最新一元二次方程知识点及考点精析优秀名师资料.doc

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1、一元二次方程知识点及考点精析博士教育 李老师 衡阳 一元二次方程知识点及考点精析 一、知识结构: 解与解法,根的判别一元二次方程 ,韦达定理,二、考点精析 考点一、概念 ?(1)定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (22ax(2)一般表达式: 其中是二次项，叫二次项系数;是一次项，叫一次项系数，是bxbax，bx，c,0(a,0)ac常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 ?难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ?该项系数不为“0”; ?未知数指数为“2”

2、; ?若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) 112222ax，bx，c,0x，2x,x，1 A B C D ，3x，1,2x，1，,2,02xx22kx，2x,x，3 时，关于x的方程变式:当k是一元二次方程。 m，例2、方程m，2x，3mx，1,0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 针对练习: 28x,7?1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。 m,1，m,2x,0?2、若方程是关于x的一元一次方程，?求m的值;?写出关于x的一元一次方程。 2?3、若方程，是关于x的一元二次方程，则m的取值范

3、围是 。 m,1x，m,x,1mn2?4、若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是( ) A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 ?概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ?应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 22例1、已知的值为2，则的值为 。 2y，y,34y，2y，122例2、关于x的一元二次方程，的一个根为0，则a的值为 。 a,2x，x，a,4,01 博士教育 李老师 衡阳 2例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。 a，c,b，ax，bx，c,0a,022a,bb,cx,4

4、x，m,0例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。 y,8y，5m,0针对练习: 2x，kx,10,0?1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。 x，12x，kx,2,0?2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。?求k的值; ?方程的另一个解。 ,3x,122x,x,1,0m,m,?3、已知m是方程的一个根，则代数式 。 22x,3x，1,02a,6a,?4、已知是的根，则 。 a2?5、方程的一个根为( ) ，a,bx，b,cx，c,a,0,1 A B 1 C D b,c,axy?6、若 。 2x，5y,3,0,则4,32,考点三、解法 ?方法:?直接开方法;?因式

5、分解法;?配方法;?公式法 ?关键点:降次 2类型一、直接开方法: ，x,mm,0,x,m222对于，等形式均适用直接开方法 ，x，a,max，m,bx，n典型例题: 222例1、解方程: =0; ，31,x,9,0;12x,8,0;225,16x22例2、若，则x的值为 。 ，9x,1,16x，2针对练习:下列方程无解的是( ) 2222x，3,2x,1x，9,02x，3,1,xA. B.， C. D. x,2,0类型二、因式分解法 : 依据A.B=0则A=0或B=0 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0 方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积，右

6、边为“0”， 2222x，2ax，a,0方程形式:如， ， ax，m,bx，n，x，ax，b,x，ax，c典型例题: 2 博士教育 李老师 衡阳 例1(解方程 13222 2 2 (1)10x-4.9 x =0 (2)x(x-2)+x-2 =0 (3)5x-2x-=x-2x+(4)(x-1) =(3-2x)44 22abab，22例2(已知9a-4b=0，求代数式的值( ,baab、的根为( ) 例3，2xx,3,5x,3525 A B C D x,x,3x,x,x,3122522例4、若，则4x+y的值为 。 ，4x，y，34x，y,4,02222222，a，b,a，b,6,0,则a，b,变

7、式1: 。 变式2:若，则x+y的值为 。 ，x，y2,x,y，3,022变式3:若，则x+y的值为 。 x，xy，y,14y，xy，x,282x，x,6,0例3、方程的解为( ) A. B. C. D. x,3,x,2x,3,x,2x,3,x,3x,2,x,2121212122例4、解方程: ， x，23，1x，23，4,0x，y22例6、已知,则的值为 。 2x,3xy,2y,0x,yx，y22x,0,y,0变式:已知,且,则的值为 。 2x,3xy,2y,0x,y针对练习: ?1、下列说法中: 22?方程的二根为，则 x，px，q,0x，px，q,(x,x)(x,x)xx1212222?

8、 . ? ,x，6x,8,(x,2)(x,4)a,5ab，6b,(a,2)(a,3)222x,y,(x，y)(x，y)(x,y)? ?方程可变形为(3x，1，7)(3x，1,7),0 (3x，1),7,0正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3 博士教育 李老师 衡阳 ?2、以与为根的一元二次方程是() 1，71,72222x,2x,6,0x,2x，6,0A( B( C( D( y，2y,6,0y，2y，6,0?3、?写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数: ?写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数: ?4、若实数x、y满足，则x+y

9、的值为( ) ，x，y,3x，y，2,0A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 125、方程:的解是 。 x，,22x2x,6y22y,0?6、已知，且，求的值。 x,06x,xy,6y,03x,y222007x,2008x，1,0?7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的，1999x,1998，2000x,1,0值为 。 22bb,4ac,2,x，,类型三、配方法 ，ax，bx，c,0a,0,22a4a,配方法解一元二次方程的一般步骤: (1)现将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配

