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1、【DOC】-数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学 数列专题复习 一、等差数列的有关概念: 1、等差数列的判断方法:定义法an,1,an d(d为常数)或an,1,an an,an,1(n 2)。 a1,a2, ,an n 如设an是等差数列，求证:以bn=等差数列。 n N*为通项公式的数列bn为 2、等差数列的通项:an a1,(n,1)d或an am,(n,m)d。如(1)等差数列an中，a10 30，a20 50，则通项an 2n,10); (2)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_(答: 83
2、d 3) 3、等差数列的前n和:Sn n(a1,an) 2 12 ，Sn na1, * n(n,1) 232 d。 如(1)数列 an中，an an,1,(n 2,n N)，an ，前n项和Sn , 152 ， 则a1, ,，n,(答:a1 ,3，n 10); 2 (2)已知数列 an的前n项和Sn 12n,n，求数列|an|的前n项和Tn(答: 2* 12n,n(n 6,n N) ). Tn 2* n,12n,72(n 6,n N) 4、等差中项:若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A a,b2 。 提醒:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素:a1、d、n、
3、an及 Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为,，;偶数个数成等差，可设为,，a,2d,a,d,a,a,d,a,2d,(公差为d) a,3d,a,d,a,d,a,3d,(公差为2d) 5、等差数列的性质: (1)当公差d 0时，等差数列的通项公式an a1,(n,1)d dn,a1,d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n和Sn na1,函数且常数项为0. 1 / 13 n(n,1)2 d d2 n,(a1, 2 d2 )n是关于n的二次 (2)若公差d 0，则为递增等差
4、数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。 (3)当m,n p,q时,则有am,an ap,aq，特别地，当m,n 2p时，则有 am,an 2ap. 如(1)等差数列an中，Sn 18,an,an,1,an,2 3,S3 1，则n,_(答:27); (4) 若an、bn是等差数列，则kan、kan,pbn (k、p是非零常数)、,也成等差数列，而an成等比数列;若anSn,S2n,Sn,S3n,S2n ，ap,nq(p,q N)、 是等比数列，且an 0，则lgan是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。(答:225) (5)在
5、等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶,S奇 nd;项数为奇数2n,1时， S奇,S偶 a中，S2n,1 (2n,1) a中(这里a中即an);S奇:S偶 n:,n-1,。 * a 如(1)在等差数列中，S11,22，则a6,_(答:2); (2)项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6)若等差数列an、bn的前n和分别为An、Bn，且 anbn (2n,1)an(2n,1)bn A2n,1B2n,1SnTn AnBn f(n)，则 它们的前n项和分 f(2n,1).如设an与bn是两个等差数列， 别为Sn和Tn，若 3n,1
6、4n,3 ，那么 anbn _(答: 6n,28n,7 ) (7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 an 0 an 0 确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n 或 an,1 0 an,1 0 * 项是关于 n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N。上述两种 方法是运用了哪种数学思想,(函数思想)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗, 如(1)等差数列an中，a1 25，S9 S17，问此数列前多少项和最大,并求此最大 2 / 13 值。(答:前13
7、项和最大，最大值为169); (2)若an是等差数列，首项a1 0,a2003,a2004 0，a2003 a2004 0，则使前n项和 Sn 0成立的最大正整数n4006) (3)在等差数列 an 中，a10 0,a11 0，且a11 |a则( ) |，Sn是其前n项和，10A、S1,S2 S10都小于0，S11,S12 都大于0 B、S1,S2 S19都小于0，S20,S21 都大于0 C、S1,S2 S5都小于0，S6,S7 都大于0 D、S1,S2 S20都小于0，S21,S22 都大于0 (答:B) (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等
