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1、高等数学教案1第十一章无穷级数编写人:吴炯圻I.授课题目： 第一节常数项级数的概念和性质R.教学目的与要求1、了解常数项级数的概念及其产生的背景；2、掌握收敛级数的基本性质；3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性;4、了解柯西审敛原理。m.教学重点与难点：重点：级数收敛与发散的定义；收敛级数的基本性质。难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。关键：1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理；2.熟悉数列的收敛与发散的判别.IV.讲授内容：第一节常数项级数的概念和性质图1-1一、常数项级数的概念及其产生的背景1 .古代人如何求圆的面积 ？我国古代数学家刘徽已经利用无穷
2、级数的思想来计 算圆的面积.在半彳为i的圆内作内接正六边形，其面积记为ai,它是圆面积 A的一个近似值.再以这正六边形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形（图1-1），算出这六个等腰三角形的面积之 和a2 .那么a1 +a2（即内接正十二边形的面积）也是A的一个近似值，其近似程度比正六边形的好.同样地，在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和a3 .那么ai十a2十a3 （即内接正二十四边形的面积）是A的一个更好的近似值.如此继续进行n次，当n是较大的整数时，得到的正多边形的面积 sn =a1 +a2 +an就很接近 A的值了
3、.2 .常数项级数的概念古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数 n上。随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n无限增大时，则Sn =ai +a2十十an的极限就是圆的面积 A,即A = lim sn = lim（a1 a2an）.（i.i）n ）二二n_.这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。一般地，给定一个数列Ui，U2，U3,，Un，,则由这数列构成的表达式UiU2 U3 Un（1.2）oC叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 un ,即 n工00Un =3 U2 U3 Un n
4、 1其中第n项Un叫做级数的一般项或通项.上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和Sn的极限来定义无穷多个数量相加的 和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？这个思路是对的。为此，我们把级数（1.2）的前n项之和Sn = U1+U2 + +Un称为级数（1.1）的部分和，n依次取1,2,111时得数列S1, U2，Un 称为级数的部分和数列.在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（ 为什么？），并由此求得面积，即求得无穷 多个量之和a1 +a2 +111 +a+=A。但是，能否由此推断，所有级数的部
5、分和数列收敛都收敛？（提问，允许各种猜测.）事实上，正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如：- nJ-(7).n壬其部分和数列是：1, 0, 1, 0,.，它显然不收敛。1+(-1)+ 1+( -1)+ 1+( -1)+ 1+( -1)+总之，部分和数列Sn可能收敛，也可能发散，我们可据此定义级数收敛或发散qQqQ定义 如果级数 Un的部分和数列有极限S,即lim Sn =S,则称级数匚Un收 n4nr：nJ敛，这时极限S叫做这个级数的和，并写成S= U1+U2 + 1 + Un +；00如果Sn没有极限,则称级数Z Un发散.n 4对于收敛级数，其部分和Sn可作为级数的和S的
6、近似值，它们之间的差O0rn =S - Sn =Un 1 , Un 2 - Uk k 1叫做级数的余项.|rn |表示Sn代替和S时所产生的误差.显然，对于收敛级数有lim rn = 0.n_j：Q0从上述定义可知，级数与数列极限有着密切的联系.给定级数z Un ,就有相应的部分n 1和数列Sn；反之，给定数列Sn,就有以Sn为部分和数列的级数Si - (S2 - Si) (S3 -S2)(Sn - Sn)：；Un ,n 1其中Ui =SpUn =Sn Sn（n之2）.按定义，QO级数 Un与数列Sn同时收敛或同时发散， n 1且在收敛时，有00=lim sn ,即 un )二二上n 1例1讨
7、论如下公比为q的等比级数（也称几彳S级数）的敛散性oO、aqnn -0: a aq aq2 _ aqn (a 二 0)(1.3)解当|q |#1时，部分和2 . n4a(1 -qn)sn = a aqaq aq =1 -q如果|q|1,则由lim qn = 8 ,得lim sn =m，这时级数（1.2）发散. n n F二当|q| = 1时，如果q=1,部分和sn =a a+a +（1）n,a随n为奇数或偶数而等于a或0,从而lim sn不存在，级数（1.3）发散；如果q = 1 ,部分和sn = a + a + a = na,从而lim sn = ,因此级数(1.3)发散. n一.综上所述，
8、几何级数z aqn ,当| q |ln(1 + x).于是调和级数的发散.可用它判断发散级数，如 工二、工sin2 n. n=1 3n =4，一 二 111例3试证调和级数1 1 =1+1+1部分和Sn1 +n1ln(1 1) ln(1 一)ln(1 -) 23-1、ln(1 ) n3 4 n 1-ln(2)-ln(n 1),2 3 n所以lim snn-j 二二*三、柯西审敛准则在第二小节我们已经看到, 如何判别一个级数的收敛与否，8 ,故调和级数发散.但当nT 8时，却有其一般项UnT 0.级数能参加运算，从而具有一系列性质的前提是收敛 .因此, 是一件重要的问题。以下的柯西审敛准则，给出
9、了级数收敛的充分必要条件QO定理(柯西审敛准则)级数 Un收敛的充分必要条件为：对任意给定的正数以总存 n 1在自然数N,使得当n N时，对任意的自然数p,都有|un+un七+un加| s成立.证明从略.例：判别一个级数 克1 口 +4用i的收敛性。n 土n222 32n2解：因为对任意自然数P,| Un 1 Un 2. U4 | =2 +2 + 2(n 1) (n 2) (n p)N时,对任意自然数p,都有| un 1 u n 2un -p 卜：；成立，因此.按柯西审敛准则.级数手1收敛， nn作业：P193习题11-12(1),(2); 3(1),(2); 4(1)(2)(3)(5). 5(2).