最新【圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题】优秀名师资料.doc

《最新【圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题】优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新【圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题】优秀名师资料.doc（74页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、【圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题】(一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义:椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这FFFF2211个距离之和小于|，则这样的点不存在;若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段. FFFFFF2221112222xyyxbb2.椭圆的标准方程:(,0)，(,0). ，,1，,1aa2222abab223.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果项的分母大于项的分母，则椭圆xy的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:? 正确判断焦点的位置;? 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (

2、二)椭圆的简单几何性质 22xyb1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为(,0). ，,1a22ab,b,a? 范围: -a?x?a，-b?x?b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ? 对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ? 顶点:有四个(-a，0)、(a，0)(0，-b)、(0，b).线段、分别叫做椭圆的长轴AABBAABB22221111和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ce,? 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆

3、的扁平程度.0,e,1.e越接近a于1时，椭圆越扁;反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ce,? 定义:平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(e,1,时，这个动点的a轨迹是椭圆. 222xyab，,1,? 准线:根据椭圆的对称性，(,0)的准线有两条，它们的方程为x.对于椭圆a22cab222yxab，,1,y(,0)的准线方程，只要把x换成y就可以了，即. a22cab3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 22xyb，,1 设(-c，0)，(c，0)分别为椭圆(,0)的左、右两焦点，M(x，y)是椭圆上任FF

4、a2122abMF,a，exMF,a,ex一点，则两条焦半径长分别为，. 12c222e,abc椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、a两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程 22xa,cos,xyb，,1 椭圆(a,0)的参数方程为(为参数). ,22abyb,sin,说明: ? 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同:btan,tan,; a22xy22，,1cos,，sin,1? 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方22ab22xa,cos,xy

5、，,1(0)ab程的实质是三角代换. 椭圆的参数方程是. ,22abyb,sin,5.椭圆的的内外部 2222xyxy00(1)点在椭圆的内部. ，,1(0)ab,，,1Pxy(,)002222abab2222xyxy00(2)点在椭圆的外部. ，,1(0)ab,，,1Pxy(,)002222abab6. 椭圆的切线方程 22xyxxyy00(1)椭圆上一点处的切线方程是. ，,1，,1(0)abPxy(,)002222abab22xyxxyy00 (2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. ，,1，,1(0)abPxy(,)002222abab22xy22222(3)椭圆与直线相切的条件

6、是 ，,1(0)abAaBbc，,AxByC，,022ab(三)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|)的动点的MFFFF2211轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a,|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”FF21加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线;若2a,|，则无轨迹. FFFF2211若,时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若,时，轨迹为双曲线的另一MFMFMFMF1212支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2222xyyx2222. 双曲线的标准方程:,1和,1(a,0，b

7、,0).这里b,c,a，其中|=2c.FF212222abab要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 223.双曲线的标准方程判别方法是:如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上;如果项的系数是正数，则y焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题:? 正确判断焦点的位置;? 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质 22cxye,11.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率,1，离心率e越大，双曲线的开口越大. 22aab2222xybxyy,x,0

8、,12. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是2222aababm2222y,x，即，那么双曲线的方程具有以下形式:，其中k是一个不为零的常mx,ny,0mx,ny,kn数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点22xy,1的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是(-c，0)和(c，0)，与它们对应的准线方程分22ab22222xyaaa,1(0,0)abPFex,，|()|xx别是和.双曲线的焦半径公式， 122ccabc2aPFex,|()|. 2c4.双曲线的内外部 2222xyxy00,1(0,0)

9、ab,1Pxy(,)(1)点在双曲线的内部. 002222abab2222xyxy00,1(0,0)ab,1Pxy(,)(2)点在双曲线的外部. 002222abab5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 2222xyxyb(1)若双曲线方程为渐近线方程:. ,1,0,y,x2222ababa22xyxyb(2)若渐近线方程为双曲线可设为. ,0,y,x22ababa2222xyxy,0,0(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为(，焦点在x轴上，焦点在y轴,1,2222abab上). 6. 双曲线的切线方程 22xxyyxy00(1)双曲线上一点处的切线方程是. ,1,1(0,0)abPxy(,)0

