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1、三重积分、直角坐标,第四节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算（一）,三重积分,第九章,三重积分、直角坐标,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的,可得,“分割, 取近似, 求和, 取极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,采用,三重积分、直角坐标,三重积分的定义,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,2. 三重积分有与二重积分类似的性质。,3.由三重积分的定义,注意：1.如果 在 上连续，则 存在。 以后总假定 在 上连续。,三重积分、直角坐标,1.直角坐标系中将三重积分化为三
2、次积分（先单后重）,如图，,二、三重积分的计算,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,得,三重积分、直角坐标,注意,三重积分、直角坐标,：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x = 0, y = 0, x+2y =1 围成,z = 0,例1.计算三重积分,x + 2y + z =1,I =,三重积分、直角坐标,1,Dxy,I =,三重积分、直角坐标,y2=x,.,例2.,三重积分、直角坐标,y2=x,.,例2.,三重积分、直角坐标,。,。,y2=x,.,例2.,三重积分、直角坐标,D,当 f (x,y,z)= y
3、cos(z+ x), I = ?,I =,试计算：,三重积分、直角坐标,1,x+ y=1,1,z=xy,.,例3.,三重积分、直角坐标,1,x+ y=1,1,z=xy,.,例3.,三重积分、直角坐标,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,例3.,三重积分、直角坐标,Dxy:,z =0,1,1,。,。,Dxy,三重积分、直角坐标,解,如图，,三重积分、直角坐标,2. 先重后单,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,例6. 计算三重积分,解:,用“先重后单 ”,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,三重积分、直角坐标,三重积分的计算方法,方法1. “先单后重”,方法2. “先重后单”,具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择.,三重积分、直角坐标,思考题,选择题:,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,练 习 题,三重积分、直角坐标,三重积分、直角坐标,练习题答案,