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1、最新圆锥曲线方程知识点总结?8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程. PF，PF,2a,FF方程为椭圆,12121. 椭圆方程的第一定义: PF，PF,2a,FF无轨迹,1212PF，PF,2a,FF以F,F为端点的线段12121222yx?椭圆的标准方程:i. 中心在原点，焦点在x轴上:. ，,1(a,b,0)22ab22yx ii. 中心在原点，焦点在轴上:. y，,1(a,b,0)22ab22?一般方程:. Ax，By,1(A,0,B,0)22,x,acos,y,x0，,1,?椭圆的标准方程:的参数方程为(一象限应是属于).,22ybsin,2ab,?顶点:或. (,a,0)(0,b)(0
2、,a)(,b,0)?轴:对称轴:x轴，轴;长轴长，短轴长. 2ay2b?焦点:或. (,c,0)(c,0)(0,c)(0,c)22?焦距:. FF,2c,c,a,b1222aa,xy?准线:或. ccc?离心率:. e,(0,e,1)a?焦点半径: 22yx，,1(a,b,0)F,Fi. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则 P(x,y)PF,a，ex,PF,a,ex,1200102022ab22yx，,1(a,b,0)F,Fii.设P(x,y)为椭圆上的一点，为上、下焦点，则 PF,a，ey,PF,a,ey,1200102022ba22aa由椭圆第二定义可知:归结起来为“左加右减”.pF,e(
3、x，),a，ex(x,0),pF,e(,x),ex,a(x,0)10002000ccN(acos,bsin,),注意:椭圆参数方程的推导:得方程的轨迹为椭圆. 222bb2bd,c(,)?通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:和 (,)c2aaa22yxc22，,1(a,b,0)?共离心率的椭圆系的方程:椭圆的离心率是，方程e,(c,a,b)22aab22yxc，,t(ta,b,0)是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.e,22aab22y,x2，,1btanF,F，FPF,PFF?若P是椭圆:上的点.为焦点，若，则的面积为(用121212222ab,2cot
4、b,PF，PF,2a余弦定理与可得). 若是双曲线，则面积为. 122? ybcos,bsin),(,二、双曲线方程. acos,asin),(,PF,PF,2a,FF方程为双曲线1212Nx1. 双曲线的第一定义: PF,PF,2a,FF无轨迹1212PF,PF,2a,FF以F,F的一个端点的一条射线1212122222yyxx?双曲线标准方程:,1(a,b,0),1(a,b,0). 2222N的轨迹是椭圆abab22一般方程:. Ax，Cy,1(AC,0)?i. 焦点在x轴上: 222yxayx,0顶点:焦点: 准线方程, 渐近线方程:或x(a,0),(,a,0)(c,0),(,c,0),
5、022cababii. 焦点在轴上: y222yaxyx,0,顶点:.焦点:. 准线方程:y.渐近线方程:或，(0,a),(0,a)(0,c),(0,c),022cabab,x,asecx,btan,或 . 参数方程:,ybtan,yasec,?轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. x,yc?离心率. e,a22ab22?准线距(两准线的距离);通径. cac222?参数关系. c,a，b,e,a22yx,1?焦点半径公式:对于双曲线方程22ab F,F(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 12“长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲
6、线不带符号),MF,ex，aMF,ex,a1010 构成满足 MF,MF,2a12?,yMF,ex,aMF,ex，aMF,ey,ay202010F1MMMF,ey，a20Mxx,F2F1,MF,ey，a 01MF2,MF,ey,a02222y,xe,2x,y,a?等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.?共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲222222yxyyxx线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:.,0,222222ababab2222yxyx?共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为,(,0),022
7、22abab22yxyx?时，它的双曲线方程可设为. ,(,0),0y22abab34112例如:若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程, y,xp(3,)221222x1xyx235解:令双曲线的方程为:，代入(3,)得. ,1,y,(,0)F1F28224?直线与双曲线的位置关系: 3区域?:无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域?:即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条; 区域?:2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域?:即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域?:即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小
8、结:1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求“,”交和两根之和与两根之积同号. 22yx,1?若P在双曲线，则常用结论 22ab1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. PF1dme1,2:P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m:n. 简证:= .dPFn22e三、抛物线方程. 3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质: p,02222 y,2pxx,2pyy,2pxx,2py ?y图形 y?yyxxxxOOOO焦点 ppppF(,0)F(,0)
9、F(0,)F(0,) 2222准线 ppppx,y,y,x, 2222x,0,y,Rx,0,y,Rx,R,y,0x,R,y,0 范围 轴 y对称轴 轴 x顶点 (0，0) 离心率 e,1焦点 ppppPF,，yPF,，yPF,，xPF,，x 1111222224ac,bb2(),注:?顶点. ay，by，c,x42aa22PP?则焦点半径;则焦点半径为.y,2px(p,0)x,2py(p,0)PF,x，PF,y，22?通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 2x,2pt,x,2pt22t?y,2px(或x,2py)的参数方程为(或)(为参数).,2y2pty,2pt,四、圆锥曲线的统一定义.
10、 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.el当时，轨迹为椭圆;当时，轨迹为抛物线;当时，轨迹为双曲线;当时，轨迹0,e,1e,1e,1e,04.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即cc,0,a,b为圆(，当时). e,a(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对84.164.22有趣的图形1 整理复习2称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.注:椭圆、
11、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 经过同一直线上的三点不能作圆.1(到两定点F,F的距离之和为定,F的距离之差的1(到两定点F 1212点在圆内 d|F绝对值为定值2a(02a|FF|)的点的轨迹 F|)的 1212定义 点的轨迹 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有2(与定点和直线的距离之比为定2(与定点和直线的距离之比为与定点和直线的距离|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；值e的点的轨迹.(0e1) 相等的点的轨迹. 标准 2222xyxy2a,b，,1,1方 方程 (0) (a0,b0) y
12、=2px 2222abab 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。参数 ,x,acosx,asec,2,x,2pt,(t为参数)y,bsiny,btan程 方程 ,y,2pt,(参数,为离心角)(参数,为离心角) 范围 ?a,x,a，?b,y,b |x| , a，y,R x,0 中心 原点O(0，0) 原点O(0，0) 顶点 (a,0),(?a,0),(0,b) , (0,?b) (a,0),(?a,0) (0,0) 对称轴 x轴，y轴;长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x轴 p焦点 F(c,0), F
13、(?c,0) F(c,0), F(?c,0) 1212F(,0) 2焦距 2222a,ba，b2c(c=) 2c(c=) cc离心率 e=1 e,(0,e,1)e,(e,1) aa本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!p准线 22x, aa,2x= x= ccb渐近线 y=?x apr,a,ex焦半径 r,(ex,a) r,x，2通径 2222bb 2p aa(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.焦参数 22aa P cc221. 方程y=ax与x=ay的焦点坐标及准线方程.