10、成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q?0，方程的根是x=-p?q;如果q,0,方程无实根. 关键:把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方 在解方程中，多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题: 122 例1( 用配方法解下列关于x的方程 (1)x-8x+1=0 (2)x-2x-=0 2222 (3)2x+1=3x (4)3x-6x+4=0 (5)(1+x)+2(1+x)-4=0 2x,2x，3例2.试用配方法说明的值恒大于0。 22例3.已知x、y为实数，求代数式的最小值。 x，y，2x,4y，7y22x例4.已知为

11、实数，求的值。 x，y，4x,6y，13,0,x、y4 博士教育 李老师 衡阳 24x，12x，3例5.分解因式: 针对练习: 一、选择题 42 1(配方法解方程2x-x-2=0应把它先变形为( )( 3182181102222 A(x-)= B(x-)=0 C(x-)= D(x-)= 93339392(下列方程中，一定有实数解的是( )( 12222 A(x+1=0 B(2x+1)=0 C(2x+1)+3=0 D(x-a)=a 2222 3(已知x+y+z-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是( )( A(1 B(2 C(-1 D(-2 二、填空题 2 1(如果x+4x-5=0，则

12、x=_( 22 2(无论x、y取任何实数，多项式x+y-2x-4y+16的值总是_数( 2 3(如果16(x-y)+40(x-y)+25=0，那么x与y的关系是_( 三、综合提高题 1(用配方法解方程( 22 (1)9y-18y-4=0 (2)x+3=2x 3xy,222 2(已知:x+4x+y-6y+13=0，求的值( 22xy，2,10x，7x,4?3、试用配方法说明的值恒小于0。 1112?4、已知，则x，, . x，,x,4,02xxx2t,2,3x，12x,9?5、若，则t的最大值为 ，最小值为 。 a，2b,3c?6、如果,那么的值为 。 a，b，c,1,1,4a,2，2b，1,4

13、类型四、公式法 22 (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0，当b-4ac?0时，将a、b、c代入式子5 博士教育 李老师 衡阳 2,bbac4x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开2a方，这体现了公式的统一性与和谐性。) (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式( (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法( 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根( (5)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2)找出系数a,b,c,2注意各项的系数

14、包括符号。3)计算b-4ac，若结果为负数，方程无解，4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 2?条件: ，a,0,且b,4ac,02,b,b,4ac2x,?公式: , ，a,0,且b,4ac,02a典型例题: 例1(用公式法解下列方程( 12222 (1)2x-x-1=0 (2)x+1.5=-3x (3) x-x+ =0 (4)4x-3x+2=0 22分析:用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可( 2m，2例2(某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题( x(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在,若存在，求出m并解此方程(

15、(2)若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在，请求出( 你能解决这个问题吗, 针对练习: 一、选择题 2 1(用公式法解方程4x-12x=3，得到( )( 36,323,36,323A(x= B(x= C(x= D(x= 22226 博士教育 李老师 衡阳 2 2(方程x+4x+6=0的根是( )( 322A(x=，x= B(x=6，x=2，x= D(x=x=- C(x36222212121212 222222 3(m-n)(m-n-2)-8=0，则m-n的值是( )( A(4 B(-2 C(4或-2 D(-4或2 二、填空题 2 1(一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的求根公式是_，

16、条件是_( 2 2(当x=_时，代数式x-8x+12的值是-4( 22 3(若关于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_( 三、综合提高题 222 1(用公式法解关于x的方程:x-2ax-b+a=0( bc233 2(设x，x是一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的两根，(1)试推导x+x=-，x?x=;(2)求代数式a(x+x)12121212aa22+b(x+x)+c(x+x)的值( 1212例3、选择适当方法解下列方程: 22x,4x，1,0? ? ? ，31，x,6.，x，3x，6,8.23x,4x,1,0? ? ，3x,13x，1,x,12x，

17、5例2、在实数范围内分解因式: 2222,4x，8x,1(1); (2). ? 2x,4xy,5yx,22x,32ax，bx，c说明:?对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方22ax，bx，cax，bx，c法首先令=0，求出两根，再写成=. a(x,x)(x,x)12?分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 ?求代数式的值; ?解二元二次方程组。 典型例题: 32，x,1,x，12x,3x，2,0例1、 已知，求代数式的值。 x,17 博士教育 李老师 衡阳 232x，x,1,0x，2x,7例

18、2、如果，那么代数式的值。 32a,2a,5a，12x,3x，1,0例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。 a2a，1例4、用两种不同的方法解方程组 2,6,(1)xy, ,22x,5xy，6y,0.(2),说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:?先消元，再降次;?先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题. 2b,4ac考点四、根的判别式 221. 用b-4ac大于、等于0、小于0判别ax+bx+c=0(a?0)的根的情况及其运用 22222.掌握b-4ac0，ax+bx+c=0(a?0)有两个不等的实根，反之也成立;b-4ac=0，ax

