轮换对称式的值问题(教案版).docx

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1、轮换对称式的值问题（教案版）作者:日期:22轮换对称式的最值问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位h在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。知识梳理1 .不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中，若把其中任何两个字母ai,aj i,j 1,2,., n且i j对调位置

2、后，这个不等式不变（如一a- 9,其中a,b,c 0）,我们便称此不等式是b c c a a b 2关于ai,a2,., an对称的。如果把不等式中的字母ai,a2,.,an按一定顺序依次轮换（如al222.2.22c a a b b cb c c a a b换成a2 , a2换成a3, . , an 1换成an）后不等式不变（如0,其中a,b,c 0）,我们便称此类不等式是关于a1,a2,., an轮换对称的。2 .对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如就不是对称的）。关于a1,a2,.,an对称的不等式，由于 ai

3、, aj互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列 a1,a2，an的大小顺序（如在中可设a b c）,而关于a1,a2,., an是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如a1an, a?an,，an ian,即某一个是其a b）,因为我们总可以通过轮换把某个字母调中的最大或最小（如中可设 a c, 整到最小或最大的位置。3 .取得最值的判定暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化 为不等式证明问题（此时取等

4、的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验 证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要 的。4 .轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（1） 凑项法（最常用）在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。主要细分为凑项降嘉法、凑项升嘉法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或 参数的值；判断是最

5、大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值 不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明。上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。（2） 求配偶式法（即（1）的进化版本）当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系 数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等 式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。其中设配偶式 求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。（3） “非常规最值”的应对

6、方法前几个方法中，首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为“常规最值”。然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没 有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节 不再做说明）和图像法等。例题精讲【试题来源】【题目】已知x, y,z R ,且x y z 1 ,求J4X1 、/4y1 J4z 1的最大值【解析】1.狷想当x y z 一时取得最大值, 3下证明M 1 J3(2y 5), j4z 1:73A(2z5、一），上述三式相加，并将3z 1代入此时d4x 144y 1 4Zz

7、 1 3一,最大值3为 J2T。因为 2 J： ”4x 1 7 4x 1 ,所以 J4x 1 A(2x ：),同理化简即得证。（本题也可以用琴生不等式易证得）【知识点】轮换对称式 凑项升哥法【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】证明Cauchy不等式a2 a；【答案】（证明题） 【解析】(a1a2an)2证明：设a1a2an a ,则 a2 (a)2 红 ai ,所以 a2 n (a)2 n ni 1n2a nai , n i 122即 aa?an2(a1 a2an )n【知识点】轮换对称式 凑项降嘉法【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【试题来源】1990年第24届全苏数学奥

8、林匹克【题目】设 X1, X2,Xn是正数，且X1X2Xn 1 ，2X1求X1X22X22Xn 1X2X3Xn 1Xn2Xn的最小值XnX11【答案】2 【解析】分析:由于当X1X2xn1 ，一, 一时等号成立，于nXi2XiXi 1Xi 1)。下证:设XnX1 ,因为2XiXiXiiXiXi1)Xi所以 一i 1XiXi2Xi 1nXi 1nXi i 11)nXi1【知识点】轮换对称式凑项去分母法Xi21Xi Xi 1【适用场合】【难度系数】当堂例题3【试题来源】1995.IMO设 a,b, c R1,求证:【答案】(证明题)2 2一 b c原不等式等价于a(b c)b(c a)当a=b=c

9、=1时等号成立，此时a(b(b c)2.2a bc(a b)c)1 a(b4b3(c a)c3(a b)c),所以,2 2b ca(b c)1 a(b4c)be,c2a21同理,b) 4b(c a)ca2. 2a bc(a b)1 /2-c(a b)ab ,上述三式相加并化简得2 2 b ca(b c)b(c a)2 2 c a2. 2a bc(a b)-(ab bc3 33ca) 一 一. ab bc ca -【知识点】轮换对称式 凑项去分母法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】一C C C111设a,b, c R ,且a b c 3,求的取小值。1 2ab 1 2bc

