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1、绝对值的最小值问题研究知识应用说明 学习一次函数后练习题知识点：绝对值，最小值，一次函数，三角形面积，最小和问题绝对值的最小值问题研究（数形结合知识）杨贤德第一、绝对值问题绝对值的几何意义是表示绝对值内面的的这个数所表示的点到原点的距离。如6表示数轴上点6到原点的距 离（答案：6）；卜12.4表示数轴上表示的点-12.4到数轴原点的距离（答 案：12.4） ； |0表示数轴上表示的点0到数轴原点的距离（答案：0）。第二、两个不定的绝对值的和的最小值问题如4-x +2x-18的最小值问题，14-x的最小值是零，但其极值点是当且仅当x=4时， 才有4-x =0,必x-18的最小值是零，但其极值点是
2、当且仅当x=9时，才有2x-18=0. 要使4-x + 2x-18有最小值，则 4x9 ,因此， 在 4x9 时|4-x+ 2x-18 一定最小值， 即4- x + 2x -18 =4-x+18-2x=24-3x,24-3x 的最小值是24,则|4-x+2x-18的最小值是2 4 .第三、拓展运用，求x-7+|x-8+x-9的最小值。解：x-7有最小值0,止匕时x=7; |x-8有最小值0,止匕时x=8; |x-9有 最小值0,此时x=9 .先讨论两端|x-7|+|x-9|的几何意义是数轴上表示数x的点到表 示数7和9的点的距离之和，由此几何意义可知，当数轴上表示数 x 的点位于表示数7和9的
3、点之间（含表示数7和9的点）即7 WxW9 时，|x-7| + |x-9的值最小，即x-7-x+2 ,最小值是2;再讨论中间点的问题 |x-8|的几何意义是数轴上表示数x的点 到表示数8的点的距离，由此几何意义可知，当数轴上表示数x的点 与表示数8的点重合即x=8时，|x-8|有最小值0,止匕时x=8的值最小 是 8-8=0.综上，当x=8时，|x_7+|x_8+|x_9|有值最小,最小值是 2+0=2.第五、两个三角形面积和最小问题已知函数y=|x+5 与y2 = 2x-14.在直角坐标系内画出yi = x + 5与y2= 2x-14的两个绝对值函数 的图象。y1=x+5的图象与x轴的交战是
4、A,在yi = x+5图上取一点P （非A点），向X轴作垂线，垂足为M,这时有sAPAM ; y2 = 2x-14的 图象与x轴的交战是B,在y2 = 2x-14图上取一点F （非B点），向X 轴作垂线，垂足为N,这时有sAFBN ;并讨论在x取什么样的值时有 S=sAPAM +3FBN取得有最小值，并求这个最小值。函数y1 =|x+5与y2 = 2x-14的交战坐标是，在一5 x 7的范围内的点，即在 -5 x7时y =x+5,且有y=142x解得3x=9所以x=3 .当x=3时，yi = y2=8 点P与点F均是（3, 8）我们发现点P与点F重合时，S=sAPAM +3FBN有最小值，此时
5、P （或F）的坐标是（3, 8）1S=sAPAM +3FBN = （ （7+5）黑8 = 48我们发现点P与点F不重合时，无论是向左或是向右移动，都会 增加面积，因此，只有点P与点F重合时，即X=3时，才会有最小的 面积，S=48.事实上，X的取值在小于-5或者大于7时，其面积将分别大于 144 和 72.x-5时，S越来越大于144; x?7时，S越来越大于72.对于-5三x三7,我们列表救出 S=sAPAM +SFBN的值如下：XS面积注明当x-5时，S越来越大-5144不能取-4121.5-3102-285.5-172061.5154249.5348此时S有最小值452.5554661.5772不能取当x?7时，S越来越大5