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1、指数、对数方程练习与解析【知识要点】1 .指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。2 .解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。3 .指数方程的基本类型：(1) axc(a 0,a0,c0),其解为 x logac；af(x)ag(x)(a0,a1),转化为代数方程 f(x) g(x)求解；(3) af(x)bg(x)(a0,a1,b 0,b 1),转化为代数方程 f(x)lga g(x)lg b求解；xx(4) F(a )0(a0,a0),用换元法先求方程F(y) 0的解，再解指数方程a y。4.对数方程的基本类型：(
2、1) log a xb(a0,aD,其解为 x ab ；f(x) g(x) logaf(x) logag(x)(a 0,a 1),转化为 f(x) 0 求解；g(x) 0(3) F (log a x) 0(a 0,a 0),用换元法先求方程F(y) 0的解，再解对数方程 loga x y。典型例题例1 解下列方程:(1)9x+6x=22x+1；(2)log 4(3-x)+log 1 (3+x)=log 4(1-x)+log 1 (2x+1);44(3)log 2(9x-1-5)-log 2(31-2)=2.【解前点津】(1)可化为关于(2) x的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；3
3、(3)转化为关于3x-1的一元二次方程.【规范解答】(1)由原方程得：32x+3x2x=2- 22x,两边同除以22x得：()2x+( - )x-2=0.22因式分解得：(3) x-1 .21 (3)x+20, 2(3)x+2=0.2 (3)x-1=0,2x=0.(2)由原方程得：log 4(3-x)-log 4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x) (2x+1)=(1-x) (3+x)解之:x=0或7,经检验知：x=0为原方程解.(3)log2(9x-1-5)=log24 (3x-1-2)9x-1-5=4 (3x-1)-8 因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)
4、=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.经检验x=2是原方程解.【解后归纳】指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则【例2】 解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6 a-3)=0.【解前点津】【规范解答】利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”化原方程为:2x2ax01a-6a3 0222”x2ax6a 3 (xa) a6a 3, - M+6a-3 +6 x1 -30, 2故由(x-a2)=a2+6a-3 得：x-a= Ya2 6a 3 即 x=a士 ,a2 6a 3【
5、解后归纳】1(a2).含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围【例3】 解关于x的方程：a2 4x+(2a-1) 2x+1=0.【解前点津】令t=2x,则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0,决定了方程的“次数”.【规范解答】当a=0时，2x=1, x=0；当 aw0 时，A =(2a-1)2-4a2=1-4a；若A 0 则 aw 1 (a0).41且关于t的一兀一次万程 a2 t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根， 而两根之积为 二0,故两a根之和为正数，即 a。 a0, aw 1)有解，则b的取值范围是 ()A. -1 , 1B.(-1,1) C (-8, -1) U1
6、 , +oo) D. (- oo, -1)U (1 , +oo)9 .关于 x 的方程|x-2|=log ax(a1)的解的个数是 ()A.0B.1C.2D.3二、思维激活10 .若关于 x 的方程：2x2+(310g 2m-1) x-3=0 和 6x2+(210g 2n-3) x-2=0 有公共根， 则使log 2m为整数的m值为.11 .方程 510g34x=1210g35 的解集是.12 .关于x的方程5x=lg( a+3)有负根，a C Z,则a的值所成之集为三、能力提高13 .解方程：9x-4 3x+3=0.14 .已知关于x的方程：210g 2 x-7 log ax+3=0有一个根
7、是2,求a值及另一个根.15 .解关于 x 的方程：lg( ax-1)-lg( x-1)=1.16 .当a为何值时，关于x的方程：2lgx-lg( x-1)=lg a有一解？有两解？无解？1.D 2,C 3.A 4.B 5.B 6.C 8.B 9.C.10.从方程组中消去x2得公共根为：x=logm2,令u=log2m代入第一个原方程得212+(3u-1) -3=0u=2 log2m=2,m=4.uu11.两边取又数：log3(4x) log 35=log 35 - log3124x=12,x=3 即解集为3.12；x0, . 5xC (0, 1)即 0lg(a+3)1 lg1lg( a+3)lg101a+310-3a0,故由根与系数关系得:log a 2 loga mlog a 2?loga m72327log a2 (- -log a2)=a=4 或 3： 2 .215.x 1 0x 1ax 1 0ax 1 10x 10ax 1 10(x 1)x 1(10 a)x 9由x 19 x 10 a910 a(1a1,a0)作函数 y=x2(x1)及 y=a(x-1)(x1 ,a0)的草图，由A =0得a=4.当0a4时，原方程有不同的两解：x=a4a2