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1、设计初中数学竞赛专项训练-找规律题观察归纳猜想找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是:(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳; (2)猜想符合规律的一般性结论; (3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 (一)标出序列号: 例如，观察下列各式数:0，3，8，15，24，。 我们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数:0，3，8，15，24，。 序列号: 1，2，3， 4， 5，。 2n 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第
2、n项是-1(二)公因式法: 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。 2(2n,1)例如:1，9，25，49，(81)，(121)，的第n项为( )， 1，2，3，4，5(。，从中可以看出n=2时，正好是22-1的平方,n=3时，正好是23-1的平方，以此类推。 (三)增副 A: 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18 3答案与3有关且是n的3次幂，即:n+1 n2B:2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即: (四)有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数
3、与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例:2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24， 序列号:1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，22n,1n,1以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得2n，1到原数列第n项 (五)有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。 例 : 4，16，36，64，,，144，196， ,(第一百个数) 2同除以4后可得新数列:1、4、9、16，很显然
4、是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列2是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为24*100=40000 (一)等差数列 例题:2，5，8，( )。 例题5: 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列 例题1: 2，1，1/2，( )。 A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1 例题2: 2，8，32，128，( )。 (三)平方数列 1、完全平方数列: ，4，9，16，25 正序:1逆序:100，81，64，49，36 2、一个数的平方是第二个数。 1)直接得出:2，4，16，( 256
5、 ) 解析:前一个数的平方等于第二个数，答案为256。 2)一个数的平方加减一个数等于第二个数: 1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。 3、隐含完全平方数列: 1)通过加减一个常数归成完全平方数列:0，3，8，15，24，( 35 ) 前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加减，得到一个平方数列: 例:65，35，17，( 3 )，1 A.15 B.13 C.9 D.3 解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发
6、现:奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。 * (四)立方数列 立方数列与平方数列类似。 例题1: 1，8，27，64，( 125 ) 解析:数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。 例题2:0，7，26，63 ，( 124 ) 解析:前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。 (五)、加法数列 数列中前两个数的和等于后面第三个数:n1+n2=n3 例题1: 1，1，2，3，5，( 8 )。 A8 B7 C9 D10 解析:第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第
7、四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。 例题2: 4，5，( 9 )，14，23，37 A 6 B 7 C 8 D 9 解析:与例一相同答案为D 例题3: 22，35，56，90，( 145 ) 99年考题 A 162 B 156 C 148 D 145 解析:22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D (六)、减法数列 前两个数的差等于后面第三个数:n1-n2=n3 例题1:6，3，3，( 0 )，3，-3 A 0 B 1 C 2 D 3 解析:6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了:“空缺项在中间
8、，从两边找规律”)(七)、乘法数列 1、前两个数的乘积等于第三个数 例题1:1，2，2，4，8，32，( 256 ) 前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。 例题2:2，12，36，80，( ) (2007年考题) A.100 B.125 C.150 D.175 222，31，2 解析:21， 34 ，49，516 自然下一项应该为625,150 选C，此题还可以变形为:，222n，(n，1)3，4，54，.,以此类推，得出 2、两数相乘的积呈现规律:等差，等比，平方等数列。 例题2:3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海关考题) A 1/6 B 2/9 C 4
9、/3 D 4/9 解析:3/22/3=1 2/33/4=1/2 3/41/3=1/4 1/33/8=1/8 3/8?=1/16 答案是 A。 (八)、除法数列 与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式: 1、两数相除等于第三数。 2、两数相除的商呈现规律:顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列 ，3，5，7，11，13，17，19 由质数从小到大的排列:2(十)、循环数列 几个数按一定的次序循环出现的数列。 例:3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4 以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
10、1、二级数列 这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例1:2 6 12 20 30 ( 42 ) A.38 B.42 C.48 D.56 解析:后一个数与前个数的差分别为:4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。 例2:20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51 解析:后一个数与前一个数的差分别为:2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。 例3:2 5 11 20 32 ( 47 ) A.43 B.45 C.47 D
11、.49 解析:后一个数与前一个数的差分别为:3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。 例4:4 5 7 1l 19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41 解析:后一个数与前一个数的差分别为:1，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。 例5:3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43 解析:后一个数与前一个数的差分别为:1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。 例6:32 27 23 20 18 ( 17
