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1、实用标准文档文案大全一、新课讲授:通项公式和前n项和求数列前N项和的方法1.公式法(1)等差数列前n项和：Sn(ai an) na1 皿3n 212特别的，当前n项的个数为奇数时，S2kl式在很多时候可以简化运算。(2)等比数列前n项和：q=1 时，Sn na1d na1 1 qq 1, Sn ，特别要注意对公比那n1 q(3)其他公式较常见公式：n11、Sn k 1n(n 1)2k 12n13、Sn k3 n(n 1)2k 12123例 1已知 log3 x ，求 x x xlog 2 31)gak 1 ,即前n项和为中间项乘以项数。这个公、Snk2 -n(n 1)(2n 1)k 16xn
2、的前n项和.例2*设 Sn=1+2+3+ - +n, nCN,求 f(n)Sn(n 32)Sm的最大值.2 .错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an -bn的前n项和，其中 a n 、 b n分别是等差数列和等比数列 .例 3求和：sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 12n,前n项的和.2n24 6例4求数列，,工2 22 23练习：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)x n-1答案：当 x=1 时，S=1+5+9+(4n-3) =2n-n当 xw1 时，S=*4：-；，) +1- (4n-3) xn 3 .倒序相加法求和这是推
3、导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).例 5求sin21sin2 2sin23 sin2 88 sin289 的值4 .分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可111._例6求数列的前n项和：1 1,_ 4, 7, ，ry 3n 2, a aan1J J1、，练习：求数列12,24,38，?，（n 了工？的前n项和。5 .裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,
4、然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an f(n 1) f(n)(2)sin 1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan nan111n(n 1) n n 1（4）an(2n)2(2n 1)(2n 1)1木）（5）an1n(n 1)(n 2)1 r 11一2 n(n 1) (n 1)(n 2)(6) ann 2 Jn(n 1) 22(n 1) n 1 n(n 1)2n一nr n，则Sn 1 n 2 (n 1)2(n 1)2 111， 一例 9 求数歹U 尸,：=尸,p=1, 的前 n 项和.1.2 -2.3. n 、.n 1例10在数列an中
5、，ann 一2,又bn ,求数列b n的刖n项的和.例11 求证：；cos0 cos1解：设S1cos0 cos11cos1 cos 21cos1 cos21cos177 2Tcos88 cos89sin 11cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan n1cos0 cos11 .(tan 1sin11 cos1 cos2 tan0 ) (tan21 cos88 cos89 tan1 ) (tan3 tan2 ) tan89（裂项）（裂项求和）tan88 n 1an an 1(tan 89 tan 0 ) = cot1 = -cossin 1sin 1s
6、in 1原等式成立1111练习：求3 15 35 63之和。6 .合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求s.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值. 例 14 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求 log 3 a1 log3 a2 log3 a10 的值 .7 . 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例 15 求1 11 111111
7、 1之和 .n个1练习：求5, 55, 555,，的前n项和。以上一个 7 种方法虽然各有其特点， 但总的原则是要善于改变原数列的形式结构， 使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决， 只 要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。实用标准文档文案大全、公式法（定义法）求数列通项公式的八种方法根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：an1 anf (n)a2ai若an1 anf (n) (na3La2f(1) f(2) L两边分别相加得an 1aiananf (n)f (n)例1已知数列an满足an 1an
8、2n 1,ai1 ,求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1an2n 1则an (an2( n 2(n 2(nan 1) (an 1an 2) L(n2 n1)1)1)n21)(n1 2( n (n 2)(n 1)1) 1所以数列2) 12an的通项公式为1(n例2已知数列an满足an 1an解法一:由 an1 an 2 31 得 an 1 an(2 21) 11, a1(a2 a1)1) (2 13,求数列a11) 1an的通项公式。an(an an 1) (an 1(2 3n 1 1) 2(3n 1 3n 2 n 1、23(1 3 )(2Lan 2 3n 2 3
