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1、(最新)初中数学重要知识点总结第一讲 数的分类及正负数 倒数 绝对值 数轴上数的大小比较 1.数的分类如下图 正整数 整数 零(0) 自然数 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 实数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 注意:循环小数化分数的方法是:分母的头几位数字是9,9的个数为循环节内数字的个数，分母的后几位数是0,0的个数为不循环部分数字的个数;分子为第二个循环节前面的数字组成的数(包括不循环的部分)，减去不循环部分组成的数的差。 2.重要概念 实数: 有理数与无理数统称为实数。 有理数: 整数和分数统称为有理数。 有理数大小比较法则: 1、在数轴上表示的两个数,右边的总比左边
2、的数大。 2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大;两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 无理数: 无理数是指无限不循环小数。 自然数: 表示物体的个数0、1、2、3、4,(0包括在内)都称为自然数。 数轴: 规定了圆点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。相反数: 符号不同的两个数互为相反数。 数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。表示方向的箭头在直线的右端。数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。 数轴的画法:一画(直线);二定(定原定);三选(选正方向);四统一(单位长度要统一)
3、在数轴上，表示互为相反数(零除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 倒数: 乘积是1的两个数互为倒数。 相反数 :到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。零的相反数是零。 绝对值:数轴上表示的数a到原点的距离叫数a的绝对值。一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小 因为正数可用a,0表示，负数可用a,0表示，所以上述三条可表述成:(1)如果a,0，那么|a|,a (2)如果a,0，那么|a|,a (3)如果a,0，那么|a|,0 两个正数比较
4、大小，绝对值大的数大;两个负数比较大小，绝对值大的数反而小 3.总结:*互为相反数的两数的和为0互为倒数的两数的积为1,0的相反数是0,0没有倒数,相反数是本身的数只有一个0倒数是本身的数有1和-1.0的绝对值是00既不是正数也不是负数 第二讲 有理数的加减乘除及混合运算 一 有理数的运算法则 ?加法法则: 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 ?减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ?乘法法则: 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。 (4)有
5、理数除法运算法则:两理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数;第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 二(乘法的交换律,乘法的结合律,乘法的分配律, 两个数相成，交换因数位置积相等，如:ab=ba，这叫乘法交换律;三个数相乘，先把前两个相乘或先把后两个数相乘，积相等，如:(ab)c=a(bc)，这叫乘法结合律;一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加，如:a(b+c)=ab+ac，这叫乘法的分配律。 如果a、b、c分别表示任一有理数，那么: 乘法的交换律:ab=ba. 乘法的
6、结合律:(ab)c=a(bc) 分配律:a(b+c)=ab+ac 三(加括号和去括号时各项的符号的变化规律 去(加)括号时如果括号外的因数是正数，去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 四、有理数混合运算时，对于运算顺序有什么规定, 答:在有理数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行;不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减;运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 第三讲 有理数
7、的乘方?科学计数法?有效数字及平方根 一(有理数的乘方,幂,底数,指数, n相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，在a 中，a叫做底数，n 叫做指n数，a 读作a的n次方或者a的n次幂 二(有理数乘方运算的法则 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 三(什么叫科学记数法, n将一个数用N=a10表示，这样的记数方法叫科学记数法。这里的a必须是整数位只有一位的数。n必须是正整数。读作a乘10的n次方(或a乘10的n次幂)。1,0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k0时，图像经过一、三象限;k0，y随x的
8、增大而增大;k0时，向上平移;当b0，图象经过第一、三象限;k0，图象经过第一、二象限;b0，y随x的增大而增大;k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位; 当b0 b0 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k0时，向上平移;当b0或ax+b0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。 当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。 当b,0时，直线必通过一、二象限; 当b,0时，直线必通过三、四象限。 特别地
9、，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k,0时，直线只通过一、三象限;当k,0时，直线只通过二、四象限。第八讲 反比例函数 反比例函数的概念 k-1一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx(k为常数，)的形式，k,0y,x那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点: 2k1)k是常数，且k不为零;(2)中分母x的指数为1，如不是反比例函数。 (y,2xxy,0(3)自变量x的取值范围是一切实数.(4)自变量y的取值范围是一切实数。 x,0反比例函数的图象及性质 k反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三
10、象限或第二、y,x四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题: (1)画反比例函数图象的方法是描点法; (2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。 x,0(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。 反比例函数的性质 k(k,0)xy,k的变形形式为(常数)所以: y,x(1)其图象的位置是: 当时，x、y同号，图象在第一、三象限; k,0当时，x、y异
11、号，图象在第二、四象限。 k,0k(2)若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点(-m,-n)也在此图象上，故反比例函数的y,x图象关于原点对称。 (3)当时，在每个象限内，y随x的增大而减小; k,0当时，在每个象限内，y随x的增大而增大; k,0k(1)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一y,x个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象k上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 y,x(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: k?设所求的反比例函数为:(); ?根据已知条件，列出
12、含k的方程; y,k,0xk?解出待定系数k的值; ?把k值代入函数关系式中。 y,x反比例函数的应用须注意以下几点: ?反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。 ?针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ?列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 第九讲二次函数的基本形式 2abc1(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这a,0yaxbxc,，bc里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( a,022. 二次函数的结构特征: yaxbxc,
13、，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xxabc? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( bac二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,结论:a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随yyx,0x,0x 00轴 y ，a,0向上 的增大而减小;时，有最小值( yx,00x时，随的增大而减小;时，随yyx,0x,0x 00轴 y a,0，向下 的增大而增大;时，有最大值( yx,00x 22. 的性质: yaxc,，结论:上加下减。 总结: 的符号 开口方向
14、顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随x,0yx,0yx 0c轴 y ，a,0向上 的增大而减小;时，有最小值( x,0yxc 时，随的增大而减小;时，随x,0yx,0yx 0c轴 y， a,0向下 的增大而增大;时，有最大值( x,0yxc23. yaxh,的性质: ，结论:左加右减。 总结: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 axh,时，y随的增大而增大;xh,时，y随x h0，a,0 向上 X=h 的增大而减小;xh,时，y有最小值0( xxh,时，y随的增大而减小;xh,时，y随x h0 a,0，向下 X=h 的增大而增大;xh,时，y有最大值0( x24. 的