12、) A.14 B.15 C.16 D.17 解析:后一个数与前一个数的差分别为:-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。例7:1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 ) A.20 B.25 C.27 D.28 解析:后一个数与前一个数的差分别为:3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要 选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。 例8:1， 3， 7， 15， 31， ( 63 ) A.61 B.62 C.63 D.64 解析:后一个数与前一个数的差分别为:2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要 选的答案与31
13、的差应该是32，所以答案应该是C。 例9:( 69 )，36，19，10，5，2 A.77 B.69 C.54 D.48 解析:前一个数与后一个数的差分别为:3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是 B。 ，2，6，15，31，( 56 ) 例10:1A.53 B.56 C.62 D.87 解析:后一个数与前一个数的差分别为:1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。 例11:1，3，18，216，( 5184 ) A.1023 B.1892 C.243 D.5
14、184 解析:后一个数与前一个数的比值分别为:3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D:216*24=5184。 例12: -2 1 7 16 ( 28 ) 43 A.25 B.28 C.3l D.35 解析:后一个数与前一个数的差值分别为:3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。 例13:1 3 6 10 15 ( ) A.20 B.21 C.30 D.25 222 解析:相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即:1+3=4=2，6+10=16=4，则15+,=36=6呢，答案应该是B。 例14:
15、102，96，108，84，132，( 36 ) ，(228) 解析:后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。 二、设计类 【例1】在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图a所示的图形。 (1)请你利用这个几何图形求的值为 。 (2)请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。三、动态类 【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A，A，A，。123若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7)，从A点到A点的回形线为第2圈，依
16、此类推。则12第10圈的长为 。 【例4】已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P，第2次从点P出发按乙方式运动到点P，第3次从点112P出发再按甲方式运动到点P，第4次从点P出发再按乙方式运动到点P,。依此运动规律，则经过2334第11次运动后，动点P所在位置P的坐标是 。 11解析:【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+
17、3，第四圈的长为4+7+8+8+4，归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10,79。 【例4】(,3，,4) 四、计算类 【例10】观察下列等式:， 则第n个等式可以表示为 。 解析:【例10】 【例11】观察下列各式:，根据前面的规律，得: 。(其中n为正整数) 解析:【例11】 【例12】观察下列等式:观察下列等式:4,1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n(n?1)表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为 。解析:【例12】(n?1，n表示了自然数) 五、 图形类 【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标
18、都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点共有 个。解析:【例13】第一个正方形的整点数为24-4,4，第二个正方形的 正点数有34,4,8，第三个正方形的整点数为44,4,12个，故第10个正方形的整点数为114-4,40，【例14】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。 【例14】第一个图案中以乙中植物有22,4个，第二个图案中以乙中植物有33,9个，第三个图案中以乙中植物有44,16个，故第六个图案中以乙中植物有77,49个. 练 习
19、 一、数字排列规律题 1、观察下列各算式: 222 1+3=4=21+3+5=9=3，1+3+5+7=16=4 按此规律 (1)试猜想:1+3+5+7+2005+2007的值 , (2)推广: 1+3+5+7+9+(2n-1)+(2n+1)的和是多少 , 2、下面数列后两位应该填上什么数字呢, 2 3 5 8 12 17 _ _ 3、请填出下面横线上的数字。 1 1 2 3 5 8 _ 21 4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聪明的你猜猜第100个数是什么, 5、有一串数字 3 6 10 15 21 _ 第6个是什么数, 6、观察下列一组数的排列:1、
20、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第2005个数是( ).A(1 B(2 C(3 D(4 7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 _个( 二、几何图形变化规律题 1、观察下列球的排列规律(其中?是实心球，?是空心球): ? 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个( 2、观察下列图形排列规律(其中?是三角形，?是正方形，?是圆)，?，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是 (填图形名称).三、数、式计算规律题 1、已知下列等式: 32 ? 1,1; 3
21、32 ? 1，2,3; 3332 ? 1，2，3,6; 33332 ? 1，2，3，4,10 ; 由此规律知，第?个等式是 ( 、观察下面的几个算式: 21+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25， 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果: 1+2+3+99+100+99+3+2+1=_. 13、1+2+3+100,经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+，其中,是正整数.，n,nn，12n，n，1现在我们来研究一个类似的问题:12+23+, , 观察下面三个特殊的等式 1 ，1，2,1，2，3,0，1，
22、231 ，2，3,2，3，4,1，2，331 ，3，4,3，4，5,2，3，431将这三个等式的两边相加，可以得到12+23+34, ，3，4，5,203读完这段材料，请你思考后回答: ? 1，2，2，3，？，100，101,即;，1，2，3，2，3，4，？，nn，1n，2,? （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。，1，2，3，2，3，4，？，nn，1n，2,? 4、加强口算练习，逐步提高学生计算的能力。2233445522224、 已知:2，,2，3，,3，4，,4，5，,5，338815152424bb2，若10，,10，符
23、合前面式子的规律，则a，b, aa参考答案: 22一、1、(1)1004(2)(n+1) 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.2、23 30。数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。 （2）经过三点作圆要分两种情况:3、13。这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；4、34 。考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。每个括号的第一个数分别是1，2，3，因此第100个数必然是34。 5、28。3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28, 所以第6个是28。其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。若a0，则当x时，y随x的增大而减小。6、A 7、33 二、 1、602 2、圆 3333321，2，3，4，5,15三、1、 10.圆内接正多边形2、10000 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。1113、 ?343400 或 ? ? ，100，101，102nn，1n，2nn，1n，2n，3343定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。4、109.