最新最新初中数学竞赛知识点归纳整数优秀名师资料.doc

《最新最新初中数学竞赛知识点归纳整数优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新最新初中数学竞赛知识点归纳整数优秀名师资料.doc（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、(最新)初中数学竞赛知识点归纳(整数)初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除(一) 如果整数A除以整数B(B?0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 11 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或

2、13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征: ?抹去个位数 ?减去原个位数的2倍 ?其差能被7整除。 如 1001 100,2,98(能被7整除) 又如7007 700,14,686， 68,12,56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ?抹去个位数 ?减去原个位数 ?其差能被11整除 如 1001 100,1,99(能11整除) 又如10285 1028,5,1023 102,3,99(能11整除) 二、倍数.约数 1 两个整数A和B(B?0)，如果B能整除A(记作B,A)，那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3,15，15是3的倍数，3是

3、15的约数。 2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3 整数A(A?0)的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，?A，?2A，都是A的倍数，例如5的倍数有?5，?10，。 4 整数A(A?0)的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括?1和?A。例如6的约数是?1，?2，?3，?6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。 7 在有余数的除法中，被除数,除数商数，余

4、数 若用字母表示可记作: A,BQ，R，当A，B，Q，R都是整数且B?0时，A,R能被B整除 例如23,37，2 则23,2能被3整除。 三、质数.合数 1正整数的一种分类: 质数的定义:如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。 合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2根椐质数定义可知 ? 质数只有1和本身两个正约数， ? 质数中只有一个偶数2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2， 3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的

5、积的正整数就是合数。 四、零的特性 一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。 1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存0元。 2， 零是判定正、负数的界限。 若a ,0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a,0 记作 a,0 a是正数 读作a,0等价于a是正数 ,bb时,a-b0;当ab时,a-b0. 三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米; 后者表示精确到0.0

6、1米(即1厘米)，误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下: 1.55近似数1.61.65 1.595?近似数1.60n),则至少有一个集合里元素不少m于个。 ,nmm3， 根据的定义，己知m、n可求; ,nnmmmmx己知，则可求的范围，例如己知,3，那么2,?3;己知,2，,nnnn3x,?2，即3,x?6，x有最小整数值4 则 13九、一元一次方程解的讨论 1， 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如:方程 2x，6,0， x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是: x=,3, x=0或x=1, x=?

7、6, 所有的数，无解。 2， 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后， b讨论它的解:当a?0时，有唯一的解 x=; a当a=0且b?0时，无解; 当a=0且b,0时，有无数多解。(?不论x取什么值，0x,0都成立) 3, 求方程ax=b(a?0)的整数解、正整数解、正数解 当a,b时，方程有整数解; 当a,b，且a、b同号时，方程有正整数解; 当a、b同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 十、二元一次方程的整数解 1， 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有

8、整数解。即 如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ?(9，3),3，而3不能整除10;(4，2),2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法: 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。 方法一，整除法:求方程5x+11y=1的整数解 1,11y1,y,10y1,y解:

9、x= (1) , ,2y5551,y 设是整数)，则y=1-5k (2) , ,k(k5把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2 x,11k,2,?原方程所有的整数解是(k是整数) ,y,1,5k,方法二，公式法: x,x，bkx,x,00设ax+by=c有整数解则通解是(x,y可用观察法) 00,yyy,y,ak,00,3， 求二元一次方程的正整数解: ? 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ? 用观察法直接写出。 十一、二元一次方程组解的讨论 ，,axbyc,1111( 二元一次方程组的解的情况有以下三种: ,ax，by,c222,abc111, 当时，方程组有无

10、数多解。(?两个方程等效) ?abc222abc111,? 当时，方程组无解。(?两个方程是矛盾的) abc222ab11,? 当(即ab,ab?0)时，方程组有唯一的解: 1221ab22cb,cb,1221x,ab,ab,1221 (这个解可用加减消元法求得) ,ca,ca2112,y,ab,ab1221,2( 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数)，再解含待定系数的不等式或加以讨论。 四十五、一元二次方程的根 21. 一元二次方程ax+bx+c=0(

11、a?0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的. 2,bb4ac2根公式是:x=. (b,4ac?0) 2a2. 根的判别式 2? 实系数方程ax+bx+c=0(a?0)有实数根的充分必要条件是: 2b,4ac?0. 2? 有理系数方程ax+bx+c=0(a?0)有有理数根的判定是: 2b,4ac是完全平方式方程有有理数根. ,22 ?整系数方程x+px+q=0有两个整数根p,4q是整数的平方数. ,23. 设x, x 是ax+bx+c=0的两个实数根，那么 122222? ax+bx+c=0 (a?0，b,4ac?0)， ax+bx+c=0 (a?0， b,4ac?0); 11222

12、2,，,bb4acbb4ac2? x=， x= (a?0, b,4ac?0); 122a2abc2? 韦达定理:xxxx (a?0, b,4ac?0). , 12=1+2= ,aa4. 方程整数根的其他条件 2整系数方程ax+bx+c=0 (a?0)有一个整数根x的必要条件是:x是c的因数. 11特殊的例子有: C=0x=0 ， a+b+c=0x=1 ， a,b+c=0x=,1. ,111四十六、完全平方数和完全平方式 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 4例如0，1，0.36，121都是完全平方数. 25在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2.

