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1、空间角和距离一、选择题本大题共10个小题,每题 5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只 有一项为哪一项符合题目要求的1 .直线m与平面 间距离为d,那么到m与 距离都等于2d的点的集合是 A. 一个平面B. 一条直线C.两条直线D,空集2 .异面直线a、b所成的角为,a、b与平面 都平行,b平面,那么直线a与平面 所成的 角A.与相等B.与互余 C.与互补D.与不能相等.3 .在正方体 ABCDABCD中,BC与截面BB D D所成的角为A. -B. -C. -D. arctan24 .在正方形 SG1G2G3中,E, F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿 SE, SF
2、及EF把这个正方形折成一个四面体,使 G1, G2, G3三点重合,重合后的点记为G,那么,在四面体 SEFG中必有A. SGEFG所在平面B. SDA EFG所在平面C. GFSEF所在平面D. GDA SEF所在平面45角,某人沿这条小 5.有一山坡,它的倾斜角为 30 ,山坡上有一条小路与斜坡底线成 路向上走了 200米,那么他升高了6.A. 100 V2 米B. 5042 米C.三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等,且以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为25 V6 米AB= AC= 73 ,D. 50V6 米BC = 2,那么以BC为棱,.3A. arccos 3( )B. arc
3、cos1C.327 .正四面体 A-BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点,那么EF和AB所成的角 A. 45B . 60C. 90D. 308 .把/ A=60 ,边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60的二面角,那么 AC与BD的 距离为A. 3 aB.aaC.maD.苗 a44249.假设正三棱锥的侧面均为直角三角形,侧面与底面所成的角为a ,那么以下各等式中成立的是A. 0VB. 的大小为(A.一6二、填空题11 .从平面 是本大题共4小题,每题6分,共24分2D. 一3外一点P引斜线段PA和PB,它们与 分别成45和30角,那么 APB的最大值 最小值是12 . ABC 中 ACB
4、=90 , PA 平面 ABC , PA=2, AC=2g ,那么平面 PBC 与平面 PAC,平 面ABC所成的二角的大小分别是 、.13 .在三棱锥 P AB C 中,ABC 90 , BAC 30 , B C = 5 ,又P A= P B =PC = AC,那么点P到平面ABC的距离是 .14 .球的半径为8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成45角,那么这个平面截球的截面面积为 .三、解做题共计76分15 .(本小题总分值 12分) SA平面 ABC SA=AB AB BC, SB=BQ E是SC的中点, DEL SC交 AC于 D.(1) 求证：SC1面BDE后(2)求
5、二面角E-BD-C的大小.N16 .(本小题总分值12分)如图,点P为斜三棱柱ABC AB的侧棱BBi上一点,PM BB1 交AA1于点M , PN BB交CC1于点N .(1) 求证：CC1 MN ; (2) 在任意 DEF中有余弦定理：DE 2 DF 2 EF 2 2DF EF cos DFE .拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三 棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证实.17 .(本小题总分值12分)如图,四棱锥 S-ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面 ABCD , SB= 3 .(1)求证 BC SC;(2)求面ASD与面BSC所成二面
6、角的大小；(3)设棱SA的中点为M ,求异面直线 DM与SB所成角的18 .(本小题总分值12分)在直角梯形 ABCD43,D= BAD=90,AD=DCAB=a,(如图一)将4ADC沿AC折起,使D至ij D .记面ACD为,面ABC为.面BCD为.(1)假设二面角AC 为直二面角(如图二),求二面角BC的大小;(2)假设二面角AC 为60 (如图三),求三棱锥 D ABC的体积.19 .(本小题总分值14分)如图,正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= J2 ,AF=1 , M是线段EF的中点.(1)求证AM/平面BDE;(2)求二面角A DF B的大小；(3)试在线段AC
7、上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60 .20 .(此题总分值14分)如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF 互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,假设CM BN a (0 a J2). (1)求MN的长；(2)当a为何值时,MN的长最小；(3)当MN长最小时,求面 MNA与面MNB所成的二面角 的大小.参考答案选择题本大题共 10小题,每题5分,共50分题号12345678910答案eBCABCAADD.填空题本大题共 4小题,每题6分,共24分三、解做题本大题共6题,共76分5,314.3211 . 750 ,15 012. 90 ,30 013
8、 .BEL SC -.DEX SC： SC,面 BDE15. 12 分1证实：1 SB=BC E 是 SC的中点2解：由1 SC JBD.SA,面 ABCSA JBDBD,面 SAC ： EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角设 SA=AB=a,贝U SB=BC= J2a在Rt SBC中,SC2a,在 Rt SAC中,DCE 300,在Rt DEC 中,EDC 600 .16. 12 分1证：CC/BB1 CC1 PM , CC1PN, CC1平面PMNCC1 MN ；2一 2一2 斛：在斜二楼枉 ABCA1B1C1 中,有 sabb1AlSBCC1B1 sacc1Al 2sBec1sl S
