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1、全等三角形专题课一一截长补短教学目标1 .知识技能：使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。2 .数学思考：通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验。感受数学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。通过对线段的和差问题的探究，体会辅助线在数学中的作用。3 .解决问题：学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。4 .情感态度使学生经历探索线段的和差问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学 生与他人合作交流的意识和能力。教学过程:一.问题创设：（3分钟）如图，/XABC, AD 是/CAB勺平分
2、线，且 / C=2Z B,求证：AB=AC+CD（学生思考：如何解决关于线段和差问题）问题一：如何证明此题（学生提出截长补短）问题二：你这样做辅助线的理由是什么（可以得到全等，证明截下的线段等于CD总结:.课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学习截长补短法3cm5cmCD EF问题一：已知三条线段 AB CD EF的长度分别为8cm,5cm,3cni你能用CD和 EF 表示 AB吗（AB=CD+EF问题二：如果图中线段长度分别变为a、b、c,并且a=b+c,你能采用适当的工4具证a AB=CD+EF方法一：用圆规在AB上截取b,再用圆规测量余下的部分(a-b),与c
3、相比较, 得到a-b=c ,即证明。方法二：在CD(EF)补一部分EF (CD得到b+c,再用圆规和a进行比较得到 a=b+c。像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段问 的关系，这种方法称为“截长补短”。三、例题讲解 回头来看刚在的例题: 例1:如图，ZXABC中，AD是/CAB的平分线，且/ C=2/B,求证：AB=AOCD法一：截长法证明：在AB上截取AEE,使得AE=AC连接DE. A叶分 / BAC/ 1 = /2,.JAE =AB1/1=/2AD= AD .AED AACD （SAS ./ 3=/CCD=DE （全等三角形的性质）又 ; ZC=2Z B/
4、 3=2/ B又:/ 3=/4+/ B （外角定理） ./4=/B . EB=DE=C D等角对等边）vAB=AE+EBAE=AC, EB=CD . AB=AC+C D等量代换）注：1 .讲解时强调辅助线的做法和书写方式2 .体现数学思想：截长补短是为 了证明线段与线段间的关系，截 长补短后构造全等三角形，利用 三角形的全等性将线段进行转学生小组交流讨论补短法法二：补短法证明：延长AC至点E,使AE= AB,连接DE. A叶分 / BAC丁. / EAD= / CAD,.fAE =ABL / EAD= / CADAD =AD .AED AACD （SASE补：这里补短还可以叙述为：延长 AC至
5、点E,使得CE=CD然后证明 AEN ACD. E= /C又. / AC氏 2/C /AC氏 2/E. /AC氏 / E+/ CDE / E=/ CDE.CE=CD等角对等边）vAE= AC+CEAB= AC+CDAE=AB, EC=CD另一种的补短法通过证明两次等腰注：补短时注意是否合理简单,一般补短应在有角平分线的角四.变式训练：如图：已知正方形 ABCDK / BAC勺平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC（1、3、5、7列的同学用截长法，2、4、6、8列同学用补短法，时间3分钟, 同桌之间相互交流不同的方法，在黑板上两个学生展示板书） 五.学以致用 请对下面的题进行分析，要求只做出辅
6、助线，并简要说明解题思路。1.如图，四边形 ABCm，AB/ DC BE、CE分别平分/ ABC / BCD且点E在AD上。求证：BC=AB+DC（截长补短皆可）辅助线:解题简要步骤:DABAC AD是/ BAC的平分线，P为AD上的一点，求证:辅助线：解题简要步骤:3.如图，已知正方形ABCM, AF为/EAD的角平分线，求证：EF=BE+DF辅助线：解题简要步骤:4.选做，思考题如图，在 ABC中,BAC 60 , AD是BAC的平分线,且 AC AB BD ,求ABC的度数.总结：1. 什么样的题型适合截长补短（题的共同特征）有角平分线，并且都求的是线段与线段的关系； （说明：并不是所有有角平分线、 线段关系就用截长补短， 并且有的题只能用截长或补短一种）2. 数学思想方法：通过截长补短，构造全等三角形，利用全等性对所求线段进行转化。作业：将以上题目过程完整写出。