10、1 2ca【答案】1【解析】猜测值二为二二二1时，最小值为1。+ 力（1 + 2 布下证：令A0 ,由均值不等式得1 + 2心,此不等式等号成立条件是11+ lab又易知所证不等式等号成立的条件是1112A = -+ (1+ a = h=c = , 此时 9. 于是有1 + 2 93 , 同理有112112+ -(1 +给G -+ 0+ 2ca) -1十2儿93 , 1十2M 93 ,将这三个不等式相加得， + i + 5(2ab +2bc + 2s)1+1 + 2加 1 十 2m 3 9又由均值不等式可得，6 = 2（加之加+次4加u，代入上式显然得证。【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用

11、场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】*右x1,x2，xn为小于1的正数且x1 x2 . xn 1 , m, n N 且m 2, n 2,则11mXnXnmmX1 X1X2 X2【答案】（证明题）【解析】令鼻卞口，由均值不等式得证明：因M= L 2, 一炉），则均- r,任。1/）+巡区-琛”2声=玉一，此不等式等号成立的条件是用一可，即一, 一 ， 一 一, , 一 ，一天二 10二 12 ,又易知所证不等式等号成立的条件是 龙，此时r纷十萨 y Q西一看 耀 一1 （网 -1）,其中1二1,。一,期，将这忽个不等式相加得,州b1口片wJm代入上述不等式化简得:L 1、短邛111、

12、/L- T-7T + H- -7%一药 用一 1,即不一飞 为一电 /一/ 用一1 .【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】1, 一，一一,求S的取值范围。1 c【题目】非负实数a,b,c满足a b c 1,记S95【答案】9 S 542【解析】均造工等式六W1彳1当Gn或I时取等号注意到一1- 1 -；i +2济解当匕5七时*易知式访边吉：为常理最值.由不均不等式的黑讹有、匕+ + 丁司f I 1/修1刖行.即，泻式右边为非常规最值可对每一项构 造一个 睡当 的不等式.焉后相加，jf 1 - 却0。毛廿三】却上式成之.同理.;匚* I . T，当 八

13、。或1时取1等号, .L宅1 -U f当=0或I时取等号LI2以上三声句加写sd、t u T e/久中两个为（k一个为1时.上式等号成交注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端取等的不等式来帮助证明。【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2007女子数学奥林匹克（改编）【题目】非负实数a,b,c满足a b c 1,1 .2,1212记S a - b c 弋b 7 c a c - a b ,求S的最大值。【答案】2【解析】发现当a b c 1,S 73不是最大值。3修造不等式h + e + .同理中至少一个为什时.

14、等号成立L而式工a + cfm f 1 - cj J - u + K 20f/加又最后一式显然成立，故式成立.且当 此 二a即工中至少有一个为。对.等号成立L/ a -由/ * t 打+ 至少 一个为。时等号成立L以上三式相加徨_ . t titr - + 匚 r + u r仁g”卡7 4T -7 =二当之两个为。、一个为I时.上式 等号成立【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设角A R C满足cos2.22A cos2 B cos2 C*1求：sin2 A9【答案】92【解析】1 sin21，的最小值sin2 C分析：原条件等价于sin

15、2A sin 2 b sin2 C2 ,猜测当sin2 Asin2B sin2C时最小值为99 。下证：构造2sin 2 A一.2a9sin A 、3 54sin2 B一. 2 ,9sin B 、3 542 -1 9sin2Csin2 C3上述三式相加并化简得证。【知识点】轮换对称式 凑项去分母法【适用场合】【难度系数】随堂课后练习2【试题来源】【题目】已知a, b,c的最小值。b【解析】3a b c时显然有min为。-+下证：设白+占& ,则所求式 可化为言一百s-c , 进而变为 E ,再令 石 ,则U且/+y+= = 1 ,所求式变为:二-3.（换元使分子为常数，方便进一步的基本不等式）

