《一个线性代数(矩阵)证明题-矩阵A乘以矩阵A的转置,矩阵A的转置乘以A,他们特征值相同.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一个线性代数(矩阵)证明题-矩阵A乘以矩阵A的转置,矩阵A的转置乘以A,他们特征值相同.doc（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、A为nxm实矩阵，如何证明a A和A a的非零特征值相同?证明方法1 （侯鑫）：丈柘its U 韦入 71 *1 /（乙# q Ql r y J K粮B屮A危井強旳忆他帀同理可证AA的特征值也是AA的特征值证明方法2 （sugar）：From the SVD A = UVf, we see thatA A7 = UDiU;D = 迟厂=Di昭（rrf存;0（）（*）*v*n 卩 zrosA7 A = VD2V7D2 = S7 X = DiRg（rf（i； 00）（*）n p zeros所以，由于u和v是酉矩阵，所以-2, p是aat的特征值，也是Aa的特征值。注意，如果A是方阵，那么A的奇异值
2、匚1， p不一定是A的特征值。如果A可对角化，但是不是正交对角化，A的奇异值匚1， p也不一定是A的特征值（可以用matlab试验下）。只有当A可正交对角化时，A的奇异值二i， p才是A的各个特征值的绝对值（因为矩阵的奇异值均定义为正值）定理5.4设介 的秩rank 4 = r,则存住m阶曲知阵F和n 阶西矩阵 S 使 A = VSot/M 中几 J 二 diag（M，M，/），“ M0.本截图来自熊洪允应用数学基础 5.3节矩阵的奇异值分解。证明（1）构造/因为？！是mx n矩阵，所以/TA 阶止定或半正定的Halite 矩阵又因为rank（AH4） = nuik A ”，所以屮4 fi r
3、个正特征值，不 妨设为入Q二兀0,而入和=二九=0是刖4的n - r个零特征. 值碎设心 分别足A的对应于特征值右，人 的标准1E交 特征向星、于星b = ut 叫是阶四知阵.若记 U 二叭J, （/； = ： Ftl 叭则 u - ux fA-（2）构造职 貝需ifl： Az与AmAx = 0同琳（从血解宁间维歡相同用亠HA）二n-仃儿显 熬山=0的解都足4hAx = U的解.反之，若工是初& 的任一端.则 Ax. Ax 三 別f Ar =0,即Ar*所以x也是Ar “的燃. 214 皿用数埃鼻牝令 Pi 二 J= diag(“i “2则 S 町逆，冃 214 皿用数埃鼻牝 214 皿用数埃
4、鼻牝硏a3 =Arwr 214 皿用数埃鼻牝Airi a2rm2 Afw；= diig(A| ,A2, ,AJ = diap(/“/,:胡)hS.(3)构适作矩阵匕二人 “气并将其按列分块为纥=5 一 因为叫匕=(ASS)M(A3) = SWkA3$， = W =,故列向虽纠5,，V,是殛维标准正交向触纠于垦可将梵扩充成- 的标准正交16少I n八v八% 令 v = l V)vr ultl V. V, $2】，则 I皑 阶西矩阵. (4)证明 ES.因为“，纵M4h4的对应十零待征值的特征向此于是 对于i = r I ,有 Ay /ti s- u AAu = 0,即4m, =0故A = I屜-I屜=0. 所以=(K vt Jia Uj = rv,s 0=Vt sur +0t/? =447,5 AU2 UAiU. I/；1* Qt/?)证毕.定义5.4定理5一4中的人x怡上称为矩龄A的奇昇值分解. * = j& ，“=y .杯为a的奇异值.由定理5.4的证明过程可知，在虫的奇异侦分解“ VSnUH中. /=：“.而“，“.分别是卅*4的对宜于特征偵入 A.的标准正交待征向址；几町由A的奇耳侏小=乐，、R =, 构逍而成：vr vrtlvra = V, VJ,其中=： 4U,S l.VvlUuj.lfi叫,叫，可通过求須齐次线性 方斡组V：r= 0的坚础餅系C然后正交化、单位化得到.