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1、数学分析第五章导数和微分,第五章,导数和微分,数学分析第五章导数和微分,1 导数的概念,数学分析第五章导数和微分,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,数学分析第五章导数和微分,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,数学分析第五章导数和微分,二、导数的定义,定义,数学分析第五章导数和微分,其它形式,即,数学分析第五章导数和微分,关于导数的说明：,数学分析第五章导数和微分,注意:,数学分析第五章导数和微分,播放,2.导函数(瞬时变化率)是函数
2、平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,三、由定义求导数,步骤:,例1,解,数学分析第五章导数和微分,例2,解,数学分析第五章导数和微分,例3,解,更一般地,例如,数学分析第五章导数和微分,例4,解,数学分析第五章导数和微分,例5,解,数学分析第五章导数和微分,例6,解,数学分析第五章导数和微分,四、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,数学分析第五章导数和微分,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,数学分析第
3、五章导数和微分,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,数学分析第五章导数和微分,五、可导与连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,数学分析第五章导数和微分,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,数学分析第五章导数和微分,例如,数学分析第五章导数和微分,例如,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,例8,解,数学分析第五章导数和微分,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数
4、的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,数学分析第五章导数和微分,思考题,数学分析第五章导数和微分,思考题解答,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,数学分析第五章导数和微分,练习题答案,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置
5、切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变
6、化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,数学分析第五章导数和微分,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,