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1、数值分析期末考试设 V80,若要确保其近似数的相对误差限为0.1%,则它的近似数x至少取几位有效数字？ （ 4分）解：设x有n位有效数字 因为8遥4 780 81 9,所以可得x的第一位有效数字为 8 （ 1分）111又因为101 n 10 2 ,令1 n 2 n 3,可知x至少2 81000 10具有3位有效数字（3分）二、求矩阵A的条件数Cond（A）1 （4分）其中A解：A121.510.5（1分）11 / 10|A11=7 （1 分）a 7（1 分）Cond（A%492（1分）三、用列主元消元法法求解以下方程组（6分）x1 2x2 3x320x1 x2 2x382x1 4x2 x392
2、419112812 3202419032.53.504 2.524.512 320解： 1128241904 2.524.5032.33.5241904 2.524,5 (4 分)00 35817582x1 4x2 x39,等价三角方程组为：4x2 2.5x324.5, ( 1分)35175x3,88同代得 x35, x2 3, x11 ( 1 分)四、设 f（x） x4 3x3 x2 10,x0 1,x1 3,x22,x3 0.1）求以x,x1,x2,x3为节点的3次多项式；（6分）2）求以x0,x1,x2,x3为节点的3次多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：
3、由 x 1,x1 3, x22,x3 0 可得f(x0)11, f(x1)1, f(x2) 34, f(x3)10即得：L3(x)f (x0)(x (x0x1)(xx1)(x0x2)(x x3)x2)(x0x3)f (x1)(x x)(x x2)(x x3)(x1x0)(x1x2 )( x1x3)(x x)(x x1)(x x3)(x x0)(x x1)(x x2)f (x2) f (x3)(x2x0)(x2 x1)(x2 x3)(x3x0 )(x3 x1)(x3 x2)11 (x3)(x2)(x0)( (x1)(x2)(x0)(13)(12)(10)(31)(32)(30)34 (x 1)(
4、x 3)(x 0)( 10)(2 1)( 2 3)( 2 0)(x 1)(x 3)(x 2).10 6x 6x2 x3(0 1)(03)(0 2)2）计舁差商表如下：xf(xi)一阶差商一阶差商二阶差商1-113-15-234-740-10-225-1则N3(x)115(x 1) 4(x1)(x 3) (x1)(x 3)(x 2)10 6x 6x2 x3f (4)()3)R3(x)(x x0)(xx1)(xx2)(xx3)x(x 1)( x 3)(x 2)4!1五、给定方程组 Ax b,其中A 3w试确定w R的取值范围，使求解该方程组的迭代法与迭代法均收敛。（10分）解：1)迭代格式的特征方
5、程为3w 0w 00,即34w20,求得 i 0, 22w, 3 2w于是当且仅当2w 1 |w :时，迭代法收敛(5分)w w2)迭代格式的特征方程为：0 3w23w2 0,一220 w w求得1 0, 2 0, 3 4w2 ,于是得w 2。故当|w 1时，求解该方程组的迭代法与迭代法均收敛。六、设2,、4bb a(b a)f(x) C a,b , f (x)dx f (a) f (b) a212f(a)求上述求积公式的代数精度，弁利用求积公式给出计算f (b)f(x)dx的一个复化求积公式。(12分)解：1)当f(x) 1时，左边b a右边当f(x) x时，左边(b2 a2)右边2当f (
6、x) x2时，左边3(b3 a3)右边当f (x) x3时，左边1(b4 a4)右边4当f (x) x4时，左边=1 (b5 a5)右边5因此，所给求积公式具有3次代数精度。(6分)i n.2 )将a,b作 n等分，记 h ba,Xi a ih,0 nba f(x)dxXi 1Xf(x)dx, (2 分)而 i 1 f (x) dx 为(xi)f(xi1)， 、-f (Xi 1),由此可得复化公式ba f(x)dx11 h-f(Xi) f ( 1) 02f (Xi 1)2gxih2Xi 1) 一 f (a) f (b) (4 分)123七、求f(x) X2在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。(
7、8分)解：令所要求的多项式为：P1(x) a bx ,即取0(x)1, 1(X) X ,计算(0,0)11)2(1. 1)12.1(f.0)2(f,1)35I (4 分)得法方程组:-b21 b32527解方程组得a4 36Pi (x)一 一 x35 3535，b 36，于是得一次最佳平方逼近多项式为 (4分)八、写出方程的迭代格式，并迭代一次求近似解( 6 分)(1) 在 x02 附近的根。(2) 在 x0 1附近的根。解：（1）取 X0 2 ,则 Xi 17(3 分)9则xk ixkx2 3xk exk 22xk 3 exk取 x。1,则 xi 4(3 分)1 e九、已知三点公式（1。分）
8、111f （x）dx 5 f （疝6） 8 f （0） 5 f （ 40.6）,用该公式估算 0yXdx 的 999值。解：令t ax b,于是有：1ab a 4 ,于是t 4x 3 1 0.5a b b 3dx 1dt，于是0yxdx力/出（5分）令f（t） 1K3,就得：4 . 41 f（x）dx5 f（J06）- f（0）勺 f（V06）51 ;3_118 -if3-1 I3-19999449 41 494 .4（5分）十、龙格库塔(10分)取步长h 0.4,写出用经典四阶方法求解初值问题dx xsin(x y)的计算公式。y(1) 0(1 x 9)解：xn x0 nh 1 0.4ny0
9、 0(1 分)Vn 1yn(kl2k22k3 k4)6klf(Xn，Vn)k2f (Xn5，Vnh2kl)(6 分)h hk3f (Xn- , yn k2)k4f (Xnh, ynhk3)取n 0,1,2 ,20,其经典四阶计算公式为：0.4Vn 1 yn g(kl 2k22k3 k,)k1(1 0.4n)sin(1 0.4n yn)k2(1.20.4n)sin(1.20.4nyn0.2k1)(3 分)k3(1.20.4n)sin(1.20.4nyn0.2k2)k4(1.40.4n)sin(1.40.4nyn0.4k3)卜一、用乘窑法计算矩阵A按模最大特征值和相应的特征向量。取x(0)(1,1
10、,1)T ,迭代两步即可。(7分)4 14 0其中A 5 13 0解：yAx4 1401105 1301810211(1) 10 (3 分)(1) ytX(1,0.8,0.1)y414017.2yAx51300.85.41020.10.87.27.2相应特征向量取-1 5.4（4分）7.20.8十二、设X0,X1,Xn为n 1个互异的节点，li(x)(i 0,1n)为这组节点n上的n次插值基函数，证明：xikli(x)xk(k 0,1 n) (8分)。0证明：对于k 0,1, ,n,令f(x)xk ,则f(x)的次插值多项式为nLn(x)xkli(x) (2 分)i 0相应的余项为 Rn(x) f (x) Ln (x)1f(n1)(x)(x x)(x xn)(2 分)(n 1)!由于 k n,所以 fn1(x) 0,即 Rn(x) 0 (2 分)从而得出xk Ln(x) n即得证xkl i (x)xk(k 0,1 n) (2 分)0(2) f(x) X2 3x ex 2, f(x) 2x 3