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1、云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文：例谈化归法在解三角函数题中的运用（ 2014高考）摘要:所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结化归法就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法。本文对化归法在解三角函数题中的运用作了一些探讨。 关键词: 转化 化归法 三角函数 高考，在过去我们称之为黑色七月，今天，高考已经成为我们生活中的一件大事.有谁知道我们学子的压抑与苦闷，又有谁知道我们学子们为之奋斗的种种艰辛与劳苦.其实，高考不仅仅是一门竞技比赛，它同样是一门艺术，研究高考就要从历年的高考试题入手，将其进行分类归纳总结，并通过高考试题窥探高考动向，总结高考规律，
2、从而真正的征服高考，把握住自己的命运. 而在数学考试中，胜算的最主要因素不只是坚实的基础，更重要的是建立在一定基本功和能力基础上的那种做题的“方法和技巧”.有句话说“学语文的可以把一句话扩展成一本书，学数学的可以把一本书缩成一个符号”， 数学不是死教材只要我们掌握了方法，便将所向无敌! 化归是一种重要的数学思想所谓化归是指将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理的一种思维方法.即把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法. 化归法是数学家们常用的一种方法,也是数学方法论
3、中研究的基本方法之一.笛卡儿曾设想 :将任一问题化归为数学问题 ,将任一数学问题化归为代数问题 ,将任一代数问题化归为方程求解.尽管他这种理想化的通用方法没有成功 ,但他的这种化归思想却十分宝贵 ,正是这种化归思想 ,促使他完成了解析几何的奠基工作.实际上 ,中学数学中 ,化归方法的应用 ,无处不在。匈牙利著名数学家路莎 ? 彼得也在名著无穷的玩艺中曾经指出:“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击,而是不断地将它变形,直到把它转变成能够得到解决的问题”. 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公
4、式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,今后几年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 经分析，三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型: 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. cos(80),:,k,那么例1(
5、10全国I卷理2)记tan100:, ( )221,k1,kkkA. B. - C. D. - 22kk1,k1,k评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2(10全国1卷文1)( ) cos300:,1133(A) (B)- (C) (D) ,2222评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3(10重庆文数15)如题(15)图，图中的实
6、线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，C,(1,2,3)i,ii,，,232311coscossinsin,则_ 3333评注:本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 3cos2,例4(10全国卷1理数14)已知为第三象限的角，,5,tan(2)，,则 . ,4评注:本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目. y,Asin(x，)3、,的图象和性质 图像变换是三角函数的考察的重要内容. 解决此类问题
7、的关键是理解的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响. A,yx,sin(2)例5(10全国卷2理数7)为了得到函数的图像，只3,yx,，sin(2)需把函数的图像( ) 6,(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移个44长度单位 ,(C)向左平移个长度单位 (D)向右平移个22长度单位 评注:本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图象变化的影响是历年考yAx,，sin(),生的易错点，也是高考的重点. ,例6(10辽宁理数5)设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右,3,4平移个单位后与原图像重合，则的最小值是( ) ,3243(A) (B) (C)
8、(D)3 332评注:本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了对三角函数图像知识灵活掌握的程度. 4、三角形中的三角函数 此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理. 例7(10天津理数7)在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，22若，则A=( ) abbc,3sin23sinCB,0000(A) (B) (C) (D) 3060120150评注:解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算. 通过恰当地使用正弦、余弦定
9、理将有关的边角确定，从而解决问题。 . 例8 (10江苏卷13)、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为batantanCC，,6cosC，a、b、c，则=_. abtantanAB评注:三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 5、三角应用题 此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等. 例9(10北京文7)某班设计了一个八边形
10、的班徽(如图)，它由腰长为1， 顶角为,的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 ( ) (A)2sin2cos2,，; (B) sin3cos3,，(C) (D)2sincos1,， 3sin3cos1,，评注:本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想( 例10(10福建理19()某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (?)若希望相
11、遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少, (?)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 评注: 本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力. 对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题. 6、三角函数的最值及综合应用。 此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三
12、角函数最值问题仍将是高考的热点.如: 2例11.(10湖南文数16. )已知函数 fxxx()sin22sin,.(I)求函数的最小正周期; fx()(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合. fx()fx()评注:本小题依托三角函数化简考查函数值域作为基本的知识交汇问题考查基本三角函数变换.例12(10山东理17) 11,2,，,，,fxxx()sin2sincoscossin()(0)已知函数，其图,222,1(,)像过点. 62(?)求的值; ,1(?) 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐yfx,()2,0,标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最ygx,()gx()
13、4小值. 评注:本小题主要考察了综合运用三角函数公式的能力、灵活运用图像变换求三角函数最值问题的能力，以及分析问题，解决问题的能力. 分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主.主要可归结为以下三类: 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类. 33xx,且axxx(cos,sin),b(cos,sin),例13.已知向量. ,22222(1)若|3a，,b，求x的取值范围; ,xx,fx()|,，abab(2)函数，若对任意，恒有,122t,求的取值范围. |()()|fxfxt,12二、运用三角函数性质解题，通常考
14、查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心. 例14.若，在函数mn,(3sin,0),(cos,sin),0,xxx,的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当fxt()(),，mmn4,x,0,时，的最大值为1. fx()3(1)求函数的解析式; fx()13，(2)若，求实数的值. x,fxx(),0,2,11,),(0,)a,b,例15.已知向量, ，, ，. b,(1a,(sin,2cos,),252sin2,及sin, (1)求的值; ,2f(x),5sin(,2x，,)，2cosx(x,) (2)设函数，求x为何值时，f(x)2422函数的取值范围是全体实数；取得
15、最大值，最大值是多少，并求的单调增区间. f(x)xx33,a,(cos,sin),向量b,(sinx,cosx),x,0,例16.设向量. 22222a,b及|a，b| (?)求; 30 o45 o60 of(x),a,b，2|a，b|(?)若函数，求的最小值、最大值. f(x)5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。 xxx2fx()sincos3cos=+例17.已知函数. 333fx()AxBsin()wj+(I)将写成的形式，并求其图象对称中心的6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90
16、的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。横坐标; 2(II)如果?ABC的三边a,b,c满足b= a c，且边b所对的角为，x(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.fx()试求的范围及此时函数的值域. xABC例18.在?中,角A,B, C的对边分别为a,c(已知向量mn,n,(,)acbm,，,(,)acba,且( (1)求角的大小; C3、思想教育，转化观念端正学习态度。6(2)若,求角A的值. sinsinAB，,2总之，三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性
17、质是解好小题的必要条件，在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯.再者，填空题答案书写的规范也需反复强调. 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。三角函数解答题题往往是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对文理科学生都至关重要. 本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑
18、思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!参考文献: 1 美乔治?波利亚.怎样解题:数学思维的新方法M.涂泓冯承天译.上海:上海科技出版社2007. 2 刘 勋.高中数学解题思路23讲M.天津教育出版社.2006年9月第1版. 3 钟启泉张华.世界课程改革趋势研究学科课程改革研究M.北京:北京师范大学出版社2002. 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。4 金才.数学思想、数学方法和数学能力及关系的正确认识J.数学通报2011,50,11,:12-17. 53.264.1生活中的数3 P24-295 徐德均.数学中的模式转换方法J教学月刊2011,12,:40-42.