9、21)31)(n(21)a2) (a232 1)3a1)ai(2311) 33n3n所以an3n解法二：an3anan 13nan3n(n1.2 3n1) 31两边除以3na3nan3an3nan 1)n 1因此则an(32(n3an为1)(3an 11歹13nan 2)*)(an 2(*an 3)*)a1&31)可an3n2(n31)2、累乘法2an 1行an适用于:) (313n 13n 1),) 3n 213n2n33nanf (n),则 a2 a1两边分别相乘得，如例3已知数列an满足an解：因为 an 12(n 1)5nf (n)ana3 f(1),-a2f(2),L2(nan?a1
10、f(k)1)5n an,3,所以an(332)a11、332) 32 3nan 1f (n) an3 ,求数列an的通项公式。0 ,则包 2(n 1)5n ,故 an实用标准文档anan 1 I a3 a2anL - aian i an 2 a- a2(n 1 1)5n12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 5-2(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n 2) L 21 3 n(n 1) 3 2n 1 5k n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an 3 2n1 5 n!.三、待定系数法适用于an 1 qanf (n)分析：通过凑配可转化为an 11 f
11、 (n)2an1f (n)；解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列an1 f (n),公比为23、列出关系式 an 11 f (n)2an 1f (n)4、比较系数求1,25、解得数列 an1f (n)的通项公式6、解得数列 an的通项公式例4已知数列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。解法一：Qan 2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又Qa1 1 2,an 1是首项为2,公比为2的等比数列an 1 2n ,即 an 2n 1解法二：Q an 2an 1 1(n 2),文案大全an 12an 1两式相减得an i an 2(an a
12、n l)(n 2),故数列an 1 an是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的 n 1.例5已知数列an满足an 1 2an 4 3 , a1 1,求数列an的通项公式。 n_ n 1、解法一：设an1132(an3 )，比较系数得 14, 2 2,则数列an 4 3n 1是首项为a1 4 31 15,公比为2的等比数列，n 1n 1n 1n 1所以 an 4 35 2,即 an4 35 2解法二： 两边同日除以3n 1得：曳4 - an 二，下面解法略3n 13 3n 32注意：例6已知数列an满足an 122an 3n4n 5, a1 1 ,求数列an的通项公式。解：设 an1 x(
13、n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)比较系数得x 3,y 10,z 18,所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18),2_ 2_由 a1 3 110 1 18 1 31 32 0,得 3n 10n 18 0则 an1 3(n ?10(n 1)18 2,故数列an 3n2 10n 18为以a 3n2 10n 18_2_ . 一一 a1 3 110 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此2n 1n 42an 3n 10n 18 32 2 ，则 an 2 3n 10n 18。注意：形如an 2 Pan 1qan时将
14、an作为f(n)求解分析：原递推式可化为an 2an 1 (p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得an 1 an为等比数列。例7已知数列an满足an 25an 16an,a11,a22 ,求数列an的通项公式。解：设an 2an 1(5)(an 1 an )比较系数得2,不妨取2,贝u an 2 2an3(an 12%是首项为4,公比为3的等比数列an 1 2an4 3n 1,所以an4 3n 15 2n四、迭代法例8已知数列an满足an 13( n 1)2n an5,求数列an的通项公式。解：因为an 13(n 1)2nan5所以3n2n 1 an an 13(n 1)2an 22
15、3n232(n 1) n 2( an 22) (n 1)3(n 2) 2n 3 32 (n 1) n 2(n 2) (n 1)an 333 (n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1) an 3(n 2) (n 1)L3n 1 2 3L L (n 2) (n 1) n21 2 LL (n 3)a1n(n 1)3n 1 n!2 2a1n(n 1)3n 1 n! 2 2又a15,所以数列an的通项公式为an 5。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9已知数列an满足an 1 2 3n a5, ai7 ,求数
16、列an的通项公式。n 5解：因为 an 1 2 3an, a1 7 ,所以 an 0, an 1 0。两边取常用对数得lg an 1 5lg an nlg3 Ig 2设 lgan1 x(n 1) y 5(lg an xn y)(同类型四)lg3 lg3 lg 2比较系数得， x , y 4164山 lg3 d lg3 lg2 lg3 d lg3 lg2lg3 lg3 lg2 n由 lg a 1 lg 7 10,得 lg an n -0,416441644164所以数列lg an 1g3n幽男3是以lg 7配蛇也工为首项，以5为公比的等比数列，41644164则lgan吟幽白(lg7幽幽雪尸，因