8、差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an bm. 二、等比数列的有关概念: 1、等比数列的判断方法:定义法 an,1an anan,1 (n 2)。 an,1an q(q为常数)，其中q 0,an 0或 如(1)一个等比数列an共有2n,1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an,1为_);(2)数列an中，Sn=4an,1+1 (n 2)且a1=1，若bn an,1,2an ， 65 求证:数列,bn,是等比数列。 2、等比数列的通项:an a1qn,1或an amqn,m。 如等比数列an中，a1,an 66，a2an,
9、1 128，前n项和Sn,126，求n和q.(答: n 6，q 12 或2) a1(1,q)1,q n 3、等比数列的前n和:当q 1时，Sn na1;当q 1时，Sn a1,anq1,q 。 等比数列中，q,2，S99=77，求a3,a6, ,a99(答:44); 如(1)10 n (2) ( Cnk)的值为_(答:2046); n 1 k 0 3 / 13 特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解。 4、等比中项:若a,A,b成等比数列，
10、那么A叫做a与b的等比中项。提醒:不是任何 两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数 a,b(a b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_(答:A,B) 提醒:(1)等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素:a1、q、n、an及 Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2;(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为,，aq2 , aq 2 ;但偶数个数成等比时，不能设为,a,aq,aq,(公比为q) aq 3 , aq ,aq,aq，,， 3 因公比不一定为正数，只有
11、公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。(答:15，,9，3,1或0,4，8,16) 5.等比数列的性质: (1)当m,n p,q时，则有am an ap aq，特别地，当m,n 2p时，则有am an ap. 2 如(1)在等比数列an中，a3,a8 124,a4a7 ,512，公比q是整数，则a10=_(答:512); (2)各项均为正数的等比数列an中，若a5 a6 9，则olg(答:10)。 (2) 若an是等比数列，则|an|、ap,nq(p,q N)、kan成
12、等比数列;若 an、bn成等比数列，则anbn、 * 31 aolg, 32 a,olg , 301 a anbn 成等比数列; 若an是等比数列，且公比q ,1， 则数列Sn,S2n,Sn,S3n,S 2n ，,也是等比数列。当q ,1，且n为偶数时，数列 Sn,S2n,Sn,S3n,S2n ，,是常数数列0，它不是等比数列. 如(1)已知a 0且a 1，设数列xn满足logaxn,1 1,logxn(n N*)，且a 4 / 13 x1,x2, ,x100 100，则x101,x102, ,x200 . (答:100a 100 ); (2)在等比数列an中，Sn为其前n项和，若S30 13
13、S10,S10,S30 140，则S20 的值为_(答:40) (3)若a1 0,q 1，则an为递增数列;若a1 0,q 1, 则an为递减数列;若则an为递减数列;若a1 0,0 q 1, 则an为递增数列;若q 0，a1 0,0 q 1 ， 则an为摆动数列;若q 1，则an为常数列. (4) 当q 1时，Sn ,a11,q n q, a11,q aq n ,b，这里a,b 0，但a 0,b 0， 是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列an是否为等比数列。 如若an是等比数列，且Sn 3n,r，则r,(答:,1) mn (5) Sm,n Sm,qSn Sn,qSm
14、.如设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn， 若Sn,1,Sn,Sn,2成等差数列，则q的值为_(答:,2) (6) 在等比数列an中，当项数为偶数2n时，S偶 qS奇;项数为奇数2n,1时， S奇 a1,qS偶. (7)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 an 的前n项和为Sn(n N)， 关于数列 an 有下列三个命题:?若 an an,1 (n N)，则 an 既是等差数列又是等比数列;?若Sn an n 2 ,bn,a、b R,， 则 an 是等差数列;?若Sn 1,1,，则