10、02222abab22xxyyxy00(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. ,1,1(0,0)abPxy(,)002222abab22xy22222(3)双曲线与直线相切的条件是. ,1(0,0)abAaBbc,AxByC，,022ab(五)抛物线的标准方程和几何性质 1(抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。 2222y,2pxy,2pxx,2pyx,2py2(抛物线的方程有四种类型:、. 对于以上四种方

11、程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 23(抛物线的几何性质，以标准方程y=2px为例 (1)范围:x?0; (2)对称轴:对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0，0)，注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心); (4)离心率:e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的; px,2(5)准线方程; (6)焦半径公式:抛物线上一点P(x1，y1)，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p,0): p

12、p22ypxPFxypxPFx,，,，2:;2:1122pp22xpyPFyxpyPFy,，,，2:;2:1122 (7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p,O)12的焦点F的弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的倾斜角为，则有?|AB|=x+x+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。 2(8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x+bx+c=0，当a?0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可;但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是

13、和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。 2y,(,y)22,2(,)xyypx,2y,2pxP(2pt,2pt)或2p,4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 . 22bacb4,bacb4,22yaxbxcax,，,，()(,),(0)a,24aa24aa5.二次函数的图象是抛物线:(1)顶点坐标为;22bacb41,，41acb,(,),y,24aa4a(2)焦点的坐标为;(3)准线方程是. 6.抛物线的内外部 222Pxy(,)Pxy(,)ypxp,2(0),ypxp2(0)ypxp,2(0)0000(1)点在抛物线的内部.点在抛物线2,ypxp2(0)的外部.

14、22Pxy(,)Pxy(,)ypxp,2(0),ypxp2(0)0000(2)点在抛物线的内部.点在抛物线22ypxp,2(0),ypxp2(0)的外部. 222Pxy(,)Pxy(,)xpyp,2(0),xpyp2(0)xpyp,2(0)0000(3)点在抛物线的内部.点在抛物线2,xpyp2(0)的外部. 22Pxy(,)Pxy(,)xpyp,2(0),xpyp2(0)0000(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线22xpyp,2(0),xpyp2(0)的外部. 7. 抛物线的切线方程 2Pxy(,)yypxx,，()y,2px0000(1)抛物线上一点处的切线方程是. 2Pxy(,)yyp

15、xx,，()y,2px0000(2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 22AxByC，,0ypxp,2(0)pBAC,2(3)抛物线与直线相切的条件是. (六).两个常见的曲线系方程 fxy(,)0,fxy(,)0,12(1)过曲线,的交点的曲线系方程是 fxyfxy(,)(,)0，,12(为参数). 22xy，,1222222kab,max,kab,min,akbk,(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当2222min,max,abkab,时,表示双曲线. 22ABxxyy,，,()()1212(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 2222ABkxxxxyy

16、co,，,，,，(1)()|1tan|1t,(x,y),B(x,y)2112121122(弦端点A，由方程y,kx，b,2F(x,y),0,0kax，bx，c,0,AB 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率). (八).圆锥曲线的两类对称问题 Pxy(,)Fxxyy(2-,2)0,Fxy(,)0,0000(1)曲线关于点成中心对称的曲线是. Fxy(,)0,AxByC，,0(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是 2()2()AAxByCBAxByC，Fxy(,)0,2222ABAB，. 四(基本方法和数学思想 22xy，,122ab1.椭圆焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆(ab0)上任一

17、点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则PF,a，ex,PF,a,ex1020(e为离心率); 22yx,122ab2.双曲线焦半径公式:设P(x0,y0)为双曲线(a0,b0)上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则: PF,a，ex,PF,a，ex1020(1)当P点在右支上时，; PF,a,ex,PF,a,ex1020(2)当P点在左支上时，;(e为离心率); 2222yyxx,1,02222abab另:双曲线(a0,b0)的渐进线方程为; pPF,x，023.抛物线焦半径公式:设P(x,y为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则;y2=2px(p,0)00

