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1、第四章性线方程组的代解迭法四章第线方程组的迭性解代法向和量阵矩的数范Ja obic迭代法Ga ussSei-del迭法 代代法的迭敛收性松弛代法迭(基G于-S加的收速方法)误敛差析分言引点：特方该法具有对计算机存贮的元需单少，求程序设简计单原始系数、 阵矩计在算过程不中等变优点，求解大是型疏矩稀阵方程的重要方组.法.1向量4和矩阵的范数量的范数向矩的范阵数阵基矩础识回知顾向量的数范证(1明：)11 xlll xlll 1x2 I xn Imlax lx k III xl I n 1 axml x k I Ik n 1 kn 所以 明(2 证:)ll xl III xl 1 I n I lx I
2、I II llx 2x x 2 nx21 22 ma xl xll k n k 2II x 121 n amxl k lx Ik n 2 所以II xl 11 lx II 2 nil x II明(证):3II Ixl 1 xlll 1x2 I I n xll x 1121 x x2 nx21 2 21 Ixl I 211 x II 1x1112 1x11112 122n 11 Il2x I I xl I ( x 12x ) (x 1 xn ) ( x2 x3 )2 2 212 (x2 xn )( xn 1 xn ) 0 2所2以II 1x12 llx II 1 n II xll2矩阵的范数基础
3、知回识顾矩特征阵值A是n阶方阵，设果存如在常数Xn和非零维向量列 使下式x成立1.Ax x则入称矩为阵A的特征值，称x为对应A特征于值人特征向的，上 式量可写为还。A ( )1x0关这个于n维其次性线方组程非零有解的充必分要 件是A条I 0.2矩求逆阵(等初变换法)行.2矩阵求逆(伴随矩法)阵A 11 A其A*中为A代数的子余式A一每代数余项子的符号式-1为八(+ji)迭代的基本法思：想：例解方求组程8x1 3x 22 x3 2 04x1 11 x2 x3 33 6x 3x 2x 1 362 3 1 现将原程方改组为写 1 xl 8( 3 x 22x 3 20) 1 x 2 4(x 1 3 3
4、3x) 11 1x312(6xl3x2 36 )其确精是解*x=3,(2,)T。1 简写 *=为 Bx+0,f 中 3其20 88 1 4 BO 101113 60 12 1 2 20 8 33 f 11 3 6 12任取始初值，取x(0如)(0=0,)0,T代x入B=0+x右f边，等式若立则求得方 程组成的,解则否得，新值 x(l=()xll(),x(12,x)31()T)=2.(,53,3),T再将(lx)代， 反入计算复，一得向序量列xk)(一般的计算公式和迭代公式():1简写为 (k+lx)B=0(kx+)k,1,2,0迭代到 1 第次。有时(3x 2 x 2)0x8 ( k)ll(k
5、 (k)x ( 4x x 2 13 3 3) 11 k( 1)1 k( )(k )(6 x 1 3x 2 6)3 x 321 k )( 2k ) (3( k ) 11 x 1 (0=)3.(0000321.9,9938,08.99983)T II1 s 10()|oo=|x( 10)|x-ll*=0.001870定:义(1)对给于方定程x=Bx+组，用f代公式迭(kx+)lBx(k=+) fk=(,10.2) 逐步代入近似解求方法的迭称法；代若8时klmix k)(在(存记x为*，称此) 代迭法敛收显，然x就*方是组程的解，则称否迭法代散发(;3)B为迭代称阵。 矩问：题如建立何代迭格式？量序
6、向的列敛收件条？敛收速？度差估 计？误42泰馆13迭1代法若人奇异，且对非角不元为，零将原程组改方写为.34Ga us-Seisdel 迭法代44.迭法代的收性敛设求线解方性组的迭程格代式为x(k )1 B x()k f 方程组而的精确为X*,则X*解B * x f将上面式相减两，得 x(k 1) *x (Bx ( k)(k )*x)令(k)xx *k 01,2,则(k 1) B( k) B 2( kl) B kl 0()意注(0 )x0) x(* 为非零常 向量数取范k数kB(O) B当即kk(0)B 1 lim k 0 lini xk *kx 且B越小，k x x*的速度越就快。定理:X*
7、为方设程人组乂=的解b,若IIBII1则，对迭代式格xk+l)(=Bxk()+f, 有()llxl(k)II Bl lk)(k 1() xl*ll xl xlll I I Bl(21 )llx (k)IIB 11( 1)(0) * llx II x xl I 111 B II k证 I由 IIB1I有,lmxik k()*xxk(l)-x* +=Bx()+k ) - (fBx+*f)=B(x(k )- * x)ll (kxl+)- * |x |B| |x(k)- X* 11所以1x(1) -kx * ll=llx(k)- x(k(+1) (+x( +k 1)-* x)|x|()k -(xkl
