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1、全国初中数学竞赛二次函数历届考题智浪教育-普惠英才文库 全国初中数学竞赛二次函数历届考题 211(2008)、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数yx,2yx,，1122，其图象经过点(,5,2)，且对于任意实数x的同一个值，这三y,ax，bx，c3个函数所对应的函数值，都有成立,若存在，求出函数的yy,yyy,yy1231233解析式;若不存在，请说明理由。 解:存在满足条件的二次函数。 222因为，所以，当自变量x取yyxxxxx,，,，,2(1)21(1)012任意实数时，均成立。 yy,122由已知，二次函数的图象经过点(,5,2)，得 y,ax，bx，c3abc,，,5225 ?
2、 x,1当时，有， yy,2yabc,，123abc，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有2?2， yyy,x132abc，,2故 ? 2ba,4ca,25由?，?，得，所以 5分 yaxaxa,，,4(25).322当yy,时，有，即 24(25)xaxaxa,，,axaxa，,，,(42)(25)0132所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或yaxaxa,，,，,(42)(25)等于零，故 a,0a,0,1a, 即 所以 ,223(42)4(25)0aaa,(31)0,a,222当时，有，即， y,yaxaxax，,，4(25)1(1)4(51)0,，,axaxa322所以，二次函
3、数对于一切实数x，函数值大于或yaxaxa,，,(1)4(51)等于零，故 10,a,a,1,1a,即所以 ,223(4)4(1)(51)0,aaa(31)0,a,141abaca,4,25综上， 333智浪教育-普惠英才文库 1412所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，yxx,，3333都有成立。 15分 yyy,13222x,111(2009)(函数的图象与轴的两个交点是否都在直线xyxkxk,，,，(21)x,1的右侧,若是，请说明理由;若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围( 解:不一定，例如，当k,0时，函数的图象与x轴的交点为(0，0)和 x,1(1
4、，0)，不都在直线的右侧( 5分 2设函数与x轴的两交点的横坐标为，则，当 xxkxxk，,(21),xx,121212且仅当满足如下条件 ,?0,(1)(1)0,xx,，, 10分 ,12,(1)(1)0xx,12x,1时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧( x22,(21)40,kk,?,由 ,210,k,2kk，,20,1,k?,4,1,k,解之，得 15分 ,2,kk,20.或,k,2x,1所以当时，抛物线与x轴的两交点在直线的右侧( 20分 k2y,12(2010)(如图，抛物线(a0)与双曲线相交于点A，B. 已知点Ayaxbx,，,x的坐标为(1，4)，点B在第三象限内，且?AO
5、B的面积为3(O为坐标原点). (1)求实数a，b，k的值; (2)过抛物线上点A作直线AC?x轴，交抛物线于另一智浪教育-普惠英才文库 点C，求所有满足?EOC?AOB的点E的坐标. k(第12题) 解:(1)因为点A(1，4)在双曲线上， y,x4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. y,x4t,0设点B(t，)，AB所在直线的函数表达式为，则有 ymxn,，t4,，mn，,44(1)t，, 解得，. m,n,4,tt,，mtn，,t,4(1)t，,于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故 0,t,141()t，2，整理得， 2320tt，,St,，,13，,AOB2t1t,2解得,2,2，
6、或t,(舍去)(所以点B的坐标为(，)( 22(a0)上，所以因为点A，B都在抛物线yaxbx,，,ab，,4，a,1，, 解得 (10分) ,b,3.422ab,，,4(2)如图，因为AC?x轴，所以C(，4)，于是COCO,222,4. 又BO=2，所以. BO2设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D， yaxbx,，,3则点D的坐标为(，0). (第12题) 45:90:因为?COD,?BOD,，所以?COB=. ,BOA90:,2BBOA(i)将?绕点O顺时针旋转，得到?.这时，点(，2)是CO的1,1A中点，点的坐标为(4，). 1,2OAOE2OAEE延长到点，使得=，这时点(8，
7、)是符合条件的点. 11111,BOA,4BOAAOAE(ii)作?关于x轴的对称图形?，得到点(1，);延长到点，2222,8OE2OA使得,，这时点E(2，)是符合条件的点( ,22,8E,2所以，点的坐标是(8，)，或(2，). (20分) 智浪教育-普惠英才文库 AB，13(2011)(点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直AAyx22线交抛物线于，两点. Pyx,Q3(1)求证:?=?; ABPABQ(2)若点A的坐标为(0，1)，且?=60，试求所有满足条件的直线PBQPQ的函数解析式. 解:(1)如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为. yPQ，CD，设点A的坐标为(0，)
8、，则点B的坐标为(0，-). tt设直线的函数解析式为,并设的坐PQykxt,，PQ，标分别为 ,.由 (，)xy(，)xyQQPPykxt,，, 2,2yx,，,3,22得 ， xkxt,03(第13题) 32于是 ，即 . xxt,txx,PQPQ32222222xt，xxxxxx,()PPPQPPQyt，BCx3P333P,于是 ,.2222BDyt，2x2QQxt，xxxxxx,()QQPQQQP3333xPCBCPCP,又因为，所以. QDxBDQDQ第一章 直角三角形边的关系BCP,BCP 因为?，所以?， BDQ,:90BDQ(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的
9、直线是圆的切线.ABP 故?=?ABQ. 一、指导思想：PCa,ba(2) 设，DQb,，不妨设?0，由(1)可知 一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。BC3a3bABPBD?ABQ,:30=?，=，=， tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA
10、的值越大。AC32a,AD23,b所以 =，=. 智浪教育-普惠英才文库 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。PCACP因为?，所以?. DQADQaa32,PCAC于是，即,， ,bDQAD23,b所以( abab，,31、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。33333由(1)中，即，所以 abab,，,，
11、xxt,abPQ2222八、教学进度表ab,23.于是可求得 135.215.27加与减（三）4 P75-8033122将代入，得到点的坐标(，). Qb,yx,22323再将点的坐标代入，求得 Qykx,，1k,.33所以直线的函数解析式为. yx,，1PQ322yxx,，34yxx,3411(2007)、已知抛物线C:和抛物线C:相交于12A，B两点。点P在抛物线C上，且位于点A和点B之间;点Q在抛物线1C上，也位于点A和点B之间。 2410 (1)求线段AB的长; 3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。(2)当PQ?y轴时，求PQ长度的最大值。 t=0时，PQ=8