13、 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如: 222在有理数范围 m, (a+b,2), 4x,12x+9, 144都是完全平方式. 22在实数范围 (a+), x+2x+2, 3也都是完全平方式. 32二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 22. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p整除. 2若整数m能被q整除，但不能被q整除, 则m不是完全平方数. 例如:3402能被2整除，但不能被4整

14、除，所以3402不是完全平方数. 又如:444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 22如果 ax+bx+c (a?0)是完全平方式，则b,4ac=0且a0; 22如果 b,4ac=0且a0;则ax+bx+c (a?0)是完全平方式. 在有理数范围内 22当b,4ac=0且a是有理数的平方时，ax+bx+c是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 2 1. 完全平方式(ax+b)中 当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数; 当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某

15、些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 2 例如: n+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 21. 在整系数方程ax+bx+c=0(a?0)中 2? 若b,4ac是完全平方数，则方程有有理数根; 2? 若方程有有理数根，则b,4ac是完全平方数. 22. 在整系数方程x+px+q=0中 2? 若p,4q是整数的平方，则方程有两个整数根; 2? 若方程有两个整数根，则p,4q是整数的平方. 十二、用交集解题 1( 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集

16、合的元素。例如6的正约数集合记作,6的正约数,1，2，3，6,，它有4个元素1，2，3，6;除以3余1的正整数集合是个无限集，记作,除以3余1的正整数,1，4，7，10,，它的个元素有无数多个。 2( 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A,1，2，3，6,，10的正约数集合B,1，2，5，10,，6与10的公约数集合C,1，2,，集合C是集合A和集合B的交集。 3( 几个集合的交集可用图形形象地表示， 正右图中左边的椭圆表示正数集合， 正整右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 整数数数的公共部分，是它们的交集正整数集。 集集集不等式组的解集是不等式

17、组中各个不等式解集的交集。 2x,6？(1),例如不等式组解的集合就是 ,x,2？(2),不等式(1)的解集x3和不等式(2)的解集x,2的交集，x3 .如数轴所示: 0 2 3 4(一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来，它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，得答案。 十三、用枚举法解题 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意: ? 按一定的顺序，有系统地进行; ? 分类列举时，要做到既不重复又不违漏; ? 遇到较大

18、数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 十四、经验归纳法 1(通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 234?由 ( , 1) , 1 ，(, 1 ) , 1 ，(, 1 ) , 1 ， 归纳出 , 1 的奇次幂是, 1，而, 1 的偶次幂 是 1 。 ?由两位数从10 到 99共 90 个( 9 10 )， 2三位数从 100 到 999 共900个(910)， 33四位数有910,9000个(910)， n-1归纳出n 位数共有910(个) 222? 由1

19、+3=2, 1+3+5=3, 1+3+5+7=4 2推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。(到高中，大都是用数学归纳法证明) 十五、乘法公式 1( 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从

20、左到右的顺用(乘法展开)，还可以由右到左逆用(因式分解)，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。 2( 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 222完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b, 22 平方差公式:(a+b)(a,b)=a,b2233 立方和(差)公式:(a?b)(aab+b)=a?b,3.公式的推广: 22222? 多项式平方公式:(a+b+c+d)=a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 33223? 二项式定理:(a?b)=a?3ab+3ab?b 4432234(a?b)=

21、a?4ab+6ab?4ab+b) 55432 2345(a?b)=a?5ab+10ab?10ab，5ab?b) 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ? 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 322344(a+b)(a,ab+ab,b)=a,b 43223455 (a+b)(a,ab+ab,ab+b)=a+b4322345665(a+b)(a,ab+ab,ab+ab,b)=a,b 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下:设n为正整数 ,2n12n22n322n22n12n2n (a+b)(a,ab+ab,，ab,b)=a,b,2n2n

22、12n222n12n2n+12n+1 (a+b)(a,ab+ab,ab+b)=a+b类似地: ,n1n2n32n2n1nn(a,b)(a+ab+ab+，ab+b)=a,b 4. 公式的变形及其逆运算 222222由(a+b)=a+2ab+b 得 a+b=(a+b),2ab 3322333333由 (a+b)=a+3ab+3ab+b=a+b+3ab(a+b) 得 a+b=(a+b),3ab(a+b) 由公式的推广?可知:当n为正整数时 nna,b能被a,b整除, 2n+12n+1 a+b能被a+b整除, 2n2na,b能被a+b及a,b整除。 十六、整数的一种分类 1( 余数的定义:在等式A,m

