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1、人教版九上数学二次根式知识点总结第21章 二次根式 【整体感知】 “二次根式”是课程标准“数与代数”的重要内容。本章是在第13章“实数”学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、化简、运算等。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。二次根式是基本的运算工具，中考命题中涉及二次根式的题目不少，主要是针对概念及运算的考察，难度不大。 【目标预览】 1(知识与技能 (1)理解二次根式的概念( (2
2、 a?0)是一个非负数， 2=a(a?0) (a?0)( (3 )， a?0，b?0; (a?0，b>0)， (a?0，b>0)( (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减( 2(过程与方法 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。 3(情感、态度与价值观 通过本单元的学习，培养学生利用概念解题的严谨性和科学精神，经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力( 【学法导引】 1、正确理解二次根式的定义，能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围。 a?0)它的双重非负
3、性。 2、重视二次根式的化简。二次根式的化简是本章的主要内容之一，掌握化简的方法需要牢记二次根式的有关性质及其逆运算。 3、二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，可以类比整式、 分式的相关法则;在进行二次根式的加减时，可以类比合并同类项;在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似( 21.1 二次根式 【情境导入】 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越 广。如果电视塔高hkm，电视节目信号的传播半径为rkm，则它们之间存在近似关系，其中R是地球半径，R?6400km。如果两个电视塔高分别是h1km，
4、h2km，那么它们的传播半径的比为2Rh1 2Rh2，你能将这个式子化简吗, 【目标解读】 1、理解二次根式的概念。 2、会确定被开方数中字母 的取值范围。 3、理解二次根式的性质，并会运用其化简二次根式。 【重点难点】 重点:1 a?0)的概念。 2、二次根式的性质。 难点:1、如何确定二次根式中字母的取值范围( 2 a?0)是一个非负数; 2=a(a?0)( 【预习卡】 栏目要求:单独设置，每张卡片内容及答案占一页,(格式见附页) 【内容详解】 知识点1 二次根式的概念 举例讲解 思考:用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点: 1、 要做一个两条直角边的长分别为7cm和4cm的三角尺
5、，斜边的长应为_cm; 2、 面积为a-3的正方形的边长为_; 3、 要修建一个面积为S的圆形喷水池，它的半径为_m; 4、甲射击6次，各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_; 5、已知反比例函数y= _( 3，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是x 方根;0的平方根是0;在实数范围”;被开方数可以是数也可以是代数 形如 的式子也是二次根式，它表示的是a 的积， 例如 ?0) 的形式。 例1 下列式子，哪些是二次根式， x>0) 、1 x 、 ?0)( 、1x?0，yy ;第二，被开方数是正分析 数或0( 解: x>0) 、
6、x?0，y?0);不是二 、11、( 方法技巧:弄清二次根式的概念是准确判断一个式子是否是二次根式的关键. 变式训练 (下列各式中( ) ，二次根式的个数是1A(4个 B(3个 C(2个 D(1个 1. B.解析:3a，b2-1，都有可能是负数，-144是负数，不能作为二次根式的被开方数， 3个( 知识点2 二次根式的被开方数中字母的取值范围 举例讲解 1在实数范围 2、且x?3 。 22 a?0)，被开方数a必须是一个非负数，所以二次根式若有意义，则被开方数必须是一个非负数。 说明:当a?0a,0如中被开方数x-1?0， ?x?1. 方法归纳: 在求式子中字母的取值范围时，要注意二次根式、分
7、式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为0。 例2 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围(2) 1 (3) (4 (5 (6 分析:二次根式有意义满足的条件，一是被开方数是非负数，二是若分母中含有字母，还应该注意分母不为零。 解:(1)由题意，得3-2x?0, 解得x? ?当x?3, 23时，有意义 (2)由题意，得，解得。 ?当且 1 2 (3)由题意，得3x+,0，解得x,， 3 时，有意义。 ?当x,由题意，得，解得?0?x?1， ?当0?x?1 (5) 由题意，得-x?0，解得x=0, ?当x=0 有意义。 (6)?不论x取任何实数，均有2x+1,0， ?当x
8、有意义。 方法技巧:弄清二次根式有意义的条件是解这类题的关键. 变式训练 22 1、下列四个式子中，x的取值范围为x?2的是( ) A ( B C D (-1?x?2 C(x?2 D(-1,x,2 2 ) A(x?-1 x的取值范围是( 3 、要使式子有意义，a的取值范围是( ) a A(a?0 B(a,-2且a?0 C(a,-2或a?0 D(a?-2且a?0 1、C 解析: A、x-2?0，且x-2?0，解得:x,2，故此选项错误;B、x-2,0，解得:x,2，故错误;C、x-2?0，解得x?2，故正确;D、2-x?0，解得x?2，故错误;故选C。 2、B 解析:根据题意，得 故选B( 3、
9、D 解析:根据题意，得故选D( 知识点3 二次根式的基本性质 举例讲解 1 2、根据算术平方根的意义填空: 0，解得，-1?x?2; ，解得a?-2且a?0( ; 3、填空: ; 。 归纳总结 知识归纳: (被开方数具有非负性)1、 二次根式具有双重非负性，即。 算术平方根具有非负性) 2、 2的性质:2=a(a?0)。 3、 。 ,0) 2说明:(1)具有非负性的式子有三个:?a?0 ;?a?0 0(a?0)。 222(2)公式 =a(a?0)可以逆用，即a= (a?0)，如 3= 32。 (3 2的相同点与不同点: 方法归纳: 号去绝对值。 ，化简二次根式时，先转化为a的形式，再根据a的
