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1、本章主要内容 几种傅里叶变换的形式 周期序列的离散傅里叶级数 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换的性质 有限长序列的循环卷积与线性卷积的关系,第三章 离散傅里叶变换(DFT),DFT变换的实质： 有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样 (时域和频域都是离散化的有限点长的序列)DFT变换的意义： 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备的简化。,3.1 几种傅里叶变换的形式,一、连续非周期时间信号的傅里叶变换,是模拟角频率,二、连续周期时间信号的傅里叶变换,的周期为,为傅里叶级数的
2、系数,为相邻两谱线的角频率间隔,周期的连续时间信号可以分解为无穷次谐波叠加而成,三、离散非周期时间信号（序列）的傅里叶变换,四、离散周期时间信号的傅里叶变换,总结,规律,总结出的一般规律：,3.2 周期序列的离散傅里叶级数,一、离散傅里叶级数的获得,非周期序列x(n),FT,等间隔采样,时域的周期延拓,1、怎样得到,x(n)的傅里叶变换：,对x(n)的FT在每个周期内进行N点等间隔点采样：,对x(n)的z变换X(z)在单位圆的N个等间隔点上采样：,结论：频域的离散化造成了时域信号的周期延拓，或频域周期序列在时域上对应的就是周期序列。,2、对 进行处理,=,3、周期序列的几个概念,主值序列：主值
3、区间上的序列x(n),主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的第一个周期。,则x(n)和 之间的关系：,周期序列的方便表示形式：,x(n)N,4、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）表达式,正变换：,反变换：,周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,例：已知周期序列 如图所示，其周期N=10，求其离散傅里叶级数的系数 。 解：,例：已知序列x(n) ，求其傅里叶变换 ，并在频率 处对其进行等间隔采样。解：,结论：周期序列的DFS系数等于其主值序列的FT的采样值,二、频域采样理论,避免时域混叠，条件是什么？,频域采样定理解决,在单位圆上等间隔采样（FT等间隔采样）,在时域中有一序列与其对应，
4、用IDFS分析,结论： X(z)在单位圆上的N点等间隔采样的IDFS得到 ，为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列。,频域采样定理,设x(n)的长度为M，只有当频域采样点数NM时，可由频域采样序列 或其主值序列X(k)不失真地恢复出原信号。,如果NM时， x(n)以N为周期进行周期延拓，会产生混叠，从 中就不能够不失真地恢复出原信号x(n) 。,如果x(n)是无限长序列，时域周期延拓后，必然会造成混叠现象。当n增加时信号的衰减越快，或频域采样点数N越多（采样越密），误差就越小。,例：序列x(n)的长度为M=9，分别以N=7，12为周期对序列x(n)进行周期延拓，并画出延拓后的序列，说明所得结
5、果有何不同。,三、离散傅里叶级数的性质,设 和 都是周期为N的周期序列，其的DFS为,（2）序列的移位,（3）调制特性,（4）周期卷积,3.3 离散傅里叶变换（DFT）,一、周期序列与其主值序列的关系,x(n)是周期为N有周期序列 的主值序列,二、从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换,已知：,求和只限定在主值区间,注意： N为变换区间的长度；,定义有限长序列的离散傅里叶变换,正变换：,逆变换：,不是x(n)的频谱，它只是有限长序列x(n)的频谱在一个周期 (02)上的N点采样。当N大于序列的长度M时，x(k)可以代表x(n)的频谱。,涉及到有限长序列的DFT，认为该序列是周期为N的周期序列的主值序列，因此，离散傅里叶变换隐含着周期性。,例 序列x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT 。 解: (1) 设变换区间N=8， 则：,3,结论：离散傅立叶变换(DFT)结果与变换区间长度N有关。,(2) 设变换区间N=16， 则,DFT,FT,三、有限长序列的DFT与z变换，傅里叶变换的关系,e,DFT的物理意义：(1) x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点等间隔采样。(2) X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间0,2上的N点等间隔采样,采样间隔为2/N。,总结,1,第三章 离散傅里叶变换(DFT),