18、pPF,x，02上任意一点，F为焦点，; 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 22byx,5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，?0); y,x,(,22aab6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x，y)、B(x,y)，则弦长 1122222 AB,1，k,x,x,(1，k)(x，x),4xx211212112,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想; ,1，,y,y,(1，),(y，y),4yy21121222kk2222yxbb27.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距

19、为p; 双曲线,122caab(a0，b0)的焦点到渐进线的距离为b; 228.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax+Bx,1; 29.抛物线y=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x,y)、B(x,y),则有如下结论:(1)AB,x+x+p;(2)11221222pyy=,p，xx=; 1212422xyAB,2a，e(x，x)10.过椭圆(ab0)左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦，,11222abAB,2a,e(x，x); 122y2011.对于y=2px(p?0)抛物线上的点的坐标可设为(，y),以简化计算; 02p22xy12.处理椭圆、双曲线、抛物

20、线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x，y)、B(x,y)为椭圆(ab0)，,1112222ab2222bbyx上不同的两点，M(x,y)是AB的中点，则KK=;对于双曲线(a0，b0)，类似可得:K.K=;,100ABOMABOM2222aaab2p2对于y=2px(p?0)抛物线有K, ABy，y1213.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y),0，是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法):若

21、动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y)的变化而变化，并且Q(x,y)又在某已1111知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x、y，再将x、y带入已知曲线得要求的轨迹方程; 1111(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P处的切线PT平分?PFF在点P处的外角. 122. PT平分?PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长

22、轴为直径的圆，除去长轴的两12个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 22xxyyxy00，,1，,12222Pxy(,)Pab0000ab5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 22xy，,122Pxy(,)000ab6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程xxyy00，,122ab是. 22xy，,122，,FPF,12ab7. 椭圆 (a,b,0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦,2Sb,tan,FPF122点角形的面积为. 22

23、xy，,122ab8. 椭圆(a,b,0)的焦半径公式: |MFaex,，|MFaex,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)102012009. ,( , ). 10. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 11. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. 222xyb，,1kk,OMAB222(x,y)00aba12. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 2bx0K,AB2

24、ay013. 即。 2222xxyyxyxy0000，,1，,，222222Pxy(,)000ababab14. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 2222xxyyxyxy00，,1，,，222222Pxy(,)000ababab15. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 二、双曲线 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右

25、支;外切:P在左支) 22xxyyxy00,1,12222Pxy(,)Pab0000ab5. 若在双曲线(a,0,b,0)上，则过的双曲线的切线方程是. 22xy,122Pxy(,)000ab6. 若在双曲线(a,0,b,0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点xxyy00,122ab弦P1P2的直线方程是. 22xy,122，,FPF,12ab7. 双曲线(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则,2Sbco,t,FPF122双曲线的焦点角形的面积为. 22xy,122Fc(,0),Fc(,0)12ab8. 双曲线(a,0,b,o)的焦半径

26、公式:( , Mxy(,)|MFexa,，|MFexa,1020009. 当在右支上时，,. Mxy(,)|MFexa,，|MFexa,10200010. 当在左支上时，, 11. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF. 12. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. 22xy,122(x,y)00ab13. AB是双曲线(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则2

27、2bxbx00KKK,OMABAB22ayay00，即。 22xy,122Pxy(,)000ab14. 若在双曲线(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是22xxyyxy0000,2222abab. 2222xxyyxyxy00,1,222222Pxy(,)000ababab15. 若在双曲线(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论) 椭 圆 22xy1. 椭圆(a,b,o)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于PP时AP，,1Aa(,0),Aa(,0)1、2112122ab22xy与AP交点的轨迹方程是. ,12222ab

28、22xy，,122Axy(,)00ab2. 过椭圆 (a,0, b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则2bx0k,BC2ay0直线BC有定向且(常数). 22xy，,122，,PFF,，,PFF,1221ab3. 若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，ac,tantco,ac22，则. 22xy，,122ab4. 设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在?PF1F2中，sin,c,e，,FPF,，,PFF,，,FFP,，sinsina,121212记, ,，则有. 22xy，,12221

