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1、五法水二面才一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在极上 取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图，四棱锥S A8C。中，底而A8CD为矩形，5。_1底面48。，AD = y/2OC = SO = 2,点y在侧棱SC上，ZABM =60(I)证明：M在侧棱SC的中点(II)求二面角S AM-3的大小。练习1如图，已知四棱锥氏必笫，底面板P为菱形，&_L平面板。ZABC = 60,S F分别是EC尸。的中点.(I )证明:76AEPDt ( II )若H为心上的动点，与平
2、面 9所成最大角的正切值为k，求二面角一游一。的余弦值.2二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.通常当点尸在一个 半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。AB P-ABCD ABCD例2 . 如图，在直四楂柱ABCD-A B C D 中，底而ABCD为AB = 3,4。= 2, PA = 2,PD = 2、历,ZPAB = 60 AD PABPC AD P-BD-A ( I )证明：平面座工平面尸/监 PA=AB=a,求二Ik面角B-PC-D的大小。/二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定
3、理作出二面角的平面角；例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形,PA_L平面ABCD, PA=AB=a, ZABC=30 ,求二面角P-BCT的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知, 二面角的平面角所在的平面与棱垂直；P例3在四棱维P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD, PA=AB=a,求B-PC-D的大小/四、射影法：利用面积射影公式S”=S .cos8,其中6为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例4在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形,PA_L平面ABCD, PA=AB=a.求
4、平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。五:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现梭，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）例5、在四极锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA_L平面ABCD, PA=AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）D1二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律.如例1中从二面角sAMB中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作 垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作梭AM的垂线（如GF）,这两条垂线（BF. GF）便形成该二面角的一个 平面角，再在该平面角内建立一个可解三
5、角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.例1 （2009全国卷I理）证（D略 解（H）：利用二面角的定义。在等边三角形力3M中过点8作3月，.40交AM于点F ,则点F为AM的中点，过F点在平面ASM内作G77 AM GF交AS于G,连结AC, V ADC也ADS,工AS-AC,且M是SC的中点，AM_LSC, GF_LAM, GFAS,又；尸为AM的中点，GF是AMS的中位线，点G是AS的中点。则NGF3即为所求二面角. SM = 41 ,则 GF =,又: SA = AC =AM = 2,2v AM = AB=29 AABM = 60a BF = 6,在aGAB中，AG = E
6、，A8 = 2，ZGAB = 90, /. BG = | + 4 =/A” GF2 + FB? - BG? 2-2跖，二面角 S-AM-8的大小为arccos（- ）2GF FBJ6 3Z xx V 32练习1 （2008山东）分析：第1题容易发现，可通过证AELAD后推出AE_L平而APD.使命题获证，而第2题，则首先必须在找 到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的梭AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为山）5二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC1-C中
7、半平面BFC 上的一已知点B作另一半平面FGC的垂线，得垂足0；再过该垂足。作梭FG的垂线，得垂足P,连结 起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线B0、射影0P）,再解直角三 角形求二面角的度数。例2.（2009山东卷理）证（1）略解（2）因为AB=1, BC=CD=2,、F是枝AB 的中点,所以BF=BC=CF, ABCF为正三角形，取CF的中点0,则0B1CF,又因为直 四棱柱ABCD-Ai B C D中,CC平面ABCD,所以CC】_LBO,所以OB_L平面CCF, 过0在平面CCF内作0P_LCF,垂足为P,连接BP,则N0PB为二面角B-FCrC的I一个
8、平面角，在4BCF为正三角形中，。8 = 在RtZkCGF中，0PFs2Xcc：F, 丁 P _ OF ：.8_1 也a； gf 7丁 2在 RtAOPF 中，BP = Jop! +OB：=1 714叵广身二丁”叫发言邛，所以二面角B-FCC的余弦值为当练习2 （2008天津）分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD_L平面PAB后，容易发现平面PABL平面 ABCD,点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作梭BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得木解法。（答案：二面角P 3OA的大小为arctan） 4三.
