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1、一元一次方程专题总结本章的内容是等式和它的性质、方程和它的解、一元一次方程的解法及其应用。其中一元次方程的解法及其应用是本章的主要内容。列一元一次方程解应用题1札L_73i?. r 性tr 疥泣7超才药圭叶盾1 t J -1思想方法总结1 化归方法所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它先进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。如本章解方 程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程ax= b（a工0），从而求岀方程的解 x_b 。a2 分析法和综合法分析法是从未知，看已知，逐步推向己知，即由果索因；综合法是从已知
2、，看未知，逐步推 向未知，即由因索果，研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合。列方程解应用 题就是运用了这种分析和综合的思想方法。3 方程思想方法方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。这种思想方法是数学中常用的重要方法之一,是代数解法的重要标志。本章列方程解应用题， 是方程思想的具体应用学习方法总结如何检验一个数是否是某个方程的解，是必须掌握的最基本的技能技巧。检验某个给定的数是否为某方程的解，只要将该数代入方程， 看能否使方程左、 右两边相等,这种方法是一种重要的数学思想方法和解题方法，今后我们在学习二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程
3、、无理方程等方程中，都可以用这种方法检验一个数（或一对数）是否是某个方程（或方程组）的解。利用这种方法还可以检查所求的方程的解是否正确，从而检验自己的运算 能力。注意事项总结1 通过本章的学习，可以体会到对于解方程和列方程解应用题，代数解法具有居高临下、 省时省力的优点。所以，今后要从算术解法转到习惯于代数解法。2 不要死记硬背例题题型和解法，而要努力学会分析问题的本领。为此要适当做一些与例 题不同类的题，通过老师的指导，自己去进行分析并解决它们。3 要注意检验求得的结果是不是方程的解，方程的解是不是符合应用题题意的解。如果方程有解，但这个解不符合应用题题意，我们就说这道应用题无解。一般说来，
4、违背实际情况的应用题都是无解的。4 在解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的次序（不一定每个步骤都要用到 ），这样往往可使计算简便。在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时易犯的错误。在整个初学阶段，最好把方程的解代入方程进行检验。综合题目举例j _113-12j -1例1.已知式子-2y-+1的值是0,求式子 的值。343A T1分析：由-2y-+1的值是0,可得方程，从而求岀 y的值，再把y的值代入所求式子中即可、”V -11解：由题意，得-2y-+仁03解这个方程，得 y=2,当y=2时，3厂 12y-l3x2-12x2-15-1 、 。434344说明：本题是利用方程来解决求
5、另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写岀来。3P -1例2.已知方程4x=-8的解也是关于 x的方程x=1+k的解，求式子的值。分析：从已知方程4x=-8中，求岀x的值，把x的值代入x=1+k中，求岀k的值，再把k 的值代入所求式子中。解：解方程4x=-8,得x=-2.把 x=-2 代入 x=1+k,得-2=1+k, k=-3.3P -1 3x（-3）2 -1 27-126当k=-3时，比| |-3|33例3.有一列客车长190米，另有一列货车长 290米。客车的速度与货车的速度比为5 : 3,已知它们同向行驶时，两车交叉时间为1分钟，问它们相向行驶时，两车交叉的时间是多少？分析：此题属
6、于应用题中的难题，难在相等关系在题目中有一定的隐蔽性，不易找准，为充分弄清题意，我们按同向行驶和相向行驶两种过程来进行分析：（1）同向行驶时，客车利用与货车交叉的时间（1分钟）赶超货车，这期间客车的车尾走了两个车长，实际上客车上的每一部分都走了两个车长，即客车走了（190+290）米。同向行牧时，两车的前进方向相同，所以速度应取两车的合成速度（速度之差）相等关系是：路程二速度X时间（2） 相向行驶时，两车对开，客车所走的路程仍是两个车长（190+290）米，但这时两车的合成 速度是两车的速度之和。相等关系是：路程二速度X时间按题目要求是求时间，所以时间=路程*速度3解：设客车的速度是X米/分，