9、ACC1A1cos其中 为 平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角.CC1 平面PMN , 上述的二面角为 MNP ,在 PMN 中,_2_ 22_PM PN MN 2PN MN cos MNP222222PM2CC： PN2CC： MN2CC： 2PN CCMN CCcos MNP ,由于 SBCC1B1 PN CC1 , SACC1Al MN CC1 , SABB1Al PM BB1,右 o2o22倡 Sabb1Al SBCC1B1 Sacc1Al 2SBCC1B1 Sacc1Al cos .17. 12 分1证法一：如,二,底面 ABCD1正方形,BC DC,SD,底面ABCD
10、 ： DC是SC在平面ABCD上的射影,由三垂线定理得BC SC.证法二：如图1, 丁底面 ABCDt正方形,BCDC ; SD,底面ABCDSD BC,又 DCn SD=D ： BCL平面 SDC ： BC,SC2解：如图2,过点S作直线l AD, l在面ASD上, 底面abcM正方形,l / AD / BC, l在面bsc上,l为面ASM面BSC的交线.l SD AD, BC SC, l SD,l SC, / CSM面ASM面BSC所成二面角的平面角.以下同解法一3解 1:如图 2,SD=AD=1 / SDA=90 , .SDA是等腰直角三角形.又 M是斜边SA的中点,：DML SA. B
11、AI AD BAX SD ADA SD=D ： BAX面 ASD SA是 SB在面 ASD上的射影.由三垂线定理得 DML SB.;异面直线DM与SB所成的角为90 .解2:如图3,取AB中点P,连结MP DP.在AABS中,由中位线定理得 MP/SB ,DMP是异面直线 DM与SB所成的角.MP 1SB工3,又2221、25DM ,DP 1 (), 222.在4DMP 中,有 DP2=MP2+DM2,DMP;异面直线DM与SB所成的角为90 .9018. (12分)解：(1)在直角梯形ABC而,由 DAC为等腰直角三角形,AC J2a, CAB 45 ,过 C作 CHL AB,由 AB=2a
12、 ,可推得 AC=BC=J2a.AC BC .取AC的中点E,连结那么D E,AC 又二面角a AC 为直二面角,. D E 又.BC 平面BC D E. . BC DCDCA为二面角BC的平面角.由于 D CA 45,.二面角BC为45 .(2)取AC的中点E,连结D E ,再过D作D O ,垂足为 . AC de, AC oeD EO 为二面角 aO,连结OEAC的平面角,DEO 60 . 在 RtDOE 中,DE AC 与a , 221/_111. 6:16 3 , Vd ABCS ABC DO 1 1 AC BC D O2a 2a a a .33 2641219. (14分)解法一 :
13、(1)记AC与BD的交点为 O,连接OE, 丁.M分别是 AC EF的中点,ACEF是矩形,：四边形 AOEM!平行四边形,AMZOE OE 平面 BDE AM 平面 BDE ：AM/平面 BDE (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS!DF 于 S,连结 BS, ABLAF, ABLAD AD AF A, ： AB,平面ADFAS是BS在平面ADF上的射影,由三垂线定理得 BSL DF ： / BSA是二面角 A DF B的平面角.在RSASB中,AS至,AB收3tan ASB M3, ASB 60 ,二面角 A D B 的大小为 60o.(3)设 CP=t (0t2),作 PQLAB 于
14、 Q 那么 PQ/ AD. PQLAB PQLAF, AB AF A , ：PQL平面 ABF, QE平面 ABF, .PQLQF 在 RtPQF 中,/ FPQ=60o PF=2PQ PAM等腰直角三角形,： PQ (2 t)又 PAF为直角三 2角形,：PF (2 t)2 1,： &t)21 2 92(2 t)所以 t=1 或 t=3(舍去),即点P是AC的中点.解法二：(1)建立如下图的空间直角坐标系.NE又点A、M的坐标分别是(&4)22(- 2, - 2,0) 才2AM =(2,返,1)：NE2AM且NE与AM不共线,：NE/am 又 NE 平面 BDE AM平面BDE .AM/平面
15、 BDF.(2) - AFAB, ABAD, AF AD A, ：AB,平面 ADF设AC BD N ,连接NE那么点N E的坐标分别是(泥 泥小(0,0,1), 三,石0)AB ( J2,0,0)为平面DAF的法向量.NE DB =2也 1 2理,0=0,2 2,ne nF = 至 主 1江,&,0=0得2, 2,NE DB, NE NF ,NE为平面BDF的法向量.1, ,一一 一,、一. cos AB NE =_ ：AB与NE的夹角是60o.即所求二面角2A DF-B的大小是 60o.(3)设 P(t,t,0)(0 t 2) PF(72 t,2 t,1), . BC = ( 2 , 0,
16、 0)又PF和BC所成的角是60ocos60.(2 t)2 ( 2 t)2解彳1t _2或t 3 2 22舍去,即点P是AC的中点.20. 14 分解：1作 MP / AB 交 BC 于点 P , NQ /BE于点Q,连结PQ,依题意可得MP / NQ,且MPAB交即MNQP是平行四边形：MN由CMBNa, CBPQABACBFa.2,BEBQa.2,即CPBQMNPQ .(122CP)2 BQ2(1222(a2)(2)由(i) , MN|a与1,所以,当a 222时,MN22 1 (0 a .2)22N分别移动到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为3取MN的中点G ,连结AG、BG , AMAN , BM2BN , G为MN的中点,/ AGB即为二面角的平面角,又AG BG, 6,、人,所以,由余4弦定理有cos一26446 . 62 441,故所求二面角31arccos 一3