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1、一阶线性方程高等数学微积分课件,1. 一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性方程高等数学微积分课件,齐次方程的通解为,(1) 线性齐次方程,2. 一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),一阶线性方程高等数学微积分课件,(2) 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,一阶线性方程高等数学微积分课件,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,一阶线性方程高等数学微积分课件,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程
2、通解,非齐次方程特解,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,例1,一阶线性方程高等数学微积分课件,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,解,于是,将方程标准化为,一阶线性方程高等数学微积分课件,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,解,于是,将方程标准化为,故所求特解为,由初始条件,得,一阶线性方程高等数学微积分课件,例3 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,一阶线性方程高等数学微积分课件,所求曲线为,一阶线性方程高等数学微积分课件,已知函数.,解,原方程实际上是标准的线性方程,其中,直接代入通解公
3、式,得通解,求解方程,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,方程变为,这个方程不是一阶线性微分方程,不便求解.,如果,方程改写为,则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,利用常数变易法,设题设方程,分离变量,即,并积分得,代入原方程,积分得,的通解为,得,故原方程的通解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,例6 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,伯努利方程,解法:
4、需经过变量代换化为线性微分方程.,一阶线性方程高等数学微积分课件,求出通解后，将 代入即得,代入上式,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,得,解得,两端除以,令,得,故所求通解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解.,令,则,于是得到伯努利方程,令,其通解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解.,令,其通解为,回代原变量,即得到题设方程的通解,一阶线性方程高等数学微积分课件,例10 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,一阶线
5、性方程高等数学微积分课件,小结:,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,一阶线性方程高等数学微积分课件,1.判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,思考题,一阶线性方程高等数学微积分课件,解,思考题,2.求微分方程 的通解.,一阶线性方程高等数学微积分课件,3. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,思考题,一阶线性方程高等数学微积分课件,4. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用
6、通解公式, 得,利用,得,故有,思考题,一阶线性方程高等数学微积分课件,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,一阶线性方程高等数学微积分课件,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,一阶线性方程高等数学微积分课件,练 习 题,一阶线性方程高等数学微积分课件,一阶线性方程高等数学微积分课件,练习题答案,