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1、一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程P(x)y 二 Q(x) dxi叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果Q(x) = ,则方程称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程学 P(x)y 7dx2的通解问题。分离变量得- - P(x)dx y两边积分得In y P(x)dx In c或-IP(x)dxy = c e其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程i的通解将1的通解中的常数c换成的未知函数u(x)，即作变换两边乘以得-JP(x)dxy = u e v 7P(x) y = uP(x)e= P(x)dx两
2、边求导得业二 u eP(x)dx-uP(x)e P(x)dx dxe-JP(x)dx = Q(x), = Q(x)P(x)dx u = c Q(x)e 呛叫于是得到非齐次线性方程i的通解y = e- P(x)dxQ(x)e P(x)dxdx 1将它写成两项之和y = C eP(x)dx e- P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解。由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。套用公式齐次通解+非齐次特解套用公式套用公式套用公式【例1】求方程套用公式套用公式dy 2ydx x 13二(X 1)2套用公式套用公式的通解
3、解:2dxy = e x 1 c32 dx(x 1)2e x 1 dx3二 eln(x 1)2 c (x 1)2 en(x 1)2dx1=(x 1)2 c (x 1) 2dx 二(x 1)2 c 2(x 1)2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式、贝努利方程方程dy P(x) y = Q(x) yn ( n - 0,1) dx叫做贝努利方程。当n = 0时，它是一阶线性非齐次微分方程dy P(x) y = Q(x) dx当n =1时，它是一阶线性齐次微分方程字P(x)-Q(x)厂 0 dx当n = , 1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为
4、一阶线性微分方程。具体解法如下：业 P(x) y = Q(x) yn 二 yn 凹 P(x) y_n = Q(x) dxdx血)P(x) yV Q(x) dx1 n、 d(y )dx1 一 n(1 - n)P(x) y1 n二(1 - n)Q(x)1 一n令y _ z，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程(1 - n)P(x) z = (1 - n)Q(x) dx套用公式【例2】求贝努利 dxdyy = a(ln x)yx2的通解。1 dy 1 解：y2 dx二axyIn x-d(y )1 (y)= a Inxx, dxd(y1)dx1 (y1) =x-!dxx-aln x(Jdxc - a I n x e x dx elnx c - a In x enxdxIn xx c - a dx x c _ I (In x)2 x