15、an 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 (答:?) 三、数列通项公式的求法 一、公式法 (n 1) S1 ?an ; S,S(n 2)n,1 n ? an 等差、等比数列 an 公式. 5 / 13 例 已知数列an满足an,1 2an,3 2n，a1 2，求数列an的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 2an,3 2n转化为 an2 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出n an2 n an,12 n,1 , an2 n 32 ，说明数列 1,(n,1) 32 ，进而求出数列 an的通项公式。 二、累加法 例 已知数列an满足an,1 an,2n,1，a1 1
16、，求数列an的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 an,2n,1转化为an,1,an 2n,1，进而求出(an,an,1),(an,1,an,2), ,(a3,a2),(a2,a1),a1，即得数列an的通项公式。 n 例 已知数列an满足an,1 an,2 3,1，a1 3，求数列an的通项公式。 nn 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 an,2 3,1转化为an,1,an 2 3,1， 进而求出an (an,an,1),(an,1,an,2), ,(a3,a2),(a2,a1),a1，即得数列an的通项公式。 三、累乘法 n 例 已知数列an满足an,1 2(
17、n,1)5 an，a1 3，求数列an的通项公式。 n 评注:本题解题的关键是把递推关系an,1 2(n,1)5 an转化为 an,1an 2(n,1)5，进而求 n 出 an an,1an,2 an,1 a3a2 a1，即得数列an的通项公式。 a2a1 四、取倒数法 例 已知数列an中，其中a1 1,，且当n?2时，an an,12an,1,1 1an 1an,1 an,12an,1,1 1an ，求通项公式an。 解 将an 两边取倒数得:, 2，这说明是一个等差数列， 6 / 13 首项是 1a1 1，公差为2，所以 1an 1,(n,1) 2 2n,1，即an 12n,1 . 五、待
18、定系数法 例 已知数列an满足an,1 2an,3 5n，a1 6，求数列 an 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 2an,3 5n转化为an,1,5n,1 2(an,5n)，从而可知数列an,5n是等比数列，进而求出数列an,5n的通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。 例 已知数列an满足an,1 3an,5 2n,4，a1 1，求数列an的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 3an,5 2n,4转化为 an,1,5 2 n,1 ,2 3(an,5 2,2)，从而可知数列an,5 2,2是等比数列，进而求 nn n 出数列an,5 2,2的通
19、项公式，最后再求数列an的通项公式。 六、对数变换法 n5 例 已知数列an满足an,1 2 3 an，a1 7，求数列an的通项公式。 n5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an,1 2 3 an转化为 lgan,1,lgan, lg34lg34 (n,1),n, lg316 , lg3164 , lg24 5(lgan, lg34 n, lg316 , lg24 )，从而可知数列lg34n, lg316 ,lg24 的通项 lg2 是等比数列，进而求出数列lgan, 公式，最后再求出数列an的通项公式。 七、迭代法 例 已知数列an满足an,1 an 3(n,1)2 n ，a
20、1 5，求数列an的通项公式。 3(n,1)2 n 评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an,1 an n 两边取常用对数得lgan,1 3(n,1) 2 lgan，即 lgan,1lgan 3(n,1)2，再由累乘法可推知 n 7 / 13 lgan lgan lgan,1lgan,2 lgan,1 n,1lga3lga23 n! 2 lga1 lg5 lga2lga1 n(n,1)2 ，从而an 5 3 n,1 n! 2 n(n,1)2 。 八、数学归纳法 8(n,1)(2n,1)(2n,3) 2 例 已知数列an满足an,1 an,，a1 2 89 ，求数