19、+bx+c=0(a?0)有两个相等的22实数根，反之也成立;b-4ac0，ax+bx+c=0(a?0)没实根，反之也成立;及其它们关系的运用( 根的判别式的作用: ?定根的个数; ?求待定系数的值; ?应用于其它。 典型例题: 例1(不解方程，判定方程根的情况 2222 (1)16x+8x=-3 (2)9x+6x+1=0 (3)2x-9x+8=0 (4)x-7x-18=0 针对练习: 不解方程判定下列方程根的情况: 312222 (1)x+10x+26=0 (2)x-x-=0 (3)3x+6x-5=0 (4)4x-x+=0 416122 (5)x-x-=0 (6)4x-6x=0 (7)x(2x

20、-4)=5-8x 342例2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 x，2kx,1,0x2例3、关于x的方程，有实数根，则m的取值范围是( ) m,1x，2mx，m,0m,0且m,1m,0m,1m,1A. B. C. D. 8 博士教育 李老师 衡阳 2例4、已知关于x的方程 ，x,k，2x，2k,0(1)求证:无论k取何值时，方程总有实数根; ,(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。 2例5、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值. 9x,(m，6)x，m,2m22,，2,6,xy、为何值时，方程组有两个不同的实数解,有两个相同的实数

21、解, 例6m,mx，y,3.,针对练习: 2x，kx，9?1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。 23x,4x，2k?2、当取何值时，多项式是一个完全平方式,这个完全平方式是什么, k2mx,mx，2,0?3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 . ,，2,ykx,?4、k为何值时，方程组 ,2y,4x,2y，1,0.,(1)有两组相等的实数解，并求此解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解. 22x,4mx，4x，3m,2m，4k,0? ?5、当k取何值时，方程的根与均为有理数, m考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题: 2例1、关于x的方程 ，m，1x，2mx

22、,3,0?有两个实数根，则m为 , ?只有一个根，则m为 。 22例2、 不解方程，判断关于x的方程，根的情况。 x,2x,k，k,39 博士教育 李老师 衡阳 22x，kx，2,0x,x,2k,0例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根,若有，请求出这相同的根及k的值;若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 ?“碰面”问题;?“复利率”问题;?“几何”问题; ?“最值”型问题;?“图表”类问题 典型例题: 1(2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是( )

23、( 22 A(100(1+x)=250 B(100(1+x)+100(1+x)=250 22 C(100(1-x)=250 D(100(1+x)2(一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为( )( A(1+25%)(1+70%)a元 B(70%(1+25%)a元 C(1+25%)(1-70%)a元 D(1+25%+70%)a元 3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投11，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三入资金600万元，第二年比第一年

24、减少321年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少,(结果3精确到0.1，) 13,3.614、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答: (1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。 (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少, 5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 2(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm

25、，那么这两段铁丝的长度分别为多少, 2(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗,若能，求出两段铁丝的长度;若不能，请说明理由。 (3)两个正方形的面积之和最小为多少, 6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，10 博士教育 李老师 衡阳 乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 2ax，bx，c,0?前提:对于而言，当满足?、?时，才能用韦达定理。 a,0,0bc?主要内容:x，x,xx, ,1212aa?应用:整体代入求值。 典型例题: 125.145.20加与减（三）4 P68-742例1.

26、 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值. ,2x，3x,1,0xx12222x 11,(1)(4)()(3)(，,3)(x,3)xxx1x12221(2)，xx12 22xx21 (5),xxxx,，12(6)，21xx12最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。22x,8x，7,0例2、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D. 36弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.22例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根， ，kx，2k,1x，1,0x,x12(1)求

27、k的取值范围; (2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数,若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由。 例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗,其正确解应该是多少, (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）22a,2a,1,0b,2b,1,0例5、已知a,b，求a，b, 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。ab22a,2a,1,0b,2b,1,0变

28、式:若，则的值为 。 ，ba24,x,x,1,0例6、已知是方程的两个根，那么 . ,，3,(6）三角形的内切圆、内心.针对练习: 21.已知方程的两个根为，求的值. ,)(1，x)(1，xx，3x，1,0xx1212(一)情感与态度：2222.若m，n是方程的两个实数根,求代数式的值. mn，mn,mnx，2004x,1,043.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-2311 博士教育 李老师 衡阳 223.已知关于x的方程的两个实数根的平方和是11，求k的值. ，(2k，1)x，kx,0. 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。22)方程有两个不相等的正数根,(2)方程的两根异号, 4.m为何值时,(1x,4x，3m，1,02x，x,2m，1,012