23、B，r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。 即:在整数集合中 被除数,除数商，余数 (0?余数除数) 例如:13，0，,1，,9除以5的余数分别是3，0，4，1 (?,1,5(,1)，4。 ,9,5(,2)，1。) 2( 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。 例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。 3( 整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如: m=2时，分为偶数、奇数两类，记作,2k,2k,1, (k为整数) m=3时，分为三类，记作,3k,3k+1,3k+2,. 或

24、,3k,3k+1,，,3k,1,其中,3k,1,表示除以3余2。 m=5时，分为五类，,5k,.,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4, 或,5k,5k?1,5k?2,， 其中5k,2表示除以5余3。 4( 余数的性质:整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下: ?(3k+1)+(3k+1)=3(k+k)+2 (余数1，1,2) 1212?(4k+1)(4k+3)=4(4kk+3k+k)+3 (余数13,3) 1212122222?(5k?2),25k?20k+4=5(5k?4k)+4 (余数2,4) 以上等式可叙述为: ? 两个整数除以3都余1，则它们的和除以

25、3必余2。 ? 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 ? 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是 4或9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 66如:?17除以5余2 ?17除以5的余数是4 (2,64) 5( 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。 十七、奇数.偶数 1( 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0,2，不能被2整除的整数是奇数，如,1，1，3。 如果n 是整数，那么2n是偶数，2n,1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。 2( 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为: 奇数集

26、奇数, 整数 或 整数集合 ,偶数集偶数,这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3( 奇数偶数的运算性质: 奇数?奇数,偶数，奇数?偶数,奇数，偶数?偶数,偶数 奇数奇数,奇数 奇数偶数,偶数，偶数偶数,偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 十八、式的整除 1( 定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。 2( 根据被除式,除式商式，余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为

27、: 若f(x),p(x)q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 2 例如?x,3x,4,(x,4)(x +1), 2?x,3x,4能被(x,4)和(x +1)整除。 2显然当 x=4或x=,1时x,3x,4,0， 3( 一般地，若整式f(x)含有x a的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x,a能整除f(x)。 4( 在二次三项式中 22若x+px+q=(x+a)(x+b),x+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 十九、因式分解 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法，运用公式法，十字相

28、乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1( 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 42333例1因式分解:?x+x+1 ?a+b+c,3abc 42?分析:x+1若添上2x可配成完全平方公式 4242222222解:x+x+1,x+2x+1,x=(x+1),x=(x+1+x)(x+1,x) 33322 ?分析:a+b要配成(a+b)应添上两项3ab+3ab3333223322解:a+b+c,3abc,a+3ab+3ab，b+c,3abc,3ab,3ab 33 ,(a+b)+c,3ab(a+b+c) 22 =(a+b+c),(a+b),(a+b)c+c,3 ab(a+b+c

29、) 222 =(a+b+c)(a+b+c,ab,ac,bc) 53例2因式分解:?x,11x+20 ? a+a+1 5? 分析:把中项,11x拆成,16x+5x 分别与x,20组成两组，则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数) 332? 解:x,11x+20,x,16x+5x+20,x(x,16)+5(x+4) 2=x(x+4)(x,4)+5(x+4) =(x+4)(x,4x+5) 225? 分析:添上,a 和a两项，分别与a和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 5522232解:a+a+1,a,a+a+a+1=a(a,1)+ a+a+1 222232=a(a,1)( a+a+1)+ a

30、+a+1= (a+a+1)(a,a+1) 2( 运用因式定理和待定系数法 定理:?若x=a时，f(x)=0, ,即f(a)=0,，则多项式f(x)有一次因式x,a ?若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 3232例3因式分解:?x,5x+9x,6 ?2x,13x+3 ?分析:以x=?1,?2,?3,?6(常数6的约数)分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。 32解:?x=2时，x,5x+9x,6,0，?原式有一次因式x ,2， 322?x,5x+9x,6,(x ,2)(x,3x+3,) ?分析:用最高次项的系数2的约数?1，?2分别去除常数项3的

31、约数 13?1，?3得商?1，?2，?，?，再分别以这些商代入原式求值， 221可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1 2132解:?x=时，2x,13x+3,0，?原式有一次因式2x,1， 2322设2x,13x+3,(2x,1)(x+ax,3)， (a是待定系数) 2比较右边和左边x的系数得 2a,1,13， a=,6 32?2x,13x+3,(2x,1)(x,6x,3)。 22例4因式分解2x+3xy,9y+14x,3y+20 22解:?2x+3xy,9y,(2x,3y)(x+3y), 用待定系数法，可设 222x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y，a)(x+3