15、性质: yaxhk,，总结: 二次函数的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a图象的平时，随的增大而增大;时，随xh,yxh,yx hk移 ，a,0向上 X=h 的增大而减小;时，有最小值( xh,ykx 1. 平移步骤: 时，随的增大而减小;时，随xh,yxh,yx hk ，a,0向下 X=h 的增大而增大;时，有最大值( xh,ykx2? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; yaxhk,，hk，2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: hkyax,，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移
16、|k|个单位2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk概括成八个字“左加右减，上加下减”( 22三、二次函数与的比较 yaxhk,，yaxbxc,，222请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。 yaxhk,，yxx,，245yaxbxc,，总结: 22从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，yaxhk,，yaxbxc,，222bacb4,bacb4,yax,，即，其中( hk,24aa24aa,2四、二次函数图象的画法 yaxbxc,，22五点绘图法,利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称yaxbxc,，yaxhk,
17、，()轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为,顶点、与轴的交点y、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,若与轴没有交点,0c0c2hc，x0x0xx，12则取两组关于对称轴对称的点,. 画草图时应抓住以下几点,开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与y轴的交点. x2五、二次函数的性质 yaxbxc,，2,bacb4,b 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为x,，顶点坐标为,( a,0,2a24aa,bbbx,当 时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最x,x,yyyxx2a2a2a24acb,小值( 4a2b,bacb4,bx, 2. 当时，抛物线开
18、口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，随x,ya,0x,2a24aa2a,2bb4acb,x,的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值( x,yyx2a4a2a第十讲二次函数的图像与系数之间的关系 六、二次函数解析式的表示方法 21. 一般式:(，为常数，); ba,0yaxbxc,，ac22. 顶点式:(，为常数，); hka,0yaxhk,，()ayaxxxx,()()3. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). a,0xxx1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛2bac,40物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式
19、才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种x形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2二次函数中，作为二次项系数，显然( a,0yaxbxc,，a? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; a,0aa? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( a,0aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aaa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( ba? 在的前提下， a,0b,0当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; b,0y2ab,0当时，即
20、抛物线的对称轴就是轴; b,0y2ab,0当时，即抛物线对称轴在轴的右侧( b,0y2a? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0b,0当b,0时，即抛物线的对称轴在y轴右侧; 2ab,0当b,0时，即抛物线的对称轴就是y轴; 2ab,0当b,0时，即抛物线对称轴在y轴的左侧( 2a总结起来，在确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置( a总结: 3. 常数项 c? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; c,0yyx? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; c,0yy0? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( c
21、,0yyx总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( ycabc 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表
22、达 1. 关于轴对称 x22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,x22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,x，2. 关于轴对称 y22 关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxbxc,，yaxbxc,，22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，y，3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22 yaxhk,，关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk,，,; ，4. 关于顶点对称 2b22 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc,，,; yaxbxc,，2a22yaxh
23、k,，关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk,，( ，5. 关于点对称 mn，22yaxhk,，关于点对称后，得到的解析式是yaxhmnk,，,，,22 mn，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛物a线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系,二次函数与轴交点情况, x22y,0axbxc，,0一元二次方程是二次
24、函数当函数值时的特殊情况. yaxbxc,，图象与轴的交点个数, x2()xx,bac40? 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程AxBx，00xx，x，1212122bac,42ABxx,的两根,这两点间的距离. axbxca，,00，21a（5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：? 当时,图象与轴只有一个交点, ,0x? 当时,图象与轴没有交点. ,0x43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23y,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; 1a,0xx y,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( 2a,0xx1、会数、会读、会写100以内的数;
25、在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。2(0c)2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为, yyaxbxc,，（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断bbyaxbxc,，acac图象的位置，要数形结合; 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。
26、如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个x交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面axbxca，,(0)x以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: a,0,0抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 x点在圆外 dr.两个交点 可零、可负 ,0抛物线与轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 x有一个交点 ,0抛物线与轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. x(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.交点 3.余弦：图像参考: 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；2+2y=2x定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。2y=2x22y=2xy=2(x-4)2y=2x-42y=2(x-4)-3