29、,ab5. 若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0,e?时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 22xy，,122ab6. P为椭圆(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2|2|aAFPAPFaAF,，,，AFP,2112,当且仅当三点共线时，等号成立. 22()()xxyy,00，,122AxByC，,0ab7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是22222AaBbAxByC，,，()00. 22xy，,122OPOQ,ab8. 已知椭圆(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.(1)222

30、211114abab，,，22222222S|OPOQab,OPQab，ab，;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是. 22xy，,122ab9. 过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于|PFe,|2MNP，则. 22xy，,122Px(,0)0ab10. 已知椭圆( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 2222abab,x0aa则. 22xy，,122，,FPF,12ab11. 设P点是椭圆( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则22b,2Sb,tan,|P

31、FPF,PFF1212,2，1cos(1).(2) . 22xy，,122，,PAB,ab12. 设A、B是椭圆( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, 22|cos|ab,|PA222，,PBA,，,BPA,accos,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) 222ab,Scot2,PAB22tantan1,e,ba.(3) . 22xy，,122labEF13. 已知椭圆( a,b,0)的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、ClBCx,B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为

32、直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 17. (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 18. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 19. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 22xy,11. 双曲线(a,0,b,0)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于PPAa(,0),Aa(,0)1、22122a

33、b22xy，,1时AP与AP交点的轨迹方程是. 112222ab22xy,122Axy(,)00ab2. 过双曲线(a,0,b,o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，2bx0k,BC2ay0则直线BC有定向且(常数). 22xy,122，,PFF,12ab3. 若P为双曲线(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ca,ca,tantcotantco,，,PFF,ca22ca2221，则(或). 22xy,122ab4. 设双曲线(a,0,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在?sin,c,e，,FPF

34、,，,PFF,，,FFP,(sinsin)a,121212PF1F2中，记, ,，则有. 22xy,12221，ab5. 若双曲线(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1,e?时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 22xy,122ab6. P为双曲线(a,0,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|2|AFaPAPF,，AFP,AF,2122P,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立. 22xy,12222222AxByC，,0AaBbC,ab7. 双曲线(a,0,b,0)与直线有公共点的充要条件是.

35、22xy,122OPOQ,ab8. 已知双曲线(b,a ,0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且. 222211114abab，,22222222S|OPOQab,OPQba,ba,9. (1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是. 22xy,122ab10. 过双曲线(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线|PFe,|2MN交x轴于P，则. 22xy,122Px(,0)0ab11. 已知双曲线(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 2222ab，ab，x,x,00aa则或. 22

36、xy,122，,FPF,12ab12. 设P点是双曲线(a,0,b,0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则22b,2Sb,cot,|PFPF,PFF1212,2,1cos(1).(2) . 22xy,122，,PAB,ab13. 设A、B是双曲线(a,0,b,0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, 22|cos|ab,|PA222，,PBA,，,BPA,|s|acco,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1). 222ab,Scot2,PAB22tantan1,e，ba14. (2) .(3) . 22xy,122labEF15. 已知双曲线(a,0,b,0)的右准线与x

37、轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相ClBCx,交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 17. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 18. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 19. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 20. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 21

38、. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式: 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式:12ABkxxyy,，,，,11 12122k2、直线的一般式方程:任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。 3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)与直线垂直的直线可表示为。 4、两平行线间的距离为。 5、若直线与直线平行 则 (斜率)且(在轴上截距) (充要条件) 6、圆的一般方程:，特别提醒:只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。 7、圆的参数方程:(

39、为参数)，其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元:; 8、为直径端点的圆方程 切线长:过圆()外一点所引圆的切线的长为() 9、弦长问题:?圆的弦长的计算:常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解:;?过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程. 习题部分 例题1 求过点(2，1)且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。 xy，,1错解:设所求直线方程为。 ab211，,1ab,4?(2，1)在直线上，?， ? 又，即ab = 8 ， ? 2ab由?、?得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。 剖析:本题的“陷阱