9、补棱法例S （2008湖南）分析：木题的平而总和平面座没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长6E相交干点尸，连结摩）再在完整图形中的承上找一个适合的点形成二面角的平而角解之。（I）证略解：（II）延长月。、属相交于点凡 连结承过点作A/LLP5于从 由（I ）知，平面咏一平而鹿所以加1平面网: 在 RtZkAfiF中，因为N鹿460 ,所以，A2AB=2=AP.在等腰中，取用的中点G,连接月G.则AGPF.连结 的由三垂线定理的逆定理得，PFYHG,所以NAGj是平面&P和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 Rt &F中，4G*PA = yJl.在 Rt PAB 中，AP.A8
10、_ AA.A8 _2_ 275PB AP2+AB2 /52小Aa 5V1U所以，在Rt必修中，sinZAGH = T=故平面a山和平面座AGy/25所成二面角（锐角）的大小是arcsin5练习3提示：本题需要补桂，可过A点作CB的平行线L （答案：所成的二面角为45）射影四、射影面积法（COS9 = ）例4.（2008北京理分析：本题要求二面角BAP-C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建 立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法.解：（I ）证略（H）.AC = 8C, AP = BP. ：./APCZBPC.又尸CJ_AC, .PCJL3C
11、,又NAC8 = 90 ,即AC_L8C,且ACDPC = C, .5C_L平面尸AC ,取A尸中点,连结BE, CE.AB = 3P,.3石，AP.tEC是BE在平面PAC内的射影，CE1A尸. ACE是 ABE在平面ACP内的射影，于是可求得： AB = BP = AP = AC2 +CB1 =2yf2 ,BE=AB?-AE?=、后,4后=工。=、则5射=SCE =-AECE =2S.c = Saw = -AEEB = -/l C（l,l,0 0（020） 石（0,1,11 F（OA1 MfltLl j尸 工一 _2 2）/一木 解:BF =（T,0,“ DE = （0.-14广入国行丘芭
12、即反_ （）+0+1 _1所以异面直线BF与 /：2*DE|-|- -/& - 2人DE所成的角的大小为60.8 C Q）证明：由血=仁；卜CE = （-l,0,l AD =（0,2,0 可彳疵启 =0，出Al5 = 0,因此，CE AM, CE _L AD,又AMDAD = A,故CE J.平面AMD.而CE u平面CDE,所以平ihiAMD 平而CDE 】）解：设平面CDE的法向量为,=（x, y, z）,则上=于是卜.；令工=1,可加=（山）.k= PB = PD , AB = AD = aPB = PDBC = DC1=&PBD = APDUPC = PC过B作BHLPC于H,连结DH
13、=DHPC 故NBHD 为二面角 B-PC-D 的平面角 W PB= JS a, BC=a, PC=a, -PB BC=SAPBC= PC BH22则BH=W=DH又BD=J?4,在BHD中由余弦定理，得:cosNBHD= ,2BH.BD2乃24X0ZBHD过 BD 作平面 BDHXPC 于 H=PCDHs BH=ZBHD 为二面角 B-PC-D2BH.BD得:cosNBHD= BH2 + DlP - BD?又 OVNBHDVtt的平面角，因 PB=/2 a, BC=a, PC=则 BH=DH. 3又BD= fla在BHD中由余弦定理,2乃ZBHD=34解（面积法）如图ADLABPAfAB = A27t 二而角B-PC-D的大小是o3AD1PA = AD 1 P84于A ,同时，BC J_平面BPA于B ,故APBA是4PCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成一面角大小为。，则cos。= *8八=0 =45 q?。少CD乙5解（补形化为定义法）如图将四极锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN,则PQ_LPA、PD,于是NAPD是两面所成二面角的平面角。在RtZiPAD中，PA=AD,则NAPD=150 平面BAP与平面PDC所成二而角的大小为45