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1、二次函数(最全的中考二次函数知识点总结)1第一部分 二次函数基础知识 , 相关概念及定义 2abcyaxbxc,，, 二次函数的概念:一般地，形如(是常数，a,0)的函数，bca,0叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( 2yaxbxc,，, 二次函数的结构特征: xx? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( acabcb? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( , 二次函数各种形式之间的变换 22，y,ax,h，ky,ax，bx，c, 二次函数用配方法可化成:的形式，其中2b4acb,hk,，,.
2、2a4a22y,axy,ax，k, 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;222，y,ax,hy,ax,h，ky,ax，bx，c?;?;?. , 二次函数解析式的表示方法 2yaxbxc,，ac, 一般式:(，为常数，); ba,02yaxhk,，()a, 顶点式:(，为常数，); hka,0x, 两根式:yaxxxx,()()(，x，x是抛物线与轴两交点的横坐标). a,01212, 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数2x都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式bac,40才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以
3、互化. 2yaxbxc,，, 二次函数图象的画法 22yaxbxc,，yaxhk,，(), 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.0c0c一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称y，2hc，x0x0xx的点、与轴的交点，(若与轴没有交点，则取两组关于，12对称轴对称的点). x, 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交y点. 2y,ax, 二次函数的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 yyxx,0x,0时，随的增大而增大;时，随y00，轴 向上 a,0 y
4、xx,00的增大而减小;时，有最小值( yyxx,0x,0时，随的增大而减小;时，随y00，轴 向下 a,0 yxx,00的增大而增大;时，有最大值( 2yaxc,，, 二次函数的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x时，随的增大而增大;时，随yyx,0x,00c 轴 y， a,0向上 xc的增大而减小;时，有最小值( yx,0x时，随的增大而减小;时，随yyx,0x,00c 轴 ，y a,0向下 xc的增大而增大;时，有最大值( yx,01 2yaxh, 二次函数的性质: ，a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时，随x的增大而增大;时，yyxh,xh,h0 ， a,0向
5、上 X=h 随x的增大而减小;时，有最小值( yxh,0时，随x的增大而减小;时，yyxh,xh,h0 ， a,0向下 X=h 随x的增大而增大;时，有最大值( yxh,02yaxhk,，, 二次函数的性质 ，a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 时，随x的增大而增大;时，yyxh,xh,hk ， a,0向上 X=h 随x的增大而减小;时，有最小值( yxh,k时，随x的增大而减小;时，yyxh,xh,hk ， a,0向下 X=h 随x的增大而增大;时，有最大值( yxh,k2yaxbxc,，, 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a, 的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;
6、当时，开口向下; a,0a,0相等，抛物线的开口大小、形状相同. ab, 对称轴:平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. x,yyx,02a2b4acb,(，), 顶点坐标: 2a4aa, 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 2y,ax，bx，c, 抛物线a,b,c中，与函数图像的关系 a, 二次项系数 2ayaxbxc,，二次函数中，作为二次项系数，显然( a,0aa ? 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; a,0aa ? 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之
7、的值越大，开口越大( a,0aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( , 一次项系数 ba 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( b? 在的前提下， a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; ,0yb,02ab当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,0yb,02ab当时，即抛物线对称轴在轴的右侧( ,0yb,02a? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0b当时，即抛物线的对称轴在轴右侧; ,0yb,02ab当时，即抛物线的对称轴就是轴; ,0yb,02a2 b当时，即抛物线对称轴在轴的左侧( ,0yb,02a总结起来，在a确定的前提下
8、，决定了抛物线对称轴的位置( b总结: , 常数项c ? 当时，抛物线与轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; yyc,0? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; yyc,00? 当时，抛物线与轴的交点在x轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( yyc,0总结起来，c决定了抛物线与轴交点的位置( y总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( abc, 求抛物线的顶点、对称轴的方法 22b4acb,2yaxbxcax, 公式法:，?顶点是,，,，,2a4a,2b4acb,b(，),，对称轴是直线. x,2a4a2a2，y,ax,h，k, 配方法:运用配
9、方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. x,hhk, 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. , 用待定系数法求二次函数的解析式 2y,ax，bx，cx, 一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. y2，y,ax,h，k, 顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. xxx, 交点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:21，y,ax,xx,x. 12, 直线与抛物线的交点
10、2y,ax，bx，cc, 轴与抛物线得交点为(0, ). y2y,ax，bx，c, 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点yx,h2(,). ah，bh，ch2y,ax，bx，cxx, 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐2xxx标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的ax，bx，c,021交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: x ?有两个交点抛物线与轴相交; ,0,xx ?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; ,0,x ?没有交点抛物线与轴相离. ,0,x, 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的