40、”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。 11事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。 ab22故所求直线方程应为:x + 2 y = 4，或(+1)x - 2(-1)y 4 = 0，或(- 1)x - 2(+1)y +4 = 0。 2222例题2 已知三角形的三个顶点为A(6，3)，B(9，3)，C(3，6)，求A。 ，0,(,1)6,3k,kACAB00错解:? k= 0 ，k = = -1，? tanA=1.又0,A,180，? A=45。 ，AB AC 3,61，0,(,1)1

41、，kAC,kAB剖析:本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。 kAC,kAB0事实上，所求角应是直线AB到AC(注意:不是AC到AB)的角。? tanA= - 1，A=135。 ，1，kAC,kAB例题3 求过点A(-4，2)且与x轴的交点到(1，0)的距离是5的直线方程。 2错解:设直线斜率为k，其方程为y 2 = k(x + 4)，则与x轴的交点为(-4-，0)， k12?，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y 6 = 0 。 ,4,1,55k剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的

42、直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 例题4 求过点(1，1)且横、纵截距相等的直线方程。 xy，,1错解:设所求方程为，将(1，1)代入得a = 2，从而得所求直线方程为x + y 2 = 0。 aaxy，,1剖析:上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点aa(1，1)的直线y = x 也符合条件。 2 2 2例题5 已知圆的方程为x+ y+ ax + 2y + a = 0 ，一定点为A(1，2)，要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。 243,aa2 2 错解:将圆的方程配方得: ( x + )+ ( y + 1 )= 。 24

43、243,aa?其圆心坐标为C(,，,1)，半径r ,。 24AC当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 , r 。 2a43,a222 (1，)，(2，1)即 ,。即a+ a + 9 , 0，解得a?R。 422 2 2AC剖析:本题的“陷阱”是方程x+ y+ ax + 2y + a = 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 , r ，即2 2 a+ a + 9 , 0，却忽视了a的另一制约条件4 3 a, 0。 222 2 ,3,3事实上，由a+ a + 9 , 0及4 3 a, 0可得a的取值范围是()。 332例题6 已知直线L:y = x + b与曲线C:y =有两个公共点，求

44、实线b的取值范围。 1,x,y,x，b,2 2 错解:由消去x得:2y- 2by + b 1 = 0。 ( * ) ,2y,1,x,2 2 ? L与曲线C有两个公共点， ? = 4b 8 ( b,1 ) 0，解得,b, ,222剖析:上述解法忽视了方程y =中y ? 0 ，, 1 ? x ? 1这一限制条件，得出了错误的结论。 1,x事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。 ,22, , 4b-8(b-1) ,0,-2b,y，y,-,0 解得1? b ?。 21,22,2b,1,yy,012,2,例题7 等腰三角形顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)

45、，求另一个端点C的轨迹方程。 2222(x,4)，(y,2)(4,3)，(2,5)错解:设另一个端点的坐标为( x ，y )，依题意有:AC=AB，即:= 2 2 ? (x - 4)+ (y - 2) = 10即为C点的轨迹方程。这是以A(4，2)为圆心、以为半径的圆。 剖析:因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。 x，3,4x,3,2事实上，C点的坐标须满足，且， ,y，5y,5,22,2 2 故端点C的轨迹方程应为(x - 4)+ ( y-2 )= 10 ( x

46、3,y5;x5,y,1)。 ,10它表示以(4，2)为圆心，以为半径的圆，除去(3，5)(5，-1)两点。 5x，3y,15,y,x，1例题8 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件: ,x,5y,3,错解:作出可行域如图1所示，过原点作直线L:3 x + 5 y = 0 。 0由于经过B点且与L平行的直线与原点的距离最近， 0x,5y,3,故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为(3，0)，? z,33，50=9。 ，最小,5x，3y,15,由于经过A点且与L平行的直线与原点的距离最大，故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 0y,x，1,3535解方程组，得A点坐标为(，)。? z,3，5= 17 。 ，最大,22225x，3y,15,剖析:上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的0点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。 事实上，过原点作直线L:3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y