32、y，b)，a,b是待定的系数， 比较右边和左边的x和y两项 的系数，得 a，2b,14a,4, 解得 ,3a,3b,3b,5,22?2x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y+4)(x+3y+5) 22+又解:原式,2x+(3y+14)x,(9y3y,20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为,(3y,4)(3y+5),用待定系数法，可设 22+2x+(3y+14)x,(9y3y,20),mx,(3y,4),nx+(3y+5), 2比较左、右两边的x和x项的系数，得m=2, n=1 22?2x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y+4)(x+3y+5) 二十、代数恒等式

33、的证明 证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种 1(从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2(把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。 3(证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边,右边,0可得左边,右边。 4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 二十一、比较大小 1( 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质: 当a,b,0时

34、，a,b; 当a,b,0时，a=b; 当a,b,0时a,b。 2( 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3( 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。 4( 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实2数，则a?0，由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值，永远成立的不等式)。诸如 132222(a,b)?0， a+1,0， a+a+1=(a+)+,0 24222,a?0， ,(a+a+2),0 当a?b时，,(a,b),0 二十二、分式 1( 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

35、 A(1)分式中，当B?0时有意义;当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。B分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 A(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 BA(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。 B2( 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 二十三、递推公式 2221.先看一例:a=b,a=,a= a=这里a,a,aa,a是对应于正整数1，123n+1123nn+1aaa12n2，3n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示第几项)，这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其

36、他各项数值。 112例如: 若 a=10, 则a=,a=10,a=,a=10 1234510552. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a和n表示a的形式，这可用经验归纳法。 例1n如:把递推公式a=a+5改为用a和n来表示 n+1n1 ?a=a+5, ?a=a+5=(a+5)+5=a+25， a=a+5=(a+25)+5=a+35 2132114311 ?a=a+(n-1)5 n1如果 已知a=10, 求a,显然代入这一公式方便。A=10+195=105 120203.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 二十四、连续正整数的性质 一.两个连续正整数 1.两个连

37、续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3,1，2，79,39，40， 111,55，56。 二.计算连续正整数的个数 例如:不同的五位数有几个,这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999,10000，1,90000(个) n-101. n位数的个数一般可表示为 910(n为正整数，10,1) 0例如一位正整数从1到9共9个(910)， 1二位数从10到99共90个 (910) 2三位数从100到999共900个(910)

38、2.连续正整数从n 到m的个 数是 m,n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下: 49,133. 从13到49的连续奇数的个数是，1,19 248,14从13到49的连续偶数的个数是，1,18 248,154. 从13到49能被3整除的正整数的个数是，1,12 349,13从13到49的正整数中除以3余1的个数是，1,13 3你能从中找到计算规律吗, 三.计算连续正整数的和 n1. 1，2，3，n,(1，n) (n是正整数) 2b,a，1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b) 2把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下:

39、2355,112. 11，13，15，55,(11，55),759 (?从11到55有奇数，1,2322个) 153. 11，14，17，53,(11，53),480 (?从11到53正整数中除以3余2的253,11数的个数共，1,15) 3四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是(0，9)，(1，8)，(4，5) ,95,45 2. 123499100计算各数位上的数字和可分组为:(0，99)，(1，98)， (2，97)(48，51)，(49，50)共有50个18，加上100中的1 ?各数位上的数字和是1850，1,901 五. 连续正

40、整数的积 从1开始的n个正整数的积123n记作n，读作n的阶乘 1. n个连续正整数的积能被n整除， 如111213能被123整除;979899100能被4整除; a(a+1)(a+2)(a+n)能被(n+1)整除。 2. n含某因质数的个数。举例如下: ? 12310的积中含质因数2的个数共8个 其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个 8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。2其中4,2 含两个质因数2 增加了1个 3其中8,2 含三个质因数2

41、再增加2个 (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)? 123130的积中含质因数5的个数的计算法 5，10，15，125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个 2其中25，50，75，100均含5有两个5 各加1个， 共4个 3其中125,5含三个5 再增加2个 ?积中含质因数5的个数是32 （2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：，这一性质进行讨论 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）四十一、 线段的比、积、幂 一(有关线段的比、积、幂的主要定理 ac1. 比例的基本性质: 合比，等比定理(

42、略) ,ad,bc,bd一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。2. 平行线分线段成比例定理(即平行截线定理)的推论 AEID 9.直角三角形变焦关系：ADEADAEDE?BC ,DBECBCBC推广到:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.O CAB11ABBCOB,b,ABc111ABBCOB,11111 a?b ,OOAOBa,OAOB11,CBAACB3. 相似多边形性质:对应线段成比例，面积比等于相似比的平方 4. 直角三角形中成比例线段定理(射影定理) 本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对