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1、数理统计中常用的抽样分布,总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,数理统计中常用的抽样分布,统计量,定义：设(X1,X2,Xn )是来自总体X的一个样本,f(X1,X2,Xn)是关于X1,X2,Xn的一个连续函数且f(X1,X2,Xn)中不含有任何未知参数,则称f(X1,X2,Xn)是样本(X1,X2,Xn )的一个统计量.,设(x1,x2,xn )是相应于样本(X1,X2,Xn )的样本
2、值,则f(x1,x2,xn)称是f(X1,X2,Xn)的统计量值.,数理统计中常用的抽样分布,常用的统计量,设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,则,数理统计中常用的抽样分布,注意:若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,Xn的独立性及同分布性，有,数理统计中常用的抽样分布,证明,定理:设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有,数理统计中常用的抽样分布,定理:设总体X的均值为E(X)=,方差D(X)=2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有,证明,数理统计中常用的抽样分布,解,因为,数理统计中常用的抽样分布,2 数理统计中常用的抽样
3、分布,2.1 2分布,2.1.1 2分布的概念,数理统计中常用的抽样分布,2分布的的密度函数的示意图,数理统计中常用的抽样分布,2.1.2 2分布的构造,定理:设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且XiN(0,1),则统计量,数理统计中常用的抽样分布,2.1.3 2分布的性质,定理:设12 2(n1), 22 2(n2),且12与 22相互独立 ,则12 + 22 2(n1 + n2).,证明 由分布的可加性即可证明.,定理:若2 2(n), 则E(2)=n,D(2)=2n.,证明 因XiN(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1; D(Xi2)=E (Xi4)-E(Xi2)2=3-1=
4、2, i=1,2,n于是,数理统计中常用的抽样分布,2.1.4 2分布的上分位点,对于(0,1)给定,称满足条件:,的点n2()为n2分布的上分位点.,数理统计中常用的抽样分布,2.2 T分布,2.2.1 T分布的概念,数理统计中常用的抽样分布,T分布的的密度函数的示意图,数理统计中常用的抽样分布,2.2.2 T分布的构造,数理统计中常用的抽样分布,2.2.3 T分布的性质,(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0,(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即,数理统计中常用的抽样分布,2.2.4 T分布的上分位点,设Tt(n),对于(0,1)给定,称满足条件
5、:,的点tn()为t分布的上分位点.,数理统计中常用的抽样分布,注:,数理统计中常用的抽样分布,2.3 F分布,2.3.1 F分布的概念,数理统计中常用的抽样分布,F分布的的密度函数的示意图,数理统计中常用的抽样分布,2.3.2 F分布的构造,定理:设X 2(n1),Y 2(n2),且X,Y独立,则随机变量,数理统计中常用的抽样分布,2.3.3 F分布的性质,定理：,证明:设FF(n1,n2),则,得证!,数理统计中常用的抽样分布,2.3.4 F分布的上分位点,设F (n1,n2) ，对于给定的a,0a1, 称满足条件,的点F (n1,n2)为F分布的上分位点.,数理统计中常用的抽样分布,解,
6、因此有,数理统计中常用的抽样分布,试确定Z的分布.,解,由样本的同分布性知：,由此得：,由t分布的构造知:,数理统计中常用的抽样分布,数理统计中常用的抽样分布,3 一个正态总体下的统计量的分布,证明,数理统计中常用的抽样分布,定理:设(X1,X2,Xn)是来自总体XN(,2)的一个样本,则,数理统计中常用的抽样分布,且它们表示的随机变量是相互独立的,故,证明,数理统计中常用的抽样分布,解,所以,数理统计中常用的抽样分布,解,查表得,则有,由于,数理统计中常用的抽样分布,4 两个正态总体下的统计量的分布,数理统计中常用的抽样分布,定理：,证,数理统计中常用的抽样分布,其中,注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.,数理统计中常用的抽样分布,证明: (1)因为,所以,(2)因为,(3)故,所以,数理统计中常用的抽样分布,特别,当X2 = Y2时,有,数理统计中常用的抽样分布,证,由F分布的构造知,即,由于,且相互独立,数理统计中常用的抽样分布,解,数理统计中常用的抽样分布,解,其中,则,