a与b的夹角的取3.若平面向量a1汽B3,b满足|a|=1汽百，支面积为2 ,则a与b的夹角r的取值范围是rb为邻边的平行四边形的居6 6五、向量的射影：a在b上的正射影(1)利用射影定义:r rcos(a,
7、b(2)利用数量积运算:(3)利用图形：(a3)为锐角时等于b为钝角时为 OA例.已知向量a、b满足|a|=1, |b|=2, |2a+b|=2,则向量b在向量a方向上的射影是()1A. - 2B.-11c.2D.1六、重要定理、公式(1)直线l的向量参数方程：A、P、B三点共线则 OP (1 t)OAtOBuuuuuuir(2)若A、M、B三点共线，AM ： MB(3)ft A ABC中，M为BC中点ft A ABC中,AD为/A平分线,m： nuuuuAM(5)平面向量基本定理；如果 e1,向量,uuurADuuuAB 2r AB则一ACn uur mAB - m n m1 uur -AC
8、 2BDCDuuur-AC ne 2是同一平面内的两个不共线那么对于该平面内任一向量a ,有且只有一对实数入1,入2,满足a =入 1e1+ A2 e2例1.如图：在平行四边形 ABCM, M, N分别为DQ BC的中点，uuuu r uuur irr uruuu uur已知AM c,AN d,试用c,d表示AB,AD。(6)向量的坐标：根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对r rr r(入 1,心)一一对应，当取i , j为单位正交基底(其中i ,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量)时定义(入1,入2)为向量a的平 r r面直角坐标。向量的坐标形式是其分解形式x i y j的简记
9、.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x, y),则OA= (x,y);当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A (xi,yi), B (x2,y2),则 AB =(x 2-x i ,y2-y i)(7)两个向量平行的充要条件a/b,b?o a = Xb ,a/bxiy2-x2yi=0|a|当a与b同向时，入0 ;当a与b异向时，入0。|语，入的大 |b|小由a及b的大小确定。因此，当a , b确定时，入的符号与大小就确定了。例.已知向量 a= (，3 , i), b= (0, -i ), c= (k,由)。若 a-2b 与 c
10、共线，则 k=i。(8)两个向量垂直的充要条件a X b a , b =0 ,a X bxix2+y iy2=02例.已知ei,e2是夹角为3的两个单位向量，a ei 2e2,b kei e2,若ab 0,则k的值为 .【答案】4七、平面向量的应用1 .已知。是4ABC所在平面内一点， 且满足(OB OC ) ( OB + OC 2OA) =0,判断 ABC 形状uuv uuvuuiv v2 .已知P为AABC内一点，满足PA 2PB 3PC 0,则AABP, A BCP和A ACP的面积之比为3 .平面上O,A,B三点不共线，设 OA=a ,OB b,则 OAB的面积等于1 11111I 551I O992 22222222222A.,|af|b| (a*) B .|a| |b| (agb C2、|a|b| (ago) D 2 |a| |b| (a*)【答案】C