17、此41644164lgan(lg7幽幽性尸蛆n场幽4164464111n 11lg(7 3“ 3诅 24)5n 1 lg(34 3诟 2，1 1 1n 1 1- - j-n 1 lg(7 34 316 24)5 lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162丁)5n 4n 15n 1 1则 an 75n 1 3 162k。2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项1 ,求数列an的通项公式。2a例10已知数列an满足an 1 ,a1an 2解：求倒数得an 1111112anan 1an2 为等差数列，首项 1 ,公差为, an 1 ana121
18、，,、an-(n 1), an23、换元法适用于含根式的递推关系1例11已知数列an满足叫/4an 71）, a1 1 ,求数列an的通项公式。解：令bnJ 24%,则 an ( 1)代入an 11116（1 4不也24不）得1224(bn11121) 酒 7 D I即 4b21 (bn 3)2实用标准文档文案大全因为 bn Tr4a7 0，一 13人2bn 1 bn 3 ,即 bn 1 bn , 22一，、，1可化为 bn i 3 -(bn 3), 2所以bn 3是以b1 3 Ji 24al 3 小 24 1 3 2为首项，以g为公比的等比数列，因此 bn 3 2(2)n1 (1)n2,则
19、bn (1)n2 3,即 J1 24an (1)n2 3,得2(1)n(1)n3 42六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前加以证明。n项,猜出数列的通项公式，再用数学归纳法例12已知数列an满足an 1 an8(n2, a1 8 ,求数列an的通项公式。(2n 1)2(2 n 3)29解：由an 1a 8(n 1)n (2n 1)2(2n 3)2及a一，得9a2a3a4a2a38(1 1)88 224-7-2 一 一 2 1 T (2 1 1) (2 1 3)9 9 25 258(2 1)24834822(221)(2 23)252549498(3 1)48848022(231)(
20、2 33)49498181由此可猜测an(2n 1)2 1(2n1)2,下面用数学归纳法证明这个结论。(1)当 n 1 时，&2(2 1 1)2 12(2 1 1)288 ,所以等式成立。9(2)假设当n k时等式成立，即ak(22苦3则当历ak ia 8(k 1) k (2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)22(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 Z 2Z2(2k 1) (2k 3)-2(2 k 3)12(2 k 3)2-22(k 1) 1 12(k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1), (2)
21、可知，等式对任何 n N都成立。七、阶差法1、递推公式中既有Sn ,又有anS,n 1分析：把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的Sn Sn1，n 2方法求解。1.例13已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn 一(an 1)(an 2),且a2,a4,a9成等6比数列，求数列an的通项公式。1解：.对任忌 n N 有 Sn -(an 1)(an 2)61 . 一，当 n=1 时，s a1 (a 1)(a1 2),解得 a1 1 或 & 26一 - 一 1当 n2 时，Sn1 -(an1 1)(an1 2)6-整理得：(an an1)(an an 1 3)
22、 0 an各项均为正数，an an 1 32当a11时，an 3n 2 ,此时ada2a9成立当a1 2时，an 3n 1 ,此时a2 a2a9不成立，故a1 2舍去所以an 3n 22、对无穷递推数列例14已知数列a。满足a11, ana12 a23a3 L (n1)an i(n 2),求an的通项公式。解：因为 an a1 2a2 3a3L (n 1)an 1(n2)所以 an 1a12 a23a3 L(n 1)an 1nan用式一式得an 1an nan.则an 1(n 1)an(n2)故叱ann 1(n 2)所以anan an 1 lan 1 an 2a3a2a2n(n 1)3a2n!
23、7a2.由ana1 2a2 3a3(n1)an1(n2 彳#a2a1 2a2,贝U a2 a , 又知 a1 1则a21，代入得ann!o2所以,an的通项公式为八、不动点法不动点的定义：函数f (x)的定义域为f (x)XoD ,使f (Xo) X0成立，则称X0为Xo,在变形求解。an的通项公式。f(x)的不动点或称(Xo, f(Xo)为函数f(x)的不动点。分析：由f(x) X求出不动点Xo,在递推公式两边同时减去类型一：形如an 1 qan d例15 已知数列an中，a1 1,an 2a“ 1 1(n 2),求数列解：递推关系是对应得递归函数为f (x) 2x 1,由f (x) x得，
24、不动点为-1, , an 1 12( an1),类型二：形如ana an bc an d分析:递归函数为(1)c x d若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,再将两式相除得an 1an 1 q包_上，其中k ”, an qa qc(&q pq)kn1 (&p pq)(a1p)kn 1 (aq)(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p然后用1除，得an 1p an2c oa d例16已知数列an满足an21an 244an 1a14 ,求数列an的通项公式。解：令21x4x242,得4x120x 24 0 ,贝U X12, X2 3是函数f(x)21x 24 3的两个不动4x点。因为21anan 12an132424an 121an 24 34an 121an 24 2(4an 1)21an 24 3(4an 1)13an 269an 27亘_2。所以数列9 an 3a 2an是以an 3ai 2a1 34 2土 2为首项,4 313以13为公比的等比数歹u,9故免二 an 33。