7、则货车的速度是X米/分,53根据题意，得- l-1i解这个方程，得 x = 12003-x=720.5(190+290) - (1200+720)= _ (分)415秒。所以相向行驶时，两车交叉的时间为 答：两车相向行驶时，交叉的时间是、:I . 7.注意:(1)所设未知数的单位名称是“米/分”，对列方程很有利3(2) 列岀方程如写成 x- x=480就不合理了，这实际上是在方程中没有完整体现已知条件。5(3) 题目中有两个相等关系，要注意区别，它们一个是用于列方程；另一个是用于列算式 求时间的，所起的作用不同例4. 一个六位数，如果它的前三位数与后三位数的数字完全相同，顺序也完全相同，求证：
8、7、11、13必为此六位数的约数。分析：要求证岀六位数是 7、11、13的约数，只要证岀这个六位数是一个能被7、11、13整除的数与一个整数的积即可。证明： 设该六位数为 100000x+10000y+1000z+100x+10y+z即为：1001(1000x+10y+z) 1001分别能被7、11、13整除，故该六位数也分别能被7、11、13整除。例5. 一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做 15小时完成，丙队独做 20小时完成,6小时，问开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了 甲队实际做了几小时？分析：此题是工程问题，题中没有给岀总工作量，故看做整体
9、1，题中叙述了开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，则有相等关系如下：甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量 =1。甲、乙、丙合作的工作量是11111（）x，乙、丙合作的工作量是（ ）（6-x），由题意，得10 15 2015 201 1111（ 亠 -：-）x+（）（6-x）=110 15 2015 20解得x=3.答：甲队实际工作了3小时。注意：甲队实际工作的时间就是甲、乙、丙合作的时间，完成任务的时间是6小时，乙、丙合作就用了（6-x）小时。综合检测题（时间：45分钟 满分：100分）一、填空题： （每小题4分）%-21 当x=时，式子的值为0?42 .若x=1是方程2
10、x-a=7的解，贝U a=。3 .在等式3y-6=5两边同时 ，得到3y=114 已知三个数的比是 2： 3： 7,这三个数的和是 144，则这三个数为 15 .若 3x:2=4 ：0.8，贝U x=26 某化肥厂第一季度和第二季度共生产化肥4300吨。已知第二季度比第一季度增长15%,则第一季度的产量是、选择题：（每小题4分）1r -11（1 ）方程的解为（）232A、0B、1C、2D、-2（2）方程2m+x=1 和3x-1=2x+1是同解方程，则 m的值为（）A、0B、1C、-21D、-（3 ）若使方程（m+2）x=n-1是关于x 一元一次方程，则m取值是（）A、-2 B、m 0C、2 D
11、、m2（4）ax-b=O, （a工0）, a,b互为相反数，则 x等于（）。A、1 B、-1 C、-1和+1 D、任意有理数（5）ax-b=bx-a（a 工 b）时 x 等于（）。A、0 B、-1 C、+1D、任意有理数（6）在下列方程中，解为 x=2的是（）。D、5x-2=8（7）水结成冰体积增大，冰化成水体积减少（1111 12A、B、 C D1011 1211A、3x=x+3 B、-x+3=0C、 2x=6)（8 ）甲池有水xnf,乙池有水ynf,甲池每分钟流入乙池zm, n分钟两池水水量相等，则n等于（）。x-y小i2zA、B、Czz21320米，乙每分钟跑 280米，两人同时同地（9
12、）在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑同向岀发跑，t分钟后第一次相遇,t等于（）A、10 分B、15 分C、20 分D 30分(10 )在梯形面积公式1 2S=_ (a+b)h 中，已知 S=24cm, a=3cm, h=6cm,贝U b=( )cm。2A、1B、5C、3D、4三、解方程(每小题6分)1 2厂5 丄11. +=1642. (x-1) X 30%-(x+2) X 20%=21 x +1 x 1“10 -7x.3. 21-(x-)=3二.i336 23四、列方程解应用题：(每小题9分)1 甲车在早上 5时以每小时32千米的速度由 A地向B地行驶，6时30分钟乙车才开始岀发，结