21、列an的通项公式。 解:由an,1 an, 8(n,1)(2n,1)(2n,3) 2 2 及a1 89 ，得。 由此可猜测an (2n,1),1(2n,1) 2 2 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 (1)当n 1时，a1 (2 1,1),1(2 1,1) 2 2 89 ，所以等式成立。 (2)假设当n k时等式成立，即ak (2k,1),1(2k,1) 2 2 ，则当n k,1时， ak,1 ak, 8(k,1)(2k,1)(2k,3) 2 2 。 由此可知，当n k,1时等式也成立。 根据(1)，(2)可知，等式对任何n N都成立。 九、换元法 例 已知数列a n满足an,1 116 (1
22、,4an,124 ，a1 1，求数列an的通项公式。 * 解:令bn an 故an,1 124 2 (bn,1) 1 2 (bn,1, 1)，代入an,1 16 (1,4an,得。即4bn,1 (bn,3) 12 32 22 因为bn 0，故bn,1 0则2bn,1 bn,3，即bn,1 可化为bn,1,3 12 (bn,3)， bn, ， 8 / 13 所以bn, 3是以b1,3 3 3 2为首项，以 1 1 1 12 为公比的等比数 列，因此bn,3 2()n,1 ()n,2，则bn ()n,2, 3 ()n,2,3，得 2 2 2 2 an 21n1n1(),(),。 3423 1 十、
23、构造等差、等比数列法 ? an,1 pan,q;?an,1 pan,qn;?an,1 pan,f(n);?an,2 p an,1,q an. 例 已知数列 an 中，a1 1,an,1 2an,3，求数列 an 的通项公式. 【解析】an,1,3 2(an,3) an,3 4 2n,1 an 2n,1,3. 【反思归纳】递推关系形如“an,1 pan,q” 适用于待定系数法或特征根法: ?令an,1, p(an, ); ? 在an,1 pan,q中令an,1 an x x q1,p ， an,1,x p(an,x); ?由an,1 pan,q得an pan,1,q， an,1,an p(an,
24、an,1). n 例 已知数列 an 中，a1 1,an,1 2an,3，求数列 an 的通项公式. n 【解析】 an,1 2an,3， an,12 n an2 n,1a3n ,()，令nn bn ,1 22 3nnn bn (bn,bn,1),(bn,1,bn,2), ,(b2,b1),b1 2 (),2 an 3,2 2 n 【反思归纳】递推关系形如“an,1 pan,q”通过适当变形可转化为: n “an,1 pan,q”或“an,1 an,f(n)求解. 十一、不动点法 7an,22an,3 例 已知数列an满足an,1 ，a1 2，求数列an的通项公式。 解:令x 7x,22x,3
25、 2 ，得2x,4x,2 0，则x 1是函数f(x) 3x,14x,7 的不动点。 因为an,1,1 7an,22an,3 ,1 5an,52an,3 ，所以 an 21n1n1(),(),。 3423 bn，使得所给递推关系式转化 bn,1 12bn, 32 形式，从而可知数列bn,3为等比数列，进而求出数列bn,3的通项公式， 最后再求出数列an的通项公式。 四、数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式:Sn n(a1,an) 2 na1, n(n,1)2 d 2、等比数列求和公式:Sn na1 n a,anq a1(1,q) 1 1,q1,q n(n,1
26、) 2 (q 1)(q 1) 前n个正整数的和 1,2,3, ,n n(n,1)(2n,1)6 n(n,1) 2 前n个正整数的平方和 12,22,32, ,n2 前n个正整数的立方和 13,23,33, ,n3 2 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数n的值; (2)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。 例 已知log3x ,1log23 ，求x,x,x, ,x, 的前n项和. 23n 例 设Sn,1+2+3+n，n?N*,求f(n) Sn (n,32)Sn,1 的最大值. ? f(n) Sn (n,32)Sn,1 , , 1n,34, 64n 150 ,(n, 18n),50
27、2 150 ? 当 n, 8，即n,8时，f(n)max 二、错位相减法求和 这种方法主要用于求数列an? bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q; 然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。 例:(2009全国卷?理)在数列an中，a1 1,an,1 (1,(I)设bn ann 1n)an, n,12 n ，求数列bn的通项公式(II)求数列an的前n项和Sn an,1n,1 ann,12 n 分析:(I)由已知有 bn,1,bn 12 n 12 n,1 利用累差迭加即可求出数列bn
28、的通项公式: bn 2,(II)由(I)知an 2n, n2 n,1 (n N*) n n n , Sn= (2k, k 1 k2 ) k,1 k 1 (2k), k 1 k2 k,1 nn 而 (2k) n(n,1),又 k 1 k 1 n k2 k,1 是一个典型的错位相减法模型， 易得 k 1 k2 k,1 4, n,22 n,1 Sn=n(n,1), n,22 n,1 ,4 三、 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1,an). 12nn ,5Cn, ,(2n,1)Cn (n,1)2 例 求