8、+1) +111 xk(+)lx*k I |x()- xk(+l)ll +klBllllxl- x*(kll=)llxk+( 1-)x( kll) ll+BI III (k)-x*x II所以I lx (k)l ( k)(l k x) *11 llx xlll IIB II (kx+l-x(k)=(x(B)k-f) -B(x-kl)-f)=(xBk)( -(xkl) -)lx(kll)-+(kxl)l | B| | (x)k-x(-l)kl 蔽可误差估得计:式 llxk()IIBIIx*llllx (k ) x(k ) 111 111 Blkl I IB II llx k() x* 11 ll
9、x 1() x(0) 111 I Bl II注：IIIIBk() ( 1)式 II xx *111 x(kl )x ( kl)ll 1 IIB II 说，明只要 IBIII 是 很不接近，lx(k当+1)和x( k很)接时近x,(k)也越接近x*故，可用II x(kl) -+ (k) xl中I止迭。代(2 式)kll B IIII x (k ) x *1 III x() 1x( 0)11 1 I BIII说明LBII越小I, x(k 收)越敛快可作误，差估计式。定理：代格迭式x (k )1 Bx(k)收敛的f要条充件为代迭阵的谱矩半径 ()BC证:对任何1 n矩阵B、都存在非阶奇矩异阵，使PB
10、二Pl-JP其中，J为B 的J roda标n型。准J1 J J2rJ nn 中其 J,为 iJodarn 块 iiJ 1 i ni in 1其期是矩中B阵特的值征,由B=P -1JPB k=P-l(JP)( P-J1P) (P-1J )=PP1 J- Pk 迭代法 x(+k)lk B=kx(k)B 0 f +fc=ilmk kli JmIm i iOk klil 1半径谱()B lamx I il 11 i r注XB g 且B为对当阵称，时AT 即=,A ()=BIIB 12o13.判例下列别程组方J用cobi法a和Gaus-sSiedl法求解是否收敛:e 1 1 2 2 12 2x 1 11
11、x21x11310 解:求 acJob 法 i 迭代的阵 1 矩BJ 1 D(LU ) 0 0 0 0 01201 02 201221020 221 0显BJ然几种常用的算子数I范UIB1,故I用特征值其断。判d et( I B J ) ed t 1 2 222 103所以 0 (BJ) m x(a II) 0 1Ja即obic迭法代收敛。(2)求Gasu-Seisdl法的迭代矩e阵：1 IB G ( D L ) U 12 0 10 2 0 1 1000 020 21 0BG 故 000 2 0223 2可得0 2(BG ) max( I) I 2 1所以Guas-Ssidee迭1法代散发。注
12、本：说明Gauss- Se例dei迭1法发代散时而Jacbi迭代法。却敛收，此，不因说能auGsSseiedl 迭法代J比acbi迭。法更好代O迭代法收的敛他结其论：定义A设二(ijan)nnRn a a i i ji 若，jOji ni(=l,2”n),则称为对A角优矩占，阵若等不严式成立，格则称为严A对角 占优格阵矩。定理若Ax二中Ab为严对格角占矩优阵，Jac则obi代迭Ga和us- seSdile代迭均收。敛证明因为：系数矩阵严A格对占角，所优以I iai I lajij ili 12, n3 i ,2,31 ,nil aj li 1 I iailj i1 BD(L )(1)对UJ于a
13、cob迭i代，法其迭矩阵代为J 0 a 2 IJ B a2 2 a nl a nnJBla a21 0 1 na a2 nnal anl a21n a21 mx I aaji I 1 i aili j I iJ故coaib代迭法收敛且:()B |A| Al-11=11111=1故,条件是一放大数倍数，且的以1为下 总界。(3当)为正交A阵(A矩:A1)时，有Tocn(d)2=A,l所以交正矩阵的程方 组是态的。良:已知 Hi 例 Ibet 矩阵 rl 1 2 11 nH 321 1 n n 11 n 1 nl1 2n 1 cnd(oH)3=74 8 计可得算。ncd(H)62.9=017cod
14、(Hn7)9=8.5108n 越，Hn 的大条件数越大故Hi,belt矩阵是一r个典的型病矩态。阵II / 1 2/3 如 A /I 12 3/ 141/31/41/5III b 23IV b b 2 3.1得可 x=(2 70.000- 92100.0 02100.00)0Tx x=(+3.0000 0-1020.00 2O8.OO2O)OT 残差量:向rb-二Ax(为xxA=b的似解近)1很小时，当是否xA为x=的一个b较 好近似解的？呢定理事(误后估计差)设非A异，x奇和*x分别A是乂=的b确 精解近和似，解二br-Ax残差为向，则量x* x rco dn() A x b证明* :由 x*A ,br b xAx * x A 1 r x* x lArb 又 Ax* Ax *x* x 得1 A A ondc A( )x *bb本章作业P73习四题：，425