11、纵坐标相等，设纵2坐标为，则横坐标是的两个实数根. ax，bx，c,kk2，y,kx，nk,0y,ax，bx，ca,0, 一次函数的图像与二次函数的图像lykxn,，,的交点，由方程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同G,2yaxbxc,，,的解时与有两个交点; ?方程组只有一组解时与只有一个交点;?lGlG,方程组无解时与没有交点. lG,2xxy,ax，bx，c, 抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为3 2，x，由于、是方程的两个根，故 Ax，0，Bx，0xax，bx，c,02121bcx，x,x,x,1212aa22b4cb,4ac,22，AB,x,x,x,x,x,x,4
12、xx, ,12121212aaaa, 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 x轴对称 , 关于22 yaxbxc,，关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc,; 22yaxhk,yaxhk,，关于x轴对称后，得到的解析式是; ，, 关于轴对称 y22 yaxbxc,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxbxc,，; y22yaxhk,，yaxhk,，关于轴对称后，得到的解析式是; y，, 关于原点对称 22 yaxbxc,，关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc,，,; 22yaxhk,，yaxhk,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; ，, 关
13、于顶点对称 2b22yaxbxc,， 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc,，,; 2a22yaxhk,，yaxhk,，关于顶点对称后，得到的解析式是( ，mn, 关于点对称 ，22yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22mn关于点对称后，得到的解析式是 ，, 总结:根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变a化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( , 二次函数图象的
14、平移 , 平移步骤: 2yaxhk,，hk? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; ，2hkyax,? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: ，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位, 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk概括成八个字“左加右减，上加下减”( 4 , 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 , 三点式。 23231，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A(，0)，B(，0)，C(0，-3)三点，求抛物线的解析式。 ,2，已知抛物线y
15、=a(x-1)+4 ， 经过点A(2，3)，求抛物线的解析式。 , 顶点式。 221，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A(2，1)，求抛物线的解析式。 22，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为(3，1)，求抛物线的解析式。 , 交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3，0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 (6）三角形的内切圆、内心.12，已知抛物线线与 x 轴两个交点(4，0)，(1，0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 2当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。, 定点式
16、。 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.15,a21，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一y,x，x，2a,222定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。 y,(a,2)x，222，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 23，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 , 平移式。 21， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线2y=a( x-h) +k,
17、求此抛物线解析式。 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。2y,x，x,32， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. , 距离式。 21，抛物线y=ax+4ax+1(a，0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 22，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m，0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:, 对称轴式。 221、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶
18、点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 22、 已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B(点A在点B左边)两点，交 y轴于点C,且2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。3OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。 48.直线与圆的位置关系, 对称式。 二次函数配方成则抛物线的1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A(-10，0)，AC=16，D(2，6)
19、。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。 122， 求与抛物线y=x+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。 , 切点式。 221，已知直线y=ax-a(a?0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 22， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A(2，1),求抛物线的解析式。 , 判别式式。 21、已知关于X的一元二次方程(m+1)x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线2y=-x+(m+1)x+3解析式。 22、 已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 23、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。5 tan16