16、+0）构造1一工，则此不等式等号成立的条件是丸2x = y = z丸=即 口一冷.又易知所证不等式等号成立的条件是3 ,此时 4 ,所以19193193193+ （1 -3岂一兀-之一尸十- z-b 1-r 4，即1工44 ,同理可得1-y 4，1一 44 ,将111 ，、 9十十之一（工+了十）十一这三个不等式相加得，1工i-3 一匕4二，又苏+y+=1 ,所以1 1 11-工i-y 1一了 2,故原不等式成立。【知识点】轮换对称式求配偶式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】1984年巴尔干地区数学竞赛题an n2 an 2n 1【题目】设 3Ha2，an n 2 且 a1

17、a2 . an 1,求证： 2 312a2【答案】（证明题）【解析】证明：所证不等式即 海一% 以一，也就是2 二一% “一，亦即22(1)之 2 22内222-hi 2一三 2同一1 ,也就是 1 2叼 2川一1 ,故只需证i-i 2/ 2月一 1一+儿(2 - 4) = 2)(2 二 0)二为12-马)构造2-冬，此不等式等号成立的条件是 2一qn _1I即 (2-马).又易知所证不等式等号成立的条件是 整，此时r /1, G =2足H = 7*2 (2 -乌)士(2” 1)3, 于 是 有 2一鸣(2盟-1)2”1, 即1 ._ 2/，义+a 2)2-马 2期-1 Qn-l),其中工=1

18、2e.将这耳个不等式相加得，个才 筋 _七三一至二i(2* 1 1代入得t-i 2 一12再一1，故原不等式成立.【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】2226设z 0， z x y,贝ux y z -(yz zx xy) o【答案】(证明题)【解析】分析：当 x=y=乙 时等号成立。证明：因为 x2 (-)2 xzy2 (-)2 yz , -(x2222y2) 3xy，将上述三式相加并化简得,221226 ex y-z一( xzyz) xy 555所以，x2y2z2-z22(xz yz) 6 xy4 z(x5555、2,、6y)5(xz y

19、z) 5xy即x2226y z -(yz5zx xy)。注：只有式的系数凑成 3,式中xy的系数才能是6 o 25【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】非负实数a,b,c满足a b c 1,记s /ar 4bn j4d,求s的最小值。【答案】2 ,5【解析】猜测端点处取最小值，最小值为2 ,.5下证：证明引入辅助函数） = vz4r + 1 0 I （月- + ”（）*）.要证明猜想成立，如图H,只需证明辅助 函数人工）为四函数即可.由二，/垢甘丁也知函数以)在0工(A-lJ6 + h/4r+ 1 (5 -l)c+ I.+H 口 + I +

20、 1 + ,/4c + 1 (耳l)(o + fr+j) + 3=(6-1 ) xl *3 =2 +方.故原不等式得证.【知识点】非常规最值-构造不等式/图像法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】第19届北欧竞赛题【题目】2a2设a,b, c R ,求证：b c一 2 一 22b 2c , a b cc a a b【答案】（证明题）令ao,由均值不等式得6十c+十玲之 2 dh75 a,此不等式等号成立条件是即 + G .又易知所证不等式等号成立的条件是& 5 = c ,此时也42,同理有右十口 22（?,将这【解析】三个不等式相加化简即得所证不等式 -一二-【知识点】轮换对称式 凑项去分母法/求配偶式法【适用场合】课后一个月【难度系数】3【试题来源】集训队【题目】1非负实数a,b,c满足ab bc ca ,证明S31a2 bc 1b2ac 12c ab 1【答案】（证明题）【解析】下界01的图像+.“m代人却式得因为R .K -以N+舍去415式左边是以，和和，山为底及探军由凸函数 及道;佞.对主.且左边较长.故式演也这法明 S取最大堂时必.月一受云为F而用苍像法证明己江+匚-1,一易知中位战长的2倍右边是以门口和 为震的悌形中位线长的2倍.而两银最大值3既是常规的也是非常规的 这是限少见的.止外.5百无其他最值I