10、例3 如果符, 0)1，求2x+y的值( 分析:根据二次根式有意义的条件可得x2-4?0，4-x2?0，解可得到x的值，进而算出y的值，然后在计算2x+y的值即可( 解:根据二次根式有意义的条件可得， 解得:x=?2，则y=1， 2x+y=22+1=5， 2x+y=2(-2)+1=-3， ?2x+y的值5或-3( 变式训练 已知x，y是实数，且，求5x+6y的值。 解析:根据二次根式的意义，得，解得x=?3， 根据分式有意义的条件可知x+3?0，解得x?-3，所以x=3，此时y=-1， 所以5x+6y=9( 例4计算: 1( 222 ; 2( 2 ; 3( ; 4( -)。 2分析 2=a(a
11、?0)的结论解题( 解: 1、 23)=; 2 22 2、( =3=95=45; 2 3、 25=; 6 4、( )= -227()=。 224 变式训练 计算下列各式的值: 1、2 ; 2、22) ; 3、 ; 4、 )2 ; 5、 (解析: 2 22);6、。 1、2=18; 2、22)=; 3 3、(29)=; 416 2)=14; 224、)2=0; 5、(6、-75=-30。 例5 化简下列各式: 1)。 1 ; 2; 3x, 分析 解:1 的重要结论解题( ,0) ;2 ; 3、?x,1，?x-1,0; ? -x。 方法技巧:)2=a(a?0)进行求解，掌握这两个公式的异同点是正确
12、化简二次根式的关键。 变式训练 化简下列各式: 1; 2; 3; 1; 2; 的重要结论解题。 ,0)311; 7 4、?3.14,，?3.14-,0 ?-3.14。 【 疑误解惑】 1.教材第3页“思考” 解析:二次根式有意义的条件是其被开方数为非负数，对于x来说，根据平方的意 2义知任意实数的平方都是非负数，即x?0x为任意实数; 2件是x为非负数，即x?0. 2. 易错点 (1) 求字母的取值范围时考虑不全面 例 若式子有意义，则x的取值范围为( )。 A(x?2 B(x?2且x?1 C(x?2 D(x?1 错解: A、C、D. 正解: B. 错解分析:产生错解的原因是考虑问题不全面，仅
13、考虑了二次根式有意义的条件，而忽略 了分式有意义的条件。实际上使 故A、C、D错，选A. (2 a为任意实数，要先化为a，再根据a的取值情况进 例 有意义必须满足，所以x?2且错解: =x-4 正解: , 【建构知识体系】 【拓展视野】 拓展点1 数形结合的思想方法 例1如图，实数a、b ( 0 ，b,0.所以a-b,0 分析:观察数轴，可知a,答案:由数轴知，a,0，且b,0， ?a-b,0， -(a-b)， =|a|-|b|=(-a)-b+a-b， =-2b( 点评:利用数形结合思想，能直接把数量之间的关系在数轴上表示出来，便于观察、理解. 拓展点 2 二次根式的非负性 例2(2013攀枝
14、花)已知实数x，y，m,0，且y为负数，则m的取值范围是( ) A(m,6 B(m,6 C(m,-6 D(m,-6 分析:根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围,0解:根据题意得:， , 解得:,， , 则6-m,0， 解得:m,6( 故选A( 点评:本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0( 拓展点 3 转化的数学思想 本节中体现转化思想知识点有两个，一是确定自变量的取值范围问题转化为解不等式或不 等式组的问题;二是在化简形如 例3 (2013 盘锦)若式子有意义，则x的取值范围是 ( x 分析:根据二次根
15、式及分式有意义的条件解答即可( 解:根据二次根式的性质可知:， 所以x的取值范围是x?-1且x?0( 点评:此类问题通常可转化为解不等式(组)的问题，通常需要注意两点:(1)被开方数为非负数，(2)分式中分母不为零. 例 , 解:?a,0，?a-3,0， =-a+3+a=3( 况进行讨论。 a的取值情 【检测训练】 1. ) D(3个 A(6个 B (5个 C(4个 2. (课后1变形题)(2013娄底)式子有x的取值范围是( ) A(x?-111且x?1 B(x?1 C(x? D(x,?且x?1 222 3. (课后2变形题)(2013A(-3 B(3 C(-9 D(9 ) 4. (2012
16、张家界)实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|,|b|， |a+b|的结果为( ) A(2a+b B(-2a+b C(b D(2a-b 5. 1?2a，则( ) A(a,1111 B(a? C(a, D(a? 2222 A 6. 对任意实数a，则下列等式一定成立的是( )a B |a| 7. (课后7变形题)(2012 是整数，则正整数n的最小值为 ( 8. . 9. 已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示，则|n?m| 。 10. 有意义，则x?0;式子 有意义，则x?0 x的取值范围;这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于x的不等式组用上述的数学方法解决下列问题: 圆心；垂
17、直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。(1 x的取值范围; (4)面积公式:(hc为C边上的高);(2)已知:y 0 抛物线与x轴有2个交点；3，求x的值( 的解集，解这个不等式组得x=0(请你运检测训练答案 104.305.6加与减（二）2 P57-601.C 解析:二次根式中“”的根指数是2;a?0是a为二次根式的前提条件. 2. A 3.B4. C解析:根据数轴可知，a,0，b,0，原式=-a-(a+b)=-a+a+b=b( (1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.5. B 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。6.D |a|，故错误(D、正确( 7. 5 解析:?20n=225n( ?整数n的最小值为5( 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。8. 0 00( 9. n 解:根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限， ?m,0; 又?关于x的一次函数y=mx+n的 三、教学内容及教材分析：图象与y轴交于正半轴，?n,0; 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.?，解得x=?1; (2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.3