29、证:Cn0,3Cn 012n 证明: 设Sn Cn,3Cn,5Cn, ,(2n,1)Cn Sn (2n,1)Cn,(2n,1)Cn nn,1 , ,3Cn,Cn 10 n ? Sn (n,1) 2 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例7 求数列的前n项和:1,1, 解:设Sn (1,1),( Sn (1, 1a,1a1 2 1a ,4, 1 2 ,4),(, , a1 2 ,7, , 1a n,1 ,3n,2， 1 ,3n,2) a ,7), ,( a n,1 1 n,1 a 当a
30、,1时，Sn n, a (3n,1)n 2 ),(1,4,7, ,3n,2) , (3n,1)n 2 1, 1 n a,(3n,1)n,a,a1a,12 1,n 当a 1时，Sn 1, , (3n,1)n 2 a 例:(2010全国卷2文)(18)(本小题满分12分)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1,a2 2( 1a1 ,1a2 )，a3,a4,a5 64( 1a3 ,1a4 ,1a5 2 ) (?)求an的通项公式;(?)设bn (an, 1an )，求数列bn的前n项和Tn。 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后
31、重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1)an f(n,1),f(n) (2) sin1 cosncos(n,1) (2n) 2 tan(n,1),tann (3)an 1n(n,1) 1 1n , 1n,1 1 (4)an 1 (2n,1)(2n,1) 1, 1 22n,1 ( 1 , 12n,1 ) (5)an (6) an n,2 n(n,1)(n,2)2n(n,1) , 1(n,1)(n,2) n(n,1)2 1 n 2(n,1),nn(n,1) 12 n 1n 2 n,1 , 1(n,1)2 n ,则Sn 1, 1(n,1)2 n 例 求数列 1,
32、an 121n,11, , 12, 3 , , 1n, n,1 , 的前n项和. n,1 n,1,n 则 Sn 2 , 12, 1n,1 3 , , , 1n, n,1 nn,1 ,n,1,1 例 在数列an中，an 项的和. 解: ? an 2n,1 , , ，又bn 2an an,1 ，求数列bn的前n 1n,1 , 2n,1 , , nn,1 n2 ? bn Sn 六、合并法求和 ) nn,1nn,1 2211111118n 8(1,),(,),(,), ,(,) , 22334nn,1n,1 8( , 211 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的
33、和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 一锐角三角函数例 数列an:a1 1,a2 3,a3 2,an,2 an,1,an，求S2002. 解:设S2002,a1,a2,a3, ,a2002 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。a6k,1 1,a6k,2 3,a6k,3 2,a6k,4 ,1,a6k,5 ,3,a6k,6 ,2 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：? a6k,1,a6k,2,a6k,3,a6k,4,a6k,5,a6k,6 0 S2002,a1,a2,a3, ,a2002 ,11.弧长及扇形的面积a6k,1,a6k,2
34、,a6k,3,a6k,4,5 例 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 9,求log3a1,log3a2, ,log3a10的值. 解:设Sn log3a1,log3a2, ,log3a10 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。由等比数列的性质 m,n p,q aman apaq Sn (loga1,log3a10),(loga2,log3a9), ,(loga5,log3a6) ,10 333 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。1之和. 例 求1,11,111, ,111, n个1 1 解:由于111, k个1 tan119 999 9 , 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。k个1 19 (10 3.余弦：k 二特殊角的三角函数值,1) 1 , ? 1,11,111, ,111, n个1 1110(10,1)nn,1 ,10,9n) , ,(10, 81910,19 n