13、果在9时30分时乙车追上了甲车，问乙车的车速是多少？2 .一水池安有甲、乙、丙三个水管，甲独开12小时注满水池，乙独开 8小时注满水池，丙独开24小时可排掉满池的水，如三管齐开多少小时后，刚好水池的水是满的？答案：1.解：3x-22由题意，得0，解方程得 x 。432 .分析:因为x=1是方程2x-a=7的解，所以x=1满足2x-a=7，把x=1代入2x-a=7，从而求得a的值。解： 把 x=1 代入 2x-a=7 中， 2 X 1-a=7,/ a=-53 .分析：根据等式的基本性质1,加上6。4 .分析：因为2 : 3: 7是三个数的比，所以可设每份为x。解：设每份为x，则三个数分别为2x,
14、 3x,7x,2x+3x+7x=144, 解得 x=12。2x=24, 3x=36, 7x=84,这三个数为 24, 36, 845 分析：根据内项之积等于外项之积，得关于x的一元一次方程，即2.4x=9, x= 一46 分析：设第一季节产量是x吨，第二季节(1 + 15%)x吨，第一季度产量+第二季度产量=4300解：设第一季度产量是 x吨,x+(1 + 15%)x=4300215x=4300100x=2000。 第一季节的产量是2000吨(1)解：去分母，得 3x-2(x-1)=33x-2x+2=3x=1,选 Bo(2)分析:因为2m+x=1和3x-1=2x+1是同解方程，所以的解x=2
15、满足， 2m+2=1, m=-，选 Do2(3)分析：根据一元一次方程概念ax=b(a工0),所以m+步0, m工-2,选A。(4) 分析：由a,b互为相反数，可得a=-bb bax-b=0, ax=b, x= , x= =-1, 选 B。a-b(5) 解：ax-b=bx-aax-bx=b-a(a-b)x=-(a-b) , x=-1，选 B。(6) 解：把x=2分别代入每个方程进行检验，选Do1 1(7) 分析：1升水结成冰后，体积增大升，此时冰的体积为(1+)升(把1升水的111体积看作整体1)，设1升冰化为水后为 x升，则1:( 1+)=x:1，解得x=升，故体积减11 12少为1-1 =
16、 升，故选Co12 12(8) 分析：甲池有水xm, n分流岀nzm3, n分后甲池剩水(x-nz)m 3,同样，n分钟后乙池水为(y+nz)m 3。相等关系为：n分钟两池水量相等。解：依题意，得 x-nz=y+nzI解得n=，选Co_(9) 分析：由两人同时同地同向岀发跑，七分钟后第一次相遇可得：甲t分钟跑的路程乙t分钟跑的路程=800解：依题意得320t-280t=800解得t=20分，故选Co1(10) 分析：把S,a, h 的值代入公式 S= (a+b)h中，求岀b的值21解：依题意，得24= (3+b) X 6，解得b=5，选B。2三、解方程1 解：去分母，得 2(2y-5)+3(3
17、-y)=12去括号，得 4y-10+9-3y=12,移项，合并，得 y=13 o30202 .解：(x-1) X-(x+2) X =2,WO100去分母，得 30(x-1)-20(x+2)=200去括号，30x-20-20x-40=200,移项，合并，得 10x=270,二 x=27 o2 x + 1 x 310 -7x3 .解： 去中括号，得 2-(x- )=(2x- )3 32 23去小括号，得2-1一 ；3922去分母，得 36-12x+4(x+1)=9x-54x+90-63x100x=501x= 。2四、列方程解应用题11.甲车5时岀发，乙车6时30分岀发，说明甲车先走了 1 小时；结
18、果在9时30分乙车2追上甲车，说明乙岀发 3小时后追上甲车，若设乙车的速度为x千米/时，则乙行驶的路程为 3x千米，甲车先走1 小时的路程为1 X 32千米，乙岀发后，甲车走的路程为3 X 32千米。2 2此题相等关系为：甲1 一小时的路程+甲3小时的路程=乙3小时的路程2（如图）。甲吩小时路程甲3小时路程乙3小时路程解：设乙车的速度为x千米/时，依题意，得1 - X 32+3 X 32=3x。解得 x=48。2答：乙车的速度为 48千米/时。1112 分析：若把满池水看作总工作量1,则甲的工作效率为 一，乙为 ，丙为 ，相等12824关系为：注入的水一排掉的水=1。解：设三管齐开x小时后，刚了水池的水是满的依题意，得+ 12 8 24-1，解得x=6答：三管齐